Własne numery
D. K. Kaprekar był indyjskim matematykiem, który odkrył „własne numery”. Stało się to w 1949 roku. Zbiór własnych numerów tworzy się w taki sposób, że każda naturalna liczba n ma jednoznacznie przypisaną liczbę d(n), która powstaje poprzez zsumowanie n oraz jej cyfr składowych. Symbol d(n) jest oznaczeniem digitacji, nazwa ta została wymyślona przez Kaprekar'a.
Przykład:
Dla dowolnej liczby naturalnej można utworzyć ciąg rosnących liczb naturalnych, w taki sposób, że pierwszą liczbą będzie n, kolejną d(n), itd.:
n, d(n), d(d(n)), d(d(d(n))), …
Tak na przykład rozpoczynając od 25, kolejną liczbą będzie: 25 + 2+ 5 = 32, kolejnym: 32 + 3 + 2 = 37, kolejnym: 37 + 3 + 7 = 47, kolejnym: 47 + 4 + 7 = 58. W ten sposób można stworzyć ciąg:
25, 32, 37, 47, 58, 71, 79, 95, 109, 119, 130, 134, 142, 149, 163, 173, 184, 197, 214 … i tak dalej.
Liczbę n nazywamy generatorem d(n). W powyższym przykładzie 25 jest generatorem 32, 32 jest generatorem 37, 37 jest generatorem 47, 47 jest generatorem 58 itd. Niektóre liczby mogą posiadać więcej niż jeden generator. Dla przykładu liczba 101 ma 2 generatory, są nimi liczby 91 oraz 100. Liczby które nie mają generatorów są swoim własnym numerem. Liczb takich do 100 jest trzynaście: 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 65, 75, 86 i 97.
