Historia matematyki bardzo dawnych czasów. Matematyka istnieje od czasów gdy ludzi zaczęli porównywać wielkości, zaczęli mierzyć, liczyć oraz wyciągać wnioski. W starożytnym Egipcie i Babilonii rozwinęły się rachunki, dzięki czemu powstała arytmetyka i algebra. Babilończycy używali do liczenia systemu sześćdziesiątkowego. Poważny rozwój matematyki rozpoczął się w starożytnej Grecji od pracy Talesa z Miletu. Cechą matematyki greckiej jest ujęcie geometrii. Jej jednym z największych osiągnięć są Elementy Euklidesa czy prace Archimedesa, gdzie już tkwiło w sposób utajniony pojęcie granicy, które jest podstawową dla całej analizy matematycznej, a także prace Diofantosa, gdzie spotkać można ideę liczb ujemnych. Matematyka w Grecji przekształciła się na naukę dedukcyjną. W średniowieczu matematyką głównie zajmowali się uczeni arabscy, rozpowszechniając po Europie pozycyjny (dziesiątkowy) system liczenia, który został utworzony przez Indusów, rozwijali również algebrę, której początek wiąże się z pracami arabskiego matematyka Al-Chuwarizmiego -IX wiek. W XVI wieku we Włoszech rozpoczął się renesans matematyki, wówczas to N. Taraglia, G. Sardano oraz L. Ferrari zaprezentowali metody jakie należy stosować przy rozwiązywaniu równań algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia. Natomiast XVII wiek jest początkiem matematyki nowożytnej. Powstał wówczas rachunek całkowy i różniczkowy (I. Newton, G.W. Leibniz), geometria analityczna (R. Descartes, P. Fermat), geometria różniczkowa oraz rachunek prawdopodobieństwa (Fermat, B. Pascal). W XVIII wieku wysunęła się na początek mechanika teoretyczna (L. Euler, J. Lagrange, P. Laplace), dając początek teorii równań różniczkowych. Nadal rozwijał się rachunek wariacyjny oraz geometria różniczkowa. A. Cauchy, C.F. Gauss i K. Weierstrass w XIX w. stworzyli podstawę do teorii funkcji analitycznych, zaś Bolyai oraz Łobaczewski odkryli geometrię nieeuklidesową. Nastąpił także szybki w tym czasie rozwój algebry. N.H. Abel i E. Galois rozstrzygnęli problemy podstawowe teorii równań algebraicznych, szczególnie prace Galois dały początek nowemu nurtowi badań algebraicznych, z którego pochodzi obecna algebra abstrakcyjna. Jej przedmiotem badań są pierścienie, grupy, ciała oraz przestrzenie liniowe. Nastąpił również rozwój teorii funkcji rzeczywistych (Weierstrass) oraz arytmetyki teoretycznej (L. Kronecker, J. Dedekind).

Dla matematyki XIX wieku szczególne znaczenie miało powstanie i szybki rozwój teorii mnogości (G. Cantor). Głównym zadaniem teorii mnogości było badanie zbiorów nieskończonych. Miała ona duży wpływ na rozwój matematyki oraz na rozwój badań w logice matematycznej, a także podstaw matematyki (G. Frege, G. Peano, D. Hilbert, K. Godel i in.). Na przeł. XIX i XX wieku powstała topologia -1902 rok. To nowa bardziej ogólna teoria miary i całki (H. Lebesgue), mająca duże znaczenie w analizie matematycznej i w rachunku prawdopodobieństwa, a także w analizie funkcjonalnej (pierwsza połowa XX w., D. Hilbert, S. Banach, F. Riesz i in.), w której to umiejętnie zostały połączone struktury algebraiczne ze strukturami topologicznymi. Matematyka XX wieku charakteryzuje się dużym zasięgiem zastosowań obejmujących zarówno nauki ścisłe i przyrodnicze, jak również ekonomię oraz niektóre działy humanistyczne. Coraz to większe mają znaczenie nowo powstałe kierunki : teoria masowej obsługi, teoria gier, statystyczna kontrola jakości, teoria informacji; rozwija się także teoria oraz zastosowanie komputerów.

ARYTMETYKA

To dział matematyki, o obszarze zainteresowań w teorii rachunków w pewnych tworach algebraicznych, na przykład arytmetyka liczb całkowitych, wymiernych ,naturalnych, rzeczywistych, zespolonych, a także arytmetyka liczb, wielomianów, macierzy, kardynalnych, itp.). Na początku arytmetykę rozumiano jako naukę o regułach działań na liczbach.

ALGEBRA

Jest jednym z najstarszych w matematyce działów. Słowo algebra ma początek w tytule dzieła arabskiego uczonego Al-Chuwarizmiego (IX w.) Hisab al-dżabar wa al-mukabala. Algebra początkowo była to teoria rozwiązywania równań, potem zaczęto zaliczać do niej rozważania, które dotyczyły rachunków na znakach zmiennych. Współcześnie przedmiotem jej badań są abstrakcyjne twory, jak:, pierścienie, ciała, grupy, algebry Boole'a, przestrzenie liniowe i inne. Ostatnio pojawiła się tendencja formułowania problemów matematycznych w algebraicznej postaci. W ten sposób osiągnięte wyniki, które łączą pozornie odległe działy matematyki, bywają często zaskakujące. " Algebraizacja" matematyki ma silny wpływ na rozwój samej algebry, ma ona szerokie bowiem zastosowanie w matematyce, jak również w fizyce oraz technice.

ANALIZA MATEMATYCZNA

To dział matematyki opierający się na pojęciu granicy i funkcji. Zajmuje się teorią granic funkcji i ciągów, szeregów liczbowych oraz funkcyjnych, rachunkiem różniczkowym i całkowym. Do analizy matematycznej również zalicza się funkcje analityczne, analizę funkcjonalną, równania całkowe, równania różniczkowe zwyczajne oraz cząstkowe, geometrię różniczkową , rachunek wariacyjny; i inne. Analiza matematyczna pochodzi z stworzonego przez I. Newtona i G.W. Leibniza w wieku XVII, rachunku różniczkowego oraz całkowego. Na dalszy rozwój analizy matematycznej przyczynili się między innymi: L. Euler, J.L. de Lagrange, P.S. Laplace, A.L. Cauchy, P.G.L. Dirichlet, K. Weierstrass. Dzięki szerokiemu zastosowaniu analizy matematycznej jest ona do współczesnych czasów jednym z głównych działów matematyki.

GEOMETRIA ANALITYCZNA

Geometria analityczna jest działem matematyki zajmującym się badaniem własności figur geometrycznych przy pomocy metody współrzędnych. Jej prekursorami byli P. Fermat oraz R. Descartes. R. Descartesa uważa się za twórcę geometrii analitycznej (Geometrie 1637). Postać geometrii analitycznej w jakiej występuje na dzisiaj to dzieło L. Eulera (Introductio in analysis infinitorum 1748). Geometria analityczna od stu lat jest dominującym, jeżeli chodzi o sposób uprawiania geometrii (również w zastosowaniach).

GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA

Geometria różniczkowa jest działem geometrii, który zajmuje się badaniem własności różnych tworów geometrycznych, jak krzywe czy powierzchnie, wykorzystując do tego rachunek różniczkowy. Bada lokalne własności powierzchni i krzywych, również rodzin powierzchni i krzywych, które są wyrażone równaniami i znajdują się w przestrzeniach trójwymiarowych lub więcej wymiarowych. Klasyczna geometria różniczkowa bada te własności tworów geometrycznych, które są niezmiennikami grupy ruchów. Geometria różniczkowa nowsza zajmuje się badaniem tych własności, które są niezmiennicze względem przekształceń afinicznych lub rzutowych.

Podstawowe pojęcia w geometrii różniczkowej powierzchni i krzywych to: styczna, normalna, krzywizna, skręcenie, płaszczyzna ściśle styczna, płaszczyzna styczna, ewoluta, ewolwenta, współrzędne krzywoliniowe na powierzchni, długość łuku. Na potrzeby uogólnień w różnych kierunkach wprowadzono pojęcie wielowymiarowej przestrzeni. Dzięki dalszym uogólnieniom wprowadzono bardzo ważne pojęcie w matematyce: przestrzeń Reimanna, która ma nieeuklidesową geometrię. Początek geometrii różniczkowej to druga połowa siedemnastego wieku.

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zjawisk losowych, czyli przypadkowych i ich modeli. Podstawowe pojęcia występujące w rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenia elementarne, losowe (są podzbiorem zbioru zdarzeń elementarnych) i prawdopodobieństwo (jest ono funkcją idącą z przestrzeni zdarzeń elementarnych na zbiór [0; 1]). Prawdopodobieństwo dla niemożliwego zdarzenia równa się zero, natomiast dla zdarzenia pewnego równa się jeden. Zmienną losową X jest funkcja, której dziedziną jest zbiór zdarzeń elementarnych. Teoria prawdopodobieństwa miała swój początek w grach hazardowych około XVII wieku. Później szybko się rozwinęła na inne dziedziny nauki, w których ważny był przypadek. Kołomgorow w 1933 roku sformułował aksjomatykę dla teorii prawdopodobieństwa. Dzisiaj rachunek prawdopodobieństwa rozwija się głównie dzięki problemom powstającym w biologii, technice, fizyce, chemii, ekonomii, socjologii, medycynie, psychologii, czy chociażby badaniach społecznych. Łącznikiem pomiędzy teorią prawdopodobieństwa i jej zastosowaniem jest statystyka matematyczna.

TEORIA MNOGOŚCI

Teoria mnogości jest matematyczną teorią, która bada własności zbiorów. Jej nazwa pochodzi od dawnej nazwy zbioru - mnogość. Teorię mnogości zapoczątkował w drugiej połowie dziewiętnastego wieku G. Cantor w swoich pracach. E. Zermelo, A. Fraenkel na początku XX wieku przedstawili ją w aksjomatycznej postaci. Na jej gruncie można definiować większość podstawowych pojęć matematycznych: liczby (wymierne, całkowite, rzeczywiste), działania arytmetyczne, naturalne uporządkowanie, relacje, funkcje i inne. Dzięki takiemu podejściu każdą matematyczną teorię można traktować jako część teorii mnogości.

LOGIKA MATEMATYCZNA

Logika matematyczna jest działem matematyki, który zajmuje się modelami teorii matematycznych oraz badaniem jakie własności ma wnioskowanie, dowodzenie matematyczne.

Początki logiki datuje się na drugą połowę dziewiętnastego wieku (G. Boole, Ch. Peirce, G. Peano). Jednakże uformowała się i rozwinęła dopiero w dwudziestym wieku (G. Frege, D. Hilbert, B. Russell). Najciekawszych odkryć w logice dokonali w latach trzydziestych K. Godel i A. Tarski. W logice matematycznej można wyodrębnić następujące działy: logika ogólna, teoria modeli (bada związki zachodzące pomiędzy zbiorami zdań i ich modelami), teoria rekursji (bada efektywność konstrukcji matematycznych i logicznych, rozstrzygalność teorii, jest ona oparta na pojęciu obliczalnej (rekurencyjnej) funkcji), teoria dowodu (bada strukturę dowodów matematycznych oraz zagadnienia dotyczące konstruktywności).