Przedstawię dowód, w którym należy znaleźć miejsce zastosowania niedozwolonego działania.

Wyjściowym naszym równaniem będzie równość x i y, czyli mamy:

1) x = y

Gdy obie strony tego równania pomnożymy przez x otrzymamy:

2) x2 = xy

Teraz od obu stron równania odejmujemy y2, dostaniemy:

3) x2 - y2 = xy - y2

Jak wiadomo działanie takie jest dozwolone, ponieważ po obu stronach można dodawać lub odejmować wyrażenia i nie ma to wpływu na wartość wyjściowego równania. To samo robimy podczas znanego wszystkim przenoszenia wyrazów na drugą stronę, kiedy to od obu stron odejmujemy lub do obu stron dodajemy to samo wyrażenie.

Patrząc na wyrażenia z lewej strony, widzimy, że jest to znany nam wzór skróconego mnożenia, mianowicie różnica kwadratów: x2 - y2 = (x - y)(x + y), który możemy tutaj zastosować. Mamy więc:

4) (x - y)(x + y) = xy - y2

W wyrażeniu z prawej strony możemy wyłączyć y przed nawias:

5) (x - y)(x + y) = y(x - y)

Widać, że po obu stronach równania mamy ten sam czynnik (x - y), przez który możemy skrócić równanie. Dostaniemy:

6) x + y = y

Wobec początkowej równości 1) x = y dostaniemy równanie:

7) 2y = y

Co oznacza ta równość? To, że każda liczba jest równa swojemu podwojeniu!!

Gdzie tkwi błąd?

Jak w większości takich dowodów - w dzieleniu przez zero! Ponieważ z 1) mamy x = y, czyli po przeniesieniu na jedną stronę mamy: x – y = 0, czyli dokonaliśmy niedozwolonego dzielenia w 5) przez 0!!