Najbardziej naturalne są liczby naturalne. "Całość" liczb całkowitych jest niezaprzeczalna. Liczby wymierne biorą swoją nazwę od mierzenia, wymierzania czegoś, pomiary wszystkich praktycznych rzeczy dokonujemy w liczbach wymiernych, zresztą do przeprowadzenia większości obliczeń używamy także jedynie liczb wymiernych. Do czego więc może nam się przydać szersze, także trudniejsze pojęcie jakim są liczby rzeczywiste, skoro do rachunków wystarczają liczby wymierne? Zdefiniowanie liczb rzeczywistych stwarza przeważnie pewne trudności, w większości podręczników szkolnych jest przemycana, precyzyjne sformułowanie należy do rzadkości. Definicja liczby naturalnej jest łatwa do przyswojenia. Liczby naturalne opisują dokładnie wszystko co widzimy wokoło, są naturalnym uogólnieniem otaczających nas przedmiotów. Jednak idąc trochę dalej w abstrakcyjność liczb dochodzimy do tego, że zapisanie liczby naturalnej, która nie przedstawia nam nic z otaczającego świata także nie jest trudne. Na przykład liczba naturalna n=10000001000000 jest tak duża, że bardzo trudna do zrealizowania w świecie materialnym, tzn. nie znajdziemy w naszym otoczeniu takiego zbioru, który miałby tyle elementów. Nie ma problemów z wyobrażeniem sobie niewielkiej liczby naturalnej , gorzej jest z liczbami bardzo dużymi. Jednak zbiór wszystkich liczb naturalnych N da się dość łatwo zdefiniować. Liczba 1 musi należeć do tego zbioru oraz jeżeli liczba n zawiera się w tym zbiorze, to musi należeć tam też liczba n + 1. Te dwie zasady są naszą definicja, tzn. najmniejszy zbiór spełniający te dwie własności to N. Definicję tą można zobrazować poprzez dowcip o ładowaniu do pustej ciężarówki wykałaczek. Oczywiście jedna wykałaczka się tam zmieści. Praktycznie rzecz biorąc, jeśli włożymy do ciężarówki n wykałaczek, to n + 1-sza też się zmieści. Zatem do ciężarówki można załadować tyle wykałaczek, że ich ilość jest równa ilości liczb naturalnych, czyli nieskończoność! Wyobraźmy sobie, że matematycy mają taką abstrakcyjną ciężarówkę N zawierającą w sobie wszystkie liczby naturalne. W dodatkowej ciężarówce noszą ich "odbicia lustrzane" w zerze, są to ujemne liczby całkowite. Do rozstrzygnięcia pozostaje jeszcze kwestia, do której ciężarówki ma należeć zero. Tutaj są różne szkoły, jedna zalicza zero do liczb naturalnych, inna traktuje liczby naturalne od jedynki, a zero jako całkowicie odrębny obiekt. Jest to rzecz nieistotna i niewarta dyskusji! Oprócz ciężarówek z liczbami całkowitymi matematycy mają także swoistą maszynę krojącą te liczby. Mówiąc formalnie, matematycy konstruują liczby wymierne za pomocą liczb całkowitych. Liczby wymierne to ułamki m/n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi, a n jest różne od zera. Część tych ułamków jest sobie równa. Definiujemy na nich w naturalny sposób podstawowe działania arytmetyczne jakimi są dodawanie i mnożenie, następnie działania odwrotne : odejmowanie i (tu wyłączając zero)dzielenie. Wprowadzamy relację mniejszości a < b, czyli porządkujemy je. Liczby wymierne podobnie jak naturalne potrafimy sobie w miarę łatwo wyobrazić. Wyobrażamy sobie więc n-tą część czegoś, liczbę 1/n; biorąc wielokrotność m takich części, tzn. liczbę m/n, ewentualnie zmieniając znak, mamy już wszystkie liczby wymierne. A jakże są one użyteczne. Za pomocą nich przeprowadzamy wszelkie transakcje handlowo-bankowe, różne pomiary, w technice są po prostu wszędzie. Teoretycznie w tych dziedzinach występuje nieskończenie wiele liczb wymiernych. W praktyce używa się ich skończenie wiele, których oszacowanie jednak stwarza duże problemy. Jak zawsze teoria jest krok do przodu przed praktyką.

Niestety, także zbiór liczb wymiernych nie jest pozbawiony wad. Co prawda jest gęsty, co oznacza, że jeżeli weźmiemy dwie liczby wymierne to zawsze znajdziemy trzecią położona miedzy nimi. Lecz jest także dziurawy, rozmieszczenie tych dziur także jest gęste, tzn. dziurę znajdziemy zawsze pomiędzy dowolnymi liczbami wymiernymi. Czym są i skąd się biorą te dziury? Zbiór liczb wymiernych jest tak skonstruowany ,że przedstawia się go jako bardzo gęste jednowymiarowe sito. "Dziurę" w zbiorze licz wymiernych lub inaczej mówiąc "lukę" definiujemy w taki sposób, że dzielimy zbiór wszystkich liczb wymiernych na dwa podzbiory X i Y(niepuste),w taki sposób że każda liczba ze zbioru pierwszego (X) jest mniejsza od każdej liczby ze zbioru drugiego(Y), zakładamy też, że w zbiorze X nie istnieje liczba największa, a w zbiorze Y najmniejsza. Wtedy dziura leży pomiędzy liczbami wymiernymi x i y (x < y), jeśli x należy do X, a y należy do Y. Widać to jaśniej na przykładzie , weźmy jako X wszystkie liczby wymierne, które po podniesieniu do kwadratu są mniejsze od 2, a jako Y liczby, które po podniesieniu do kwadratu są większe od 2. Wtedy dziurą w liczbach wymiernych jest różnica zbioru liczb rzeczywistych i podziału tego zbioru na zbiory X i Y. Gdzie ona leży? Spróbujmy to oszacować. Na pierwszy rzut oka znajduje się pomiędzy 1 i 2. Licząc z dokładnością do pierwszego miejsca po przecinku widzimy , że leży ona między 1,4 a 1,5, a z dokładnością do dwóch liczb to leży ona między 1,41 a 1,42. Można oczywiści iść znaczenie dalej. W czym przeszkadzają nam te dziury? Można sobie wyobrazić, że treść matematyczna wielu twierdzeń o subtelnej budowie wycieka przez te dziury. Liczby wymierne są świetne do rachunków , ale złe do przeprowadzania obliczeń teoretycznych, używając bardziej skomplikowanych niż dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie działań na liczbach, szczególnie jeżeli chodzi nam nie o przybliżony wynik ale dokładny. Dla przykładu pierwiastkowanie w tym zbiorze jest niewykonalne. Podobnie jest z logarytmowaniem i wielu innymi funkcjami. Po prostu brakuje liczb do wykonywania tych działań, zbiór liczb wymiernych wydaje się za mały, by udało nam się wykonać w nim dowolne logarytmowanie lub pierwiastkowanie. Działania te są naturalnie i poprawnie zdefiniowanie, trzeba wiec, jak robi się to wielu innych przypadkach, rozszerzyć zbiór przedmiotów, na których wykonujemy te działania. Taki zabieg stosuje się bardzo często w matematyce, szczególnie najnowszej, my w dalszej części pracy pokażemy jak się wykonuje taki zabieg na przykładzie rozszerzenia liczb wymiernych do liczb rzeczywistych.

Oto jak wykonuje się to rozszerzenie. Każdą dziurę w zbiorze liczb wymiernych trzeba jakoś zatkać, można przyjąć, że liczby wymierna na osi liczbowej są reprezentowane jako punkty, wtedy dziury są także punktami. Wyobraźmy sobie teraz, że jednocześnie zatykamy wszystkie dziury. Ważny jest fakt, że wszystkie dziury są zatkane równocześnie! Nie należy traktować procesu zatykania jako jakiego uporządkowanego ciągu czynność, my nie jesteśmy w stanie ponumerować liczbami naturalnymi. Jest to niemożliwe, ponieważ jak to już zostało udowodnione dziur tych jest znacznie więcej. Nienaturalnym ale prawdziwym jest stwierdzenie, że liczb wymiernych jest tyle samo co naturalnych. Jednak każdy sposób ponumerowania dziur wszystkimi liczbami naturalnymi jest skazany na niepowodzenie! W żargonie matematycznym mówimy, że zbiór jest przeliczalny, jeśli wszystkie jego elementy da się ponumerować kolejnymi liczbami naturalnymi, a jest nieprzeliczalny, jeżeli jest to niewykonalne. Zbiory nieprzeliczalne są znacznie większe, znacznie obszerniejsze niż zbiory przeliczalne. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, natomiast zbiór wszystkich liczb niewymiernych czyli dziur w tym zbiorze jest nieprzeliczalny. Prostu wniosek, że w zbiorze liczb wymiernych jest mniej niż dziur! Wydaje się to paradoksem, ale powoduje, że wiele twierdzeń matematycznych wycieka ze zbioru liczb wymiernych właśnie przez te dziury. Wracając do rozszerzenia liczb wymiernych do liczb rzeczywistych. Liczby rzeczywiste skonstruujemy z liczb wymiernych oraz z przedmiotów, które wypełnią nam nasze dziury czyli liczb niewymiernych. Aby lepiej zilustrować to co robimy, wyobraźmy sobie, że liczby niewymierne są takimi "kołkami" zatykającymi dziury pomiędzy liczbami wymiernymi. Intuicyjnie konstrukcję zbioru liczb rzeczywistych można opisać jako wbijanie tych "kołków" w nasze dziury. Oczywiście jak już to wcześniej było zaznaczone wbijanie to następuje równocześnie we wszystkich miejscach. Powyższy opis wbijania "kołków" w dziury jest tylko intuicyjnym opisem konstrukcji, wyjaśnieniem jej celu. Matematycznie rozszerzenie to opiera się na bardzo precyzyjnej konstrukcji, spróbuje ją tu choć trochę przybliżyć. Znane są dwie metody "wbijania kołków", jest to metoda Dedekinda i metoda Cantora. Ze względu na bardzo dużą precyzje konstrukcji obydwie posiadają tę samą wadę: mniej istotne szczegóły techniczne zaciemniają podstawową, prostą i jasną intencję konstrukcji. Dlatego nie będę się tu zagłębiał w żadną z nich. Pokaże tylko o zasadniczą różnicę między tymi metodami. Kołki oczywiście muszą być zrobione z czegoś, z jakiegoś abstrakcyjnego podmiotu opisywanego odpowiednimi pojęciami matematycznymi. Metody Cantora i Dedekinda głównie różnią się materiałem, z którego wykonane są kołki. W metodzie Dedekinda kołkiem zatykającym dziurę jest także dziura! Dziura jest zatykana przez nią samą! Z punktu widzenia filozoficznego definicja Dedekinda zbioru liczb niewymiernych jest w wysokim stopniu abstrakcyjna. Natomiast konstrukcja metodą Cantora jest oparta całkowicie na analizie matematycznej, czyli takim "robotniczym narzędziu" każdego matematyka.

Konstrukcja została skończona, kołki są wbite. Pozostało nam tylko pytanie, czy z naszym nowym zbiorze liczb rzeczywistych nie mamy przypadkiem podobnych dziur jak w zbiorze liczb wymiernych. Stosując tą samą definicję dziury jak w przypadku liczb wymiernych, dzielimy nasz zbiór na dwa podzbiory i sprawdzamy czy powstała nam jakaś dziura. Na szczęście okazuje się że nie, liczby rzeczywiste mają charakter absolutnie szczelny. Widzimy więc, że zbiór liczb rzeczywistych ma o wiele lepsze własności, niż zbiór liczb wymiernych. Jesteśmy oczywiście w stanie ten zbiór uporządkować , tak samo podstawowe działania arytmetyczne, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie są uogólniane na liczby rzeczywiste, co więcej można w tym zbiorze dokonywać bez żadnych ograniczeń także dużo innych operacji: logarytmowanie ,pierwiastkowanie, potęgowanie itp., których w obrębie liczb wymiernych nie zawsze udawało nam się dokonać. Największa gałąź współczesnej matematyki - Analiza Matematyczna jest zbudowana właśnie w oparciu o zbiór liczb rzeczywistych. Jest tu wykorzystywana głównie jedna cecha tego zbioru jaką jest "szczelność" lub formalnie mówiąc zupełność zbioru liczb rzeczywistych. Jest to główne założenie wielu ważnych twierdzeń z tej dziedziny. Dlatego też twierdzenia z Analizy Matematycznej nie są prawdziwe, jeśli zbiór liczb rzeczywistych zostaje zastąpiony przez zbiór liczb wymiernych. Liczbom wymiernym brakuje właśnie tej podstawowej własności. Liczby rzeczywistej są pojęciem niezbędnym dla całej teoretycznej matematyki. Wykorzystywane są też dla formowania ogólnych metod w matematyce stosowanej wyłączając przybliżone rachunki, które są wykonywane na konkretnych liczbach. Następuje wtedy powrót do liczb wymiernych, jakże łatwiej operować na nich za pomocą komputera, który to przecież przeprowadza teraz za ludzi większość obliczeń. Jest to niewątpliwie fakt dla którego pojęcie liczb wymiernych jest także bardzo ważne w matematyce. Dla laika zbiór liczb rzeczywistych, konstruowany metodą Cantora lub Dedekinda, wydaje się być "czarną magią", czymś znacznie mniej przystępnym niż liczby wymierne. Dla matematyka zbiór ten jest głównym narzędziem pracy. W pojęciu matematycznym nie ma większej różnicy miedzy liczbą rzeczywistą a liczbą wymierną, obie są tworami konstruowanymi za pomocą określonych zasad i obie w wielu przypadkach są niezastąpione.