Systemy liczbowe są sposobami nazywania oraz zapisywania liczb. Rozróżniamy systemy pozycyjne oraz systemy niepozycyjne (addytywne). Systemy liczbowe pozycyjne przedstawiają każdą liczbę jako kombinację ciągu cyfr. Wielkość liczby zależy od pozycji poszczególnych cyfr wchodzących w jej skład. W ramach systemów pozycyjnych wyróżniamy następujące popularne systemy liczbowe: dwójkowy, ósemkowy, dziesiętny oraz szesnastkowy. Do systemów liczbowych addytywnych wchodzą systemy alfabetyczny, rzymski i hieroglificzny, w których wartość przyporządkowana danej liczbie zależy od sumy wartości znaków cyfrowych wchodzących w jej skład.

Systemem liczbowym stosowanym przez całą ludzkość na codzień jest system dziesiętny, czyli system pozycyjny, którego podstawa równa się 10. W technologiach cyfrowych korzysta się praktycznie wyłącznie z systemów dwójkowych, o podstawie 2, oraz heksadecymalnych o podstawie 16. W systemie heksadecymalnym cyfry oznaczające liczby od 10 do 15 zapisywane są w postaci kolejnych liter alfabetu począwszy od A, na F skończywszy. Informacja o tym, w jakim systemie została zapisana dana liczba umieszczana jest zazwyczaj w nawiasie umieszczonym w dolnym indeksie danej liczby. Dawniej stosowano systemy liczbowe niepozycyjne.

Niezależnie od tego czy chcemy przypisać wartość liczbową złożonemu, czy prostemu symbolowi układu, powinniśmy mu przyporządkować określoną wartość liczbową. Przykład przedstawia poniższa tabela:

Symbol: Wartość w systemie: Liczba:

8 8∙100 siedem

48 4∙101 + 8∙100 czterdzieści osiem

242 2∙102 + 4∙101 + 2∙100 dwieście czterdzieści dwa

Jeżeli oznaczymy cyfrę systemu pozycyjnego jako cn, natomiast podstawę tego systemu jako p, to wartość, jaka jest reprezentowana przez symbol liczbowy może być zapisana jako suma iloczynów o postaci:

cn ∙ pn + . . . + c2 ∙ p2 + c1 ∙ p1 + c0 ∙ p0.

Jedynkowy system liczbowy jest najprostszym możliwym do użycia systemem liczbowym. Do zapisu danej liczby w tym systemie wykorzystuje się pojedynczy znak, który oznacza liczbę 1. Kolejne liczby są tworzone w na drodze powtarzania tego znaku taką ilość razy, ile wynosi wartość danej liczby. Przykładowo 5 w systemie jedynkowym zapiszemy w następujący sposób: 11111. System jedynkowy jest bardzo niewygodny w praktycznych zastosowaniach, ponieważ już przy zapisie dość małych liczb, na przykład liczby 100, używanie tego systemu staje się niezwykle uciążliwe. Systemem tym posługiwały się ludy pierwotne, które pozostawały na neolitycznym poziomie rozwoju. Jako jedyny ze wszystkich systemów liczbowych, system jedynkowy jest zarówno pozycyjny, jak i niepozycyjny. Jeżeli potraktujemy go jako system pozycyjny, to możemy uznać, że podstawą jego pozycji jest właśnie liczba jeden. System jedynkowy jest zarazem jedynym systemem pozycyjnym, który nie wymaga stosowania znaków pustego zbioru: 0, przy zapisie liczb. Jeżeli potraktujemy ten system jako niepozycyjny, to liczbę w systemie dziesiętnym otrzymamy poprzez dodanie liczby jedynek występujących w danym ciągu znaków. Ciekawą własnością systemu liczbowego jedynkowego jest to, że każda operacja arytmetyczna może być sprowadzona do bardzo prostego mechanicznego łączenia lub obcinania liczb. Jeżeli chcielibyśmy dodać liczby 4 i 5, wystarczy, że skleimy odpowiednie ciągi znaków: 1111 oraz 11111, otrzymując w rezultacie liczbę odpowiadającą 9: 111111111. Jeśli chcielibyśmy odjąć dwie liczby od siebie, wystarczy, że porównamy dwie liczby pod względem długości i pozostawimy tą część liczby dłuższej, która wystaje. Przykładowo, jeżeli od liczby 5 odejmiemy 4, to otrzymamy 1: 11111 - 1111 = 1.

Dwójkowy system liczbowy, który jest również nazywany systemem binarnym, to system pozycyjny, którego podstawę pozycji stanowią kolejne potęgi liczby 2. Aby zapisać liczby w tym systemie używa się zatem jedynie dwóch znaków: 0 oraz 1. Podobnie jak w każdym z pozycyjnych systemów liczbowych liczby mogą być zapisywane jako ciągi cyfr, z których każda stanowi mnożnik kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu. Liczba, która w systemie dziesiętnym oznaczana jest jako 10, przybierze ona w systemie dwójkowym następującą postać: 1010, ponieważ 1∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 0∙20 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10. Liczby w niedziesiętnych systemach bywają niekiedy oznaczane dolnym indeksem, który jest zapisany w systemie dziesiętnym i oznacza podstawę pozycji tego systemu. Aby podkreślić, że dana liczba jest zapisana w systemie binarnym można dodać przy niej odpowiedni indeks, na przykład 10102. Aby obliczyć wartość dziesiętną liczby zapisanej w systemie binarnym, wystarczy, że zsumujemy te potęgi liczby dwa, których współczynnik wynosi 1.

Ósemkowy system liczbowym jest pozycyjnym systemem liczbowym, którego podstawa wynosi 8. System ósemkowy bywa również nazywany systemem oktagonalnym. Do zapisywania liczb w tym systemie używa się ośmiu cyfr, które zawierają się pomiędzy 0 a 7. Podobnie jak w wypadku każdego systemu liczbowego, również w tym wypadku liczby zapisywane są w postaci ciągów cyfr, spośród których każda stanowi mnożnik kolejnej potęgi liczby, która jest podstawą systemu. Przykładowo zapisana w systemie dziesiętnym liczba 100, przyjmie w systemie ósemkowym postać 144, ponieważ 1∙82 + 4∙81 + 4∙80 = 64 + 32 + 4 = 100. Aby podkreślić, że dana liczba jest zapisana w systemie oktagonalnym można dodać przy niej odpowiedni indeks, na przykład 1448.

Dziesiętny system liczbowy jest również znany pod nazwami systemu decymalnego albo arabskiego Stanowi on powszechnie stosowany system liczbowy, którego podstawą poszczególnych pozycji są kolejne potęgi dziesiątki. Do zapisu liczb w tym systemie potrzeba dziesięciu cyfr zawierających się w przedziale od 0 do 9. Podobnie jak w przypadku każdego pozycyjnego systemu liczbowego liczby są zapisywane jako ciągi cyfr, spośród których każda stanowi mnożnik kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu. Przykładowo zapis 4048 można rozbić na: 4∙103 + 0∙102 + 4∙101 + 8∙100. Dziesiętny system liczbowy jest podstawowym światowym systemem liczbowym, który jest używany w niemal wszystkich krajach. System ten powstał w Indiach i przedostał się do Europy dzięki Arabom. W wieku XVI zaczął on być stosowany obok systemu rzymskiego w księgowości, nauce oraz powstającej bankowości, upraszczał on bowiem znacznie operacje matematyczne. Oficjalne dokumenty nadal pisano jednak z wykorzystaniem rzymskiego systemu liczbowego. Dzięki ogromnym praktycznym zaletom system arabski wyparł w końcu system rzymski.

System liczbowy szesnastkowy jest jednym z pozycyjnych systemów liczbowych, w którym za podstawę pozycji przyjmuje się kolejne potęgi 16. Bardzo często system szesnastkowy nazywany jest systemem heksadecymalnym, co pochodzi od słowa Hex, wprowadzonego przez firmę IBM do powszechnego użycia przez branżę informatyczną. Do zapisu wszystkich liczb tego systemu wymaganych jest szesnaście cyfr. Oprócz cyfr pochodzących z systemu dziesiętnego zawartego w przedziale od 0 do 9, używanych jest sześć pierwszych liter alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, E oraz F. Odpowiadają one liczbom oznaczającym w systemie dziesiętnym 10, 11, 12, 13, 14 oraz 15. Podobnie jak w wypadku każdego pozycyjnego systemu liczbowego, liczby zapisywane są w postaci ciągów cyfr, spośród których każda stanowi mnożnik kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu. Przykładowo liczba, która w systemie dziesiętnym zapisywana jest jako 1000, w systemie heksadecymalnym wygląda w ten sposób: 3E8. Wszystko wyjaśnia się, gdy rozpiszemy tę liczbę:

3x162 ∙ 14x161 ∙ 8x160 = 768 ∙ 224 ∙ 8 = 1000.

System heksadecymalny używa się powszechnie w informatyce, z racji tego, iż zawartość jednego bajtu może być opisana zaledwie dwoma liczbami szesnastkowymi. Tym sposobem bardzo łatwo można przedstawić w postaci ciągu liczb heksadecymalnych kolejne bajty. Bardzo łatwo jest przejść z systemu binarnego na system heksadecymalny, wystarczy, że weźmiemy 4 bity, a następnie zamienimy je na pojedynczą cyfrę zapisaną w hexie.

Przykładowe odpowiadające sobie ciągi liczbowe w trzech różnych systemach są podane w poniższej tabeli.

Binarny Heksadecymalny Dziesiętny

00000 00 00

00001 01 01

00010 02 02

00011 03 03

00100 04 04

00101 05 05

00110 06 06

00111 07 07

01000 08 08

01001 09 09

01010 0A 10

01011 0B 11

01100 0C 12

01101 0D 13

01110 0E 14

01111 0F 15

10000 10 16

10001 11 17

10010 12 18

W codziennym życiu możemy również spotkać ślady systemu sześćdziesiątkowego, który był używany w starożytnym Babilonie. Pozostałości tego systemu we współczesnym świecie są odczuwalne do dzisiaj, przykładowo godzina jest dzielona na sześćdziesiąt minut. Jest to najstarszy znany system pozycyjny, którego zapis był niezwykle skomplikowany.