Zdania logiczne

Zaprzeczenie zdania p to zdanie "nieprawda że p" - oznaczenie "~p"
Koniunkcja jest fałszywa gdy co najmniej jedno zdanie jest fałszywe.
Alternatywa jest fałszywa gdy co najmniej jedno zdanie jest prawdziwe.
Implikacja jest fałszywa gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.
Równoważność jest fałszywa gdy oba zdania mają te samą wartość logiczną.
Prawa logiczne

Prawo logiczne - zdanie w logice, które zawsze ma wartość 1.

zasada wyłączonego środka:

zasada sprzeczności:

podwójne przeczenie:

łączność alternatyw:

łączność koniunkcji:

przemienność alternatywy:

przemienność koniunkcji:

eliminacja implikacji: ,

przechodniość implikacji

prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:

prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:

Prawa De Morgana:

Definicje zbiorów :

  • Część wspólna zbiorów (iloczyn zbiorów):
  • Suma zbiorów:
  • Różnica zbiorów:
  • Iloczyn kartezjański zbiorów A i B to taki zbiór par uporządkowanych, że pierwszy element pary należy do A, a drugi do B
  • Para uporządkowana: ważna jest kolejność, (a, b) para uporządkowana, gdy jeden z elementów jest wyróżniony jako pierwszy.
  • jest relacją zwrotną  
  •  jest relacją symetryczną  
  •  jest relacją przechodnią  
  •  jest relacją asymetryczną  
  •  jest relacją spójną  
  • Relacja R określona w zbiorze A jest relacją równoważności  jest zwrotna, symetryczna oraz przechodnia.
  • Relacja R określona w zbiorze A jest relacją częściowego porządku  jest zwrotna, asymetryczna oraz przechodnia.
  • Relacja R określona w zbiorze A jest relacją porządku  jest zwrotna, asymetryczna, przechodnia oraz spójna.
  • Zbiorem częściowo uporządkowanymnazywamy parę  gdzie A jest zbiorem, a R jest relacją częściowego porządku określoną na zbiorze A.
  • Zbiorem uporządkowanymnazywamy parę  gdzie A jest zbiorem, a R jest relacją porządku określoną na zbiorze A.
  • Element nazywamy elementem min lub max w zbiorze  ,

Definicje odwzorowań:

  • Przeciwobrazem elementu  poprzez odwzorowanie  jest zbiór = ,
  • Przeciwobrazem zbioru poprzez odwzorowanie  jest zbiór = ,
  • Surjekcja, odwzorowanie zbioru A na zbiór B - takie, że każdy element zbioru B przyporządkowany jest co najmniej jednemu elementowi zbioru A.
  • Odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem surjektywnym (suriekcją):

 , 

  • Iniekcja relacja przyporządkowująca jednemu elementowi zbioru A jeden i tylko jeden element zbioru B.
  • Odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem iniektywnym (iniekcja):
  • Bijekcja, matematyczna relacja pomiędzy zbiorami A i B taka, że każdemu elementowi zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru B i wzajemnie: każdemu elementowi zbioru B przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A. B. jest suriekcją i jednocześnie iniekcją.
  • odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem biekcyjnym  jest surjekcją oraz iniekcją
  • odwzorowanie identycznosciowe ,