Kąt

Jeżeli na płaszczyźnie narysujemy dwie półproste wychodzące z jednego punktu, otrzymamy ograniczony jej fragment, który to nazywamy kątem. Półproste będziemy nazywali ramionami kąta (OA i OB), a punkt, z którego wychodzą jego wierzchołkiem (O).

Kąt możemy oznaczyć symbolem AOB

Kąt zdefiniowany jak wyżej dzieli powierzchnię płaszczyzny na 2 części, które są nazywane obszarami kątowymi lub inaczej kątami. Jeżeli, to obszar wewnętrzny wraz z ramionami kąta tworzy kąt wypukły. Kąt, dla którego półproste OB i OA nie znajdują się na jednej prostej oraz ma tą własność, że dwa dowolne punkty leżące na jego ramionach (jeden punkt na jednym ramieniu, drugi na drugim) łączą się odcinkiem leżącym w całości we wnętrzu kąta nazywamy wypukłym. W wypadku, gdy półproste leżą w jednej prostej, obszary kątowe pozbawione są własności wypukłości.

Przy oznaczaniu kątów używamy pojedynczych liter. Jeżeli kąt oznaczamy AOB, mamy na myśli ten, który jest wypukły. Tym samym wykluczamy przypadek, w którym ramiona kąta leżą na jednej prostej.

Równość narysowanych kątów sprawdzimy wycinając je z papieru i przykładając jeden do drugiego w taki sposób, aby miały wspólny wierzchołek oraz wspólne jedno ramię - jeżeli drugie ramiona przystają do siebie wtedy i kąty do siebie przystają, czyli są sobie równe. Zapisujemy to w następujący sposób:

 ABC =  A'B'C'.

Jeżeli nie są równe, ale zachodzi nierówność:

ABC <  A'B'C',

co oznacza, że ramię A’B’ leży na zewnątrz kąta AOB

albo zachodzi:

 A'B'C' <  ABC,

co oznacza, że ramię A’B’ leży na zewnątrz kąta AOB.

Jeżeli przyjmiemy, że jedno z ramion jest ruchome, to możemy stworzyć kąt w ten sposób, że oba ramiona na początku się pokrywają, a przesuwamy ruchome ramię w dowolne położenie (por. wskazówki zegara tworzą kąt). Wtedy kąt taki powstaje poprzez obracanie ruchomego ramienia naokoło danego punktu, tutaj wierzchołka. Mówimy w takim przypadku, że kąt został zakreślony przez półprostą.

Kąt może powstawać również poprzez obrót drugiego ramienia, które przesuwa się tak jak poprzednio z położenia początkowego do końcowego. W takim razie można rozróżnić 2 zwroty kąta, jeżeli jednak nie myślimy o zwrocie, nie ma znaczenia, czy otrzymamy kąt AOB, czy BOA.

Czasami można powiedzieć, że prosta OA nachylona jest do prostej OB pod kątem BOA.

Mamy dany kąt KLM, prostą KL oraz punkt O, który na niej leży. Z punktu O możemy wyprowadzić nieograniczoną liczbę prostych (w dowolnym kierunku od prostej KL), ale tylko półprosta OM tworzy z półprostą OL kąt KLM, więc jest nachylona do półprostej OL pod kątem KLM.

„Z dowolnej strony konkretnej prostej oraz z punktu, który na niej leży, w każdym przypadku możemy poprowadzić jedyną taką półprostą, tworzącą z naszą półprostą kąt, równy kątowi danemu.”

Ten pewnik można rozumieć jako Ten pewnik rozumiemy jako sposobność do przenoszenia kąta w dowolne miejsce danej prostej, czyli zbudowania kąta takiego samego jak dany. Później powiemy jak to zrobić praktycznie.

Jeżeli poprowadzić z wierzchołka danego kąta AOB na płaszczyźnie półprostą OC, która będzie leżeć na zewnątrz naszego kąta, wtedy otrzymamy dwa kąty: AOB i BOC, mające wspólny wierzchołek oraz jedno ramię. Będziemy nazywać takie kąty kolejnymi, natomiast kąt AOC będzie sumą kątów BOC i AOB, co da się zapisać:

 AOC =  AOB +  BOC.

Oba te kąty są mniejsze od kąta AOC. Zapisujemy to w następujący sposób:

 AOB <  AOC i  BOC <  AOC.

Natomiast kątAOC jest większy niż kąty AOB oraz BOC. Zapisujemy to w następujący sposób:

 AOC >  AOB i  AOC >  BOC.

Dowolny z kątów: AOB i BOC możemy nazwać różnicą między kątami AOC oraz drugim (BOC lub AOB). Zapisujemy to następująco:

 AOB =  AOC -  BOC,

 BOC =  AOC - AOB.

Przyjrzyjmy się teraz wyjątkowemu przypadkowi, w którym półproste OA oraz OB znajdują się na jednej prostej. Jeżeli są one różnymi półprostymi, to tworzą dwa kąty przystające, zwane półpełnymi.

Jako pewnik przyjmujemy, że kąty półpełne są równe.

Natomiast w wypadku, w którym obie półproste się pokrywają powstaje kąt pełny, który ma dwa ramiona pokrywające się.

Jako pewnik przyjmujemy, że kąty pełne są równe.

Kąt pełny jest sumą 2 kątów półpełnych. Można również powiedzieć, że kąt pełny jest również sumą 2 kątów wyznaczonych przez figurę AOB, czyli przez kąt.

Wobec powyższego wiemy już, że dowolne dwa kąty można łączyć dowolnymi znakami: równości, nierówności, odejmowania, dodawania. Nie znamy jeszcze metody przenoszenia kątów, stąd nie znamy również metody znajdowania sumy i różnicy kątów, które nie są kolejne.

Gdy rozszerzymy teraz dodawanie na kilka składników, czyli dodawanie kilku kątów, to znajdziemy się przy pojęciu kata równego danemu przy powtórzeniu go pewną ilość razy, czyli pomnożeniu kąta przez całkowitą liczbę, a później jest już bardzo blisko do dzielenia kąta na części, jako działania odwrotnego.

Na kątach można przeprowadzać działania takie jak na odcinkach, ponieważ kąty są wielkościami geometrycznymi.

Kąty przyległe powstają w ten sposób, że z pewnego punktu na prostej wyprowadzamy półprostą, dzięki czemu tworzymy dwa kąty, które do siebie przylegają.

Bardziej precyzyjne jest formułowanie:

Kąty mające wspólny wierzchołek, jedno ramię oraz ich drugie ramiona leżą w jednej prostej są kątami przyległymi.

Wiemy już, że suma kątów przyległych tworzy kąt półpełny.

Kąty przyległe wzajemnie się dopełniają , stąd każdy z nich można nazwać dopełnieniem drugiego.

Dopełnienie kąta przyległego możemy nazwać różnicą pomiędzy kątem półpełnym oraz drugim kątem.

Wniosek:

Jeżeli mamy dwa kąty równe sobie, to również ich dopełnienia to kąty równe.

Jeżeli ramię CD jest wspólne dla kątów przyległych i jest ono w takim położeniu, że względem danej prostej AB, iż kąty w ten sposób utworzone są równe, to będą one kątami prostymi.

Proste, które przecinają się w ten sposób, że tworzą kąty proste, czyli kąty przyległe są sobie równe, nazywamy prostymi prostopadłymi względem siebie.

Jeżeli dwie proste przecinają się pod innym kątem niż kąt prosty, wtedy jedną prostą nazywamy pochyłą względem drugiej prostej.

Jak wiadomo, każde dwa kąty przyległe tworzą kąt półpełny, więc również przyległe kąty proste tworzą kąt półpełny. Z racji tego, że kąty proste uważa się za połowy kątów półpełnych wynika, że wszystkie kąty proste są sobie równe.

Kąt prosty jest więc wielkością stałą. Można z nim porównywać inne kąty. Kąty mniejsze od prostego nazywamy kątami ostrymi, natomiast większe – rozwartymi.

Jeżeli 2 kąty ostre stworzą kąt prosty, znaczy to, że dopełniają się one do prostego kąta.

Mamy stąd następujące wnioski: 

1. Suma dwóch kątów prostych jest równa kątowi półpełnemu. 

2. Suma dwóch kątów prostych jest równa sumie dwóch kątów przyległych. 

3. Równość dwóch kątów ostrych gwarantuje nam równość ich dopełnień do kąta prostego. 

4. Mając kąty przyległe, które nie są proste, mamy, że jeden jest ostry, a drugi rozwarty.

Mając dwie proste AB oraz CD, które przecinają się w punkcie O, otrzymamy 4 kolejne kąty: AOD, DOB, BOC, COA. Wśród nich możemy wyróżnić kąty przyległe, na przykład: AOD i DOB oraz nie przyległe, na przykład: AOD i BOC.

Dwa kąty, które są utworzone przez 2 proste przecinające się nazywamy kątami wierzchołkowymi, wtedy gdy ramiona jednego są przedłużeniem drugiego ramion.

Takie kąty mają następującą własność:

Twierdzenie

„Kąty wierzchołkowe są sobie równe.”

Jeżeli z wierzchołka AOB zostanie wyprowadzona półprostą OC leżąca wewnątrz naszego kąta, otrzymamy 2 kąty: AOC i COB tworzące w sumie dany kąt AOB.

Gdy półprostą OC poprowadzimy tak, że:

 AOC =  COB,

wtedy kąt AOB zostanie podzielony na pół oraz półprosta OC będzie się nazywała dwusieczną kąta.