Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Niech α będzie kątem ostrym w trójkącie prostokątnym ABC (jest to zaznaczony kąt, ABC):

Boki a i b to przyprostokątne trójkąta. Bok c to przeciwprostokątna.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przeciwprostokątnej:

sin α = a/c

Cosinus kąta ostrego w trójkącie przyprostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej:

cos α = b/c

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do przyległej:

tg α = a/b

Cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do przeciwległej:

ctg α = b/a

Miara łukowa kąta

Rozważmy kąt środkowy α (na rysunku kąt AOB), oparty na łuku AB.

Miarą łukową kąta jest długość łuku okręgu o promieniu 1, na którym to łuku oparty jest ten kąt. Liczba ta jest niemianowana, to znaczy bezwymiarową, i przyjmuje wartości od 0 do 2π (bo najdłuższym łukiem może być cały obwód okręgu o promieniu 1, a obwód takiego okręgu to właśnie 2π). Jednostką tej miary jest radian.

Kąt skierowany

Kąt skierowany to uporządkowana para półprostych o tym samym początku. Ponieważ półproste są uporządkowane, możemy wyróżnić pierwszą z nich i drugą. Pierwsza nazywana jest ramieniem początkowym kąta skierowanego, a druga - ramieniem końcowym kąta skierowanego.

Jeśli kąt jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to przyjmuje się, że posiada on miarę dodatnią. jeśli kąt skierowany jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to przyjmuje się, że posiada on miarę ujemną.

Na rysunku przedstawiony jest kąt skierowany AOB. Posiada on miarę dodatnią, gdyż skierowany jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

Dla dowolnego kąta skierowanego α (na rysunku kąt XOP) weźmy układ współrzędnych i nanieśmy na niego ten kąt skierowany w ten sposób, by wierzchołek kąta znalazł się w początku układu współrzędnych, a początkowe jego ramię pokrywało się z dodatnią półosią osi X (czyli półprostą OX).

Na końcowym ramieniu kąta ustalmy dowolny punkt P o współrzędnych (x, y).

Oznaczmy: x=|OT|, y=|TP|, r=|OP|.

Wtedy:

sin α = y/r

cos α = x/r

tg α = x/y

ctg α = y/x

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Funkcja trygonometryczna zmiennej rzeczywistej x to funkcja trygonometryczna kąta skierowanego, którego miara łukowa jest równa x.

Własności funkcji trygonometrycznej f(x) = sin x:

Dziedzina: liczby rzeczywiste

Zbiór wartości: <-1, 1>

Jest to funkcja nieparzysta: sin(-x)=-sin x

Jest to funkcja okresowa o okresie podstawowym równym 2π: sin(x+2π)=sin(x)

Własności funkcji trygonometrycznej f(x) = cos x:

Dziedzina: liczby rzeczywiste

Zbiór wartości: <-1, 1>

Funkcja cosinus jest parzysta: cos(-x)=cos(x)

Funkcja jest okresowa o okresie podstawowym równym 2π: cos(x+2π)=cos(x)

Własności funkcji trygonometrycznej f(x) = tg(x)

Dziedzina:

gdzie R = liczby rzeczywiste, Z = liczby całkowite

Zbiór wartości: liczby rzeczywiste

Funkcja jest nieparzysta: tg(-x)=-tg(x)

Funkcja jest okresowa o okresie podstawowym równym π: tg(x+π)=tg(x)

Własności funkcji trygonometrycznej f(x)=ctg(x)

Dziedzina:

Zbiór wartości: liczby rzeczywiste

Funkcja jest nieparzysta: ctg(-x)=-ctg(x)

Funkcja jest okresowa o okresie podstawowym równym π: ctg(x+π)=ctg(x).

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:

Wzory redukcyjne

Wzory te pozwalają wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta przy pomocy wartości funkcji trygonometrycznych kąta, którego miara należy do przedziału <0,2π>. Jest to możliwe, gdyż funkcje trygonometryczne sin, cos, tg, ctg są funkcjami okresowymi.