Najważniejsze stałe w matematyce i najpiękniejsze twierdzenie matematyki

Związki pomiędzy liczbami są czasami bardzo dziwne. Często skłaniają do zastanowienia się nad pojęciem liczby, czy potęgą matematyki.

W świecie matematyki jest znanych wiele wzorów, które opisują zależności różnych liczb ze sobą.

Za najpiękniejsze twierdzenie matematyki jest uważany wzór:

e i π +1= 0

Poniżej zostaną omówione liczby składające się na niego:

"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" tak powiedział wybitny niemiecki matematyk XIX wieku - Leopold Kronecker. Liczby naturalne są znane od bardzo dawnych czasów, ponieważ są związane z liczenie przedmiotów, czyli czynnością występującą w życiu codziennym. Chociaż zero pojawiło się dosyć późno, dzisiaj często jest zaliczane do liczb naturalnych.

Starożytnym Grekom nie było znane pojęcia zera, przez co ich sposób zapisu liczb był bardzo skomplikowany. Trudną pracą było wykonywanie działań. W Babilonii były stosowane cyfry, które miały wartości od jeden do dziesięciu, a o wartości danej liczby decydowało to, w jakiej pozycji były kolejne cyfry w szeregu. W Egipcie były używane hieroglify, które miały wartości 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, czyli o kolejnych potęgach dziesiątki, do miliona. Zero, jako oddzielna jednostka, pojawiło się później. Babilończycy stosowali w pozycyjnym zapisie zero w siódmym wieku p. n. e. ale nie było ono samodzielne.

U Majów zero było liczbą w pierwszym wieku p. n. e. ale nie rozprzestrzeniło się dalej niż Ameryka Środkowa.

Pojęcie zera, które znamy dzisiaj zostało stworzone w 628 roku przez Hindusa Brahmagupte. W średniowieczu zero było stosowane, ale bez reprezentacji w rzymskich cyfrach, stosowano dla niego słowo łacińskie: nullae.

Greccy filozofowie: Pitagoras i Archimedes podjęli studia systematyczne nad liczbami. Poza Grecją takie rozważania prowadzono niezależnie w Indiach, Chinach i Ameryce Środkowej. Ścisła definicja teoriomnogościowa dla liczb naturalnych pojawiła się w dziewiętnastym wieku. Według niej zero jest odpowiednikiem zbioru pustego i jest ono w zbiorze liczb naturalnych najmniejszym elementem. Chociaż wielu matematyków wyłącza zero z tego zbioru.

Liczba π (ludolfina)

Wielkim zaskoczeniem dla starożytnych było odkrycie liczb niewymiernych przez Greków. Próbowali oni obliczyć długość przekątnej w kwadracie przy ustalonym boku. Jak się okazało, stosunek przekątnej do boku (ich długości) nie był liczbą wymierną, czyli nie dało się jej przedstawić jako ilorazu 2 liczb całkowitych. W tym momencie matematycy przeżyli szok, spowodowany tym, że światem nie rządzą liczby naturalne i proporcje. Nie spodziewali się, że takie twory, jak liczby niewymierne, w ogóle istnieją.

Liczba π była znana w starożytności, chociaż nikt się nie zastanawiał nad nią dokładnie. W starożytności spostrzeżono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy jest stały i bardzo pomocny przy obliczaniu pól różnych figur. Jednakże jej dokładnej wartości nie wyliczono, Babilończycy 2 tysiące lat przed naszą erą szacowali, że wynosi ona w przybliżeniu 3. Ciekawym jest fakt, że piramida Cheopsa zawiera w swojej budowie ten stosunek. Mianowicie tyle wynosi stosunek sumy 2 boków podstawy do jej wysokości, czyli 3,1416, jest to przybliżenie π z dość duża dokładnością, bo zawiera aż 4 miejsca po przecinku. Dzisiaj nie potrafimy powiedzieć, czy zbudowano ją tak przez przypadek, czy jest to przejaw geniuszu starożytnych uczonych.

2 tysiące lat po zbudowaniu piramidy, czyli w III wieku przed naszą erą, liczba π została oszacowana przez Archimedesa jako π = 22/7, dokładniejszy wynik π = 3,1416 znalazł Klaudiusz Ptolemeusz w II wieku naszej ery.

Znany nam dziś symbol π nie jest oznaczeniem pochodzącym ze starożytnych czasów. Został on wprowadzony przez Williama Jonesa w 1706 roku, w jego książce "Synopsis Palmariorum Matheseos" Symbol ten wywodzi się od słowa greckiego "peryferia".

Symbol został rozpowszechniony przez Leonharda Eulera.

Często liczbę tą nazywa się ludolfiną, ponieważ Ludolph van Ceulen, w 1596 roku wyliczył jej przybliżenie z dokładnością do 35 miejsca po przecinku więc nazwano ją od jego imienia.

W późniejszym czasie π było wyliczane z coraz większą dokładnością.

W 1974 roku Jean Guillod i Martine Bouyer obliczyli π do 1 000 000 miejsca po przecinku przy pomocy komputera.

W 1995 ogłoszono został rekord: 6 442 450 000 cyfr.

Liczba e

Liczba e zaistniała w matematyce dużo później niż π. Nie była znana w starożytności. Pierwsze zetknięcie się z nią nastąpiło na przełomie XVI i XVII wieku, kiedy to matematyk szkocki John Napier ułożył tablice dla logarytmów, które były pomocne dla skomplikowanych obliczeń astronomicznych. Dzięki logarytmom można było zamienić mnożenie w dodawanie oraz dzielenie w odejmowanie, co więcej na mniejszych liczbach. To właśnie dzięki logarytmom astronomowie zyskali więcej czasu, niż przy wykonywaniu żmudnych obliczeń. Logarytmy, jakie zastosował Napier przypominają współczesne logarytmy naturalne, czyli takie o podstawie e. Często liczbę e nazywa się liczbą Napiera, ale oznaczenie dla niej wprowadził Euler w 1736 roku.

Najczęstsza definicja liczby e to granica ciągu (1+1/n)n, przy n zmierzającym do nieskończoności.

W przybliżeniu e wynosi 2,718281...

Liczba i

Liczba i to znana nam "jednostka urojona", czyli pierwiastek z -1. Liczby zespolone, bo w nich występuje jednostka urojona, zaistniały w XVI wieku, ponieważ ludzie zaczęli badać rozwiązania ogólne dla równań stopnia trzeciego, czyli równań w postaci ax³ + bx² + cx + d = 0. Jak się okazało w jednym przypadku, koniecznym do przeprowadzenia całego rozumowania, takie równanie posiada trzy rzeczywiste pierwiastki, a do ich wyliczenia potrzeba wprowadzić pewną nową wielkość. Wielkość ta miała dawać -1 gdy podniesie się ją do kwadratu, ale pełniła przy rozwiązywaniu jedynie rolę pomocniczą. W kolejnych wyliczeniach te wielkości się redukują się i, co jest zaskakujące, otrzymujemy prawidłowe rozwiązanie. Z tego powodu na początku swojego istnienia traktowano liczby zespolone (czyli liczby zawierające i) jako symbole, nie znaczące nic same, ale pomagające w obliczeniach. Przez około 2 wieki liczby zespolone zyskiwały swoich zwolenników i przeciwników. Większego znaczenia nabrały w XVIII wieku, dzięki Eulerowi, który wprowadził je do analizy matematycznej, dzięki czemu uzyskał wiele dobrych rezultatów.

Formalna konstrukcja została przeprowadzona w XIX wieku przez Carla F. Gaussa, który zrobił to geometrycznie oraz niezależnie przez Williama R. Hamiltona, który zrobił to algebraicznie. Obie konstrukcje w efekcie doprowadzały do tego samego efektu. Liczby zespolone można przedstawić jako punkty na płaszczyźnie, jako uogólnienie dla liczb rzeczywistych. Liczba zespolona to para punktów (a, b) inaczej zapisana jako a + bi, przy czym i jest liczbą taką, że i² = -1. Jeśli b = 0 wtedy liczba zespolona jest to liczba rzeczywista.