1. Liczby i działania

1. Liczby rzeczywiste - każda liczba, którą można zaznaczyć na osi liczbowej.

2. Liczby wymierne - mogą być przedstawione w postaci ułamka p/q , przy czym p może być każdą liczbą całkowitą, natomiast q każdą liczbą naturalną.

3. Liczby niewymierne - wszystkie, które nie są wymierne, czyli nie dają się przedstawić w postaci ułamka p/q. Są one liczbami rzeczywistymi.

4. Liczby naturalne - należą tutaj wszystkie liczby, które są całościami większymi od zera. Są one liczbami rzeczywistymi i wymiernymi.

5. Liczby całkowite - są to liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi, czyli liczby naturalne i ich ujemne odpowiedniki. Są one liczbami rzeczywistymi i wymiernymi.

6. Liczby pierwsze -są to liczby naturalne mające dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie(3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19).

7. Liczby złożone - są to liczby, które posiadają więcej niż 2 dzielniki.

8. Jedynka jest liczbą jedyna w swoim rodzaju, nie jest ani pierwsza, ani złożona, ma tylko jeden dzielnik: samą siebie.

9. Liczbami przeciwnymi są liczby, których suma równa jest 0.

10. Liczbami odwrotnymi są liczby, których iloczyn równy jest jeden.

Liczba to podstawowe pojęcie w matematyce. Człowiek był ich świadomy od samego początku swojego istnienia. W miarę rozwoju cywilizacji oraz kultury liczby przekształcały się i zmieniały. Ludy pierwotne wyróżniały tylko jedność oraz wielość. Po pewnym czasie takie rozróżnienie okazało się niewystarczające i wymyślono liczby naturalne, jako najnaturalniejsze liczebniki. Były one całkowite oraz dodatnie. Dzięki nim człowiek mógł już opisać wiele rzeczy i zdarzeń. Co najważniejsze, mógł precyzyjniej przekazywać informacje innym ludziom. Aby trwale zaznaczyć liczbę nacinano różne materiały, takie jak: kije, kości oraz inne przedmioty, które były używane w życiu codziennym. Gdy zaczęło się rozwijać piśmiennictwo, kluczowe było zapisywanie liczb z użyciem umownych znaków oraz ich nazywanie. Z czasem zauważono, że tworzenie kolejnych liczb odbywa się poprzez dodawanie do poprzedniej jedynki. Jest to zanotowane w Dziejach Euklidesa i Archimedesa. Przez Archimedesa została opracowana metoda zapisu i nazywania liczb, które są większe niż "liczba ziaren piasku na świecie". Arytmetyka zaczęła się rozwijać w momencie gdy ustalono zasady odejmowania, dodawania, dzielenia i mnożenia liczb naturalnych oraz poznano ich własności. Pierwszy raz rozszerzono pojęcie liczb gdy wprowadzono ułamki, dzięki którym można było dzielić liczby naturalne. Kolejną nowością było wprowadzenie liczb ujemnych oraz zera, co miało miejsce w Indiach w VI-XI wieku. Z kolei dzięki temu można było odejmować bez ograniczeń liczby naturalne. Kolejną innowacją było wprowadzenie przez Descartesa wektorów jako interpretacji odcinka łączącego 2 punkty z wyróżnionym na nim kierunkiem. Początek wektora to jeden punkt, natomiast jego koniec to drugi punkt, przy czym wektor jest skierowany w stronę przeciwną niż kierunek osi liczbowej. W głównej mierze dzięki Descartesowi w Europie rozpowszechniły się liczby ujemne.

Gdy odkryto liczby naturalne, później przeciwne do nich liczby ujemne oraz zero, zbiór tych liczb nazwano liczbami całkowitymi. Kolejnym postępem, było rozróżnienie liczb dodatnich od ujemnych oraz wyróżnienie liczb wymiernych jako ułamków, w których licznik jest liczbą całkowitą, a mianownik naturalną. Liczby wymierne są zbiorem gęstym, co oznaczam że mając dwie dowolne liczby wymierne, możemy znaleźć trzecią, która leży pomiędzy nimi. Następne poszerzenie pojęcia liczb to liczby niewymierne, czyli takie które nie dają się przedstawić w takich ułamkach jak wymierne. Najlepszym przykładem może być tutaj pierwiastek z trzech. Na liczby rzeczywiste składają się wszystkie liczby wymierne oraz niewymierne. Można je przedstawić bardziej obrazowo za pomocą analogii do osi liczbowej, na której możemy zaznaczyć dowolną liczbę rzeczywistą, niezależnie od tego czy jest ona wymierna czy niewymierna. Najbardziej zaawansowane było wprowadzenie liczb zespolonych, którymi są pary liczb rzeczywistych, w których ważny jest porządek występowania. Na liczbach zespolonych można wykonywać działania dodawania i mnożenia, które są dla nich specjalnie zdefiniowane. Liczbami zespolonymi są również liczby rzeczywiste, ale mają one zerową część urojoną, czyli drugą liczbę z pary.

Babilończycy zauważyli, że wszystko w przyrodzie i na niebie jest cykliczne. Dzień następuje po nocy, noc po dniu, pory roku pojawiają się w ustalonym porządku, tak jak fazy księżyca. Uznali oni, że liczby są wyrażeniem kosmicznego porządku.

Symboliczne znaczenie liczb przejawia się w wielu kulturach. Ludzie zajmujący się numerologią badają jak wpływają one na naszą przyszłość. Liczby wyrażają nie tylko stosunki ilościowe ale również jakościowe. Przykładem może być liczba siedem, uznawana za świętą, ponieważ przedstawia jedność ziemi (4) z pierwiastkiem boskim (3).

2. Procenty

Procentem nazywamy setną część liczby i oznaczamy go symbolem %.

Oprocentowanie jest formą dochodu, jaki uzyskują właściciele na kapitale pożyczkowym, czyli w momencie pożyczenia swojego kapitału w pieniądzu innym ludziom. Jego wysokość zależy od wysokości pożyczki i od stóp procentowych. Pożyczenie kapitału może być bezpośrednie lub pośrednie. Bezpośrednie jest na przykład w momencie zakupu obligacji, natomiast pośrednie przy pośredniczeniu banku lub innego podmiotu finansowego.

Ważnym pojęciem w odsetkach jest procent składany, czyli sposób naliczania odsetek, polegający na tym, że naliczamy odsetki od kapitału początkowego w następujących po sobie okresach: miesiącach, kwartałach, latach itp. W każdym następnym okresie kapitałem podstawowym jest kapitał podstawowy z poprzedniego okresu powiększony o odsetki.

Aby obliczyć procent składany, korzystamy z poniższego wzoru:

Kn = Ko*(1+r)^n

Jest to wzór na kapitalizacje roczną, gdzie:

Kn - wielkość kapitału po n latach,

Ko - wielkość początkowa kapitału,

r - stopa oprocentowania, roczna

n - ilość lat

Dzięki powyższemu wzorowi możemy na przykład obliczyć ile zarobimy na oszczędnościach złożonych w banku przy stopie procentowej r.

Jeżeli chcemy obliczyć procent składany na okresy krótsze niż rok, korzystamy ze wzoru:

Kn,m = Ko*(1+r/m)^nm

gdzie m oznacza liczbę okresów w roku.

Inaczej możemy określić stopę procentową jako stosunek kwoty jaka powstanie na koncie po roku do kwoty początkowej rachunku.

3. Figury geometryczne

Geometria to dział matematyki, powstała w starożytności, a silnie rozwijał się w XIX i XX w. Głównie zajmuje się własnościami płaszczyzn oraz obiektów, które zawierają się w przestrzeniach. Pierwszymi, którzy zajmowali się geometrią byli Tales, Archimedes i Euklides. Przez Descartesa zostały wprowadzone do geometrii metody zaczerpnięte z analizy matematycznej, dzięki czemu zaczęła się rozwijać geometria analityczna. Następnie w XVIII w. wprowadzono do geometrii elementy z rachunku różniczkowego, tak powstała geometria różniczkowa. Innym rodzajem geometrii jest geometria wykreślna, która graficznie przedstawia bryły oraz geometria rzutowa, która z kolei bada własności rzutów perspektywicznych. Bardzo intensywnie zaczęła się rozwijać geometria, gdy odkryto geometrię nieeuklidesową, czyli geometrię w której istnieją różnorakie przestrzenie: zakrzywione, nieeuklidesowe oraz geometrię przestrzeni wielowymiarowych. Pionier w geometrii przestrzeni zakrzywionej był C.F.Gauss, natomiast N. Łobaczewski wytworzył pierwszą geometrię, która nie była euklidesową, tzw. geometria Łobaczewskiego, z kolei G. Riemann zaprezentował uogólnienie dla tej geometrii. W dzisiejszych czasach w dziedzinie geometrii najlepiej rozwija się topologia.

W matematyce odcinek to ta część prostej, która zawiera się pomiędzy 2 punktami leżącymi na niej.

Odcinek koła to część koła, która leży pomiędzy cięciwą a łukiem okręgu. Cięciwą jest prosta, która przecina koło w dwóch punktach.

Pierwotnym określeniem w geometrii jest prosta. Nie można jej precyzyjnie zdefiniować, chociaż istnieją dosyć poprawne jej definicje, np. prosta jest zbiorem punktów, które są jednakowo oddalone od 2 wybranych punktów na płaszczyźnie. W euklidesowej, płaskiej przestrzeni można wyróżnić wiele własności, które posiada prosta:

  1. prosta jest wyznaczona jednoznacznie poprzez 2 różne punkty, które do niej należą
  2. przez 1 punkt może przechodzić nieskończenie wiele prostych
  3. dwie proste, które są równoległe mogą mieć nieskończenie wiele punktów wspólnych lub w ogóle
  4. mając dany dowolny punkt leżący poza prostą, możemy przez niego poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do niej

Równanie prostej na płaszczyźnie jest następujące:

Cx + Dy + E = 0

Można sprowadzić to równanie do postaci funkcji liniowej:

y = ax + b,

gdzie: a = -C/D, b = - E/DB

Na płaszczyźnie wyróżniamy proste pokrywające się, równoległe nie pokrywające się oraz przecinające się. W przestrzeni można dodatkowo wyróżnić proste skośne, które się nie przecinają ponieważ należą do różnych płaszczyzn.

Kątem bryłowym jest część przestrzeni, która jest ograniczona przez powierzchnię stożkową. Powierzchnia stożkowa odcina obszar (o powierzchni S) w powierzchni kuli (o promieniu R) oraz środku, który się pokrywa z wierzchołkiem na powierzchni stożkowej. Miara kąta bryłowego to stosunek powierzchni S do R2.

Kąt bryłowy jest wyrażony w steradianach (sr).

Kątomierz to przyrząd pomiarowy, który służy do pomiaru bezpośredniego kątów. Rozróżniamy kątomierze uniwersalne, zwykłe i optyczne służące do pomiarów warsztatowych, kątomierze poziomicowe do pomiaru kąta nachylenia w stosunku do poziomu oraz kątomierze rysunkowe, których się używa do mierzenia kątów na rysunkach.

Trójkąt to obszar płaszczyzny, który jest ograniczony zamkniętą łamaną składającą się z trzech odcinków: a, b, c, które stanowią boki trójkąta.

W geometrii euklidesowej, płaskiej suma kątów wierzchołkowych (wewnętrznych) w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu (180°).

Ze względu na wielkość kątów możemy wyróżnić trójkąty:

  • ostrokątne (wszystkie kąty wewnętrzne mają mniej niż 90°),
  • prostokątne (jeden kąt jest równy 90°, twierdzenie Pitagorasa),
  • rozwartokątne (jeden z kątów jest większym od 90°).

Ze względu na długość boków wyróżnia się trójkąty:

  • równoboczne (ma wszystkie boki równe i kąty wewnętrzne o mierze 60° ),
  • równoramienne (długość dwóch boków jest taka sama),
  • różnoboczne (każdy bok jest innej długości).

Twierdzenie sinusów opisuje relację między długością boków i kątami wewnętrznymi w trójkącie. Jak mówi to twierdzenie, stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta znajdującego się naprzeciwko tego boku jest stały dla danego trójkąta i jest równy średnicy okręgu, który jest opisany na tym trójkącie.

Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się w punkcie przecięcia się symetralnych odcinków.

Natomiast środek okręgu wpisanego w trójkąt znajduje się w punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów.

Pole trójkąta jest połową iloczynu długości któregoś boku oraz odległości takiego boku od wierzchołka leżącego naprzeciwko niego, czyli wysokości.

Mamy również kilka innych równoważnych wzorów dotyczących pola trójkąta, na przykład:

  • S = (a + b + c)/2r, gdzie:

r jest promieniem okręgu wpisanego, natomiast a, b, c to długości boków.

  • S = abc/4R, gdzie

R jest promieniem okręgu opisanego, natomiast a, b, c to długości boków.

Czworokątem jest figura płaska mająca cztery boki. Czworokątami są: trapez, prostokąt, kwadrat, romb, deltoid, równoległobok. Jeżeli zsumujemy kąty wewnętrzne czworokąta to otrzymamy kąt pełny.

Pole dowolnego wypukłego czworokąta równa się ½ iloczynu długości przekątnych razy sinus kąta leżącego między nimi.

  1. Kąty w kole

Kąt środkowy ma za wierzchołek środek okręgu, a ramiona przecinają okrąg w dwóch punktach. Mówimy, że kąt środkowy opiera się na łuku. Jeżeli kąt ma więcej niż 180o nazywamy, go kątem wklęsłym, natomiast kąty mniejsze od 180o nazywamy wypukłymi.

Poniżej przedstawię twierdzenie związane z kątami środkowymi:

Jeżeli w okręgu kąty środkowe są równe to:

  1. łuki na których są one oparte są równe
  2. cięciwy poprowadzone na tych łukach również są równe

Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu (brzegu koła) natomiast jego ramiona są cięciwami. Odcinek koła zawarty pomiędzy ramionami kąta nazywamy łukiem.

Twierdzenie związane z kątami wpisanymi:

Gdy kąt wpisany opiera się na półokręgu to jest on kątem prostym.

Inne twierdzenia związane z kątami wpisanymi i środkowymi:

1. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

2. Kąt środkowy jest 2 razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

3. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty.

  1. Wyrażenia algebraiczne

Podstawowe wyrażenia algebraiczne:

- suma x i y (x+y)

- różnica x i y (x-y)

- iloczyn x i y (x*y)

- iloraz x przez y (x / y)

Litery w wyrażeniach algebraicznych nazywane są zmiennymi i mogą być zastępowane liczbami, jednakże nie zawsze jest to możliwe, bo na przykład nie możemy dzielić przez zero. Na wyrażeniach algebraicznych możemy wykonywać działania, dzięki czemu otrzymamy bardziej skomplikowane wyrażenia. Każde nowe działanie obliguje nas do wzięcia wyrażenia w nawias.

Tak na przykład iloraz wyrażeń: różnicy c i d oraz sumy b i d zapisujemy następująco:

(c - d) / (b + d)

natomiast ich różnica zapisana musi być następująco:

(c - d) - (b + d)

w tym wyrażeniu nie musimy brać c - d w nawias, ponieważ pominięcie go nie wpłynie na wynik działania

Wyrażeniami algebraicznymi są również równania, na przykład:

3x - 2 = 4 albo: x - y = - (y - x)

W takim przypadku mówimy o równości wyrażeń algebraicznych. Takie równości mogą być nieprawdziwe dla pewnych zmiennych. Tak na przykład równość 2y - 2 = 0 jest prawdziwa wyłącznie dla y = 1. Równaniem nazywamy równość, która służy do znalezienia wartości zmiennych, prawdziwych dla niej. Natomiast proces znajdywania tych wartości nazywamy rozwiązywaniem równania, a znalezione zmienne - rozwiązaniem.

Niektóre równości są prawdziwe dla dowolnych wartości zmiennych, jak na przykład równość zapisana poprzednio: x - y = - (y - x).

Jednomianem nazywamy iloczyn czynników, które są liczbami bądź literami.

Przykłady:

2, 2b, 5cd, itp.

Jak widać w przykładzie, liczba również może być jednomianem.

Jednomiany są zazwyczaj przedstawione w najprostszej postaci. Doprowadzanie jednomianu do takiej postaci jest nazywane porządkowaniem jednomianu.

Procedura:

  1. Na pierwszym miejscu zapisujemy liczby, nazywamy je współczynnikiem jednomianu
  2. Jeżeli nie występuje żadna liczba to współczynnikiem jednomianu jest 1
  3. jeżeli liczb jest więcej niż jedna, zastępujemy je ich iloczynem

Przykład: 2*d*e*4*c = 8cde

  1. Gdy współczynnikiem jednomianu jest liczba mniejsza od zera nie musimy jej brać w nawiasie

Przykład: (-8)de możemy zapisać -8de

  1. jeżeli w jednomianie występuje więcej niż jeden ten sam współczynnik to zapisujemy potęgowo. Przykład: y*y = y^2 , y*y*y = y^3 itd.
  2. Jeżeli któryś z czynników jednomianu jest równy zero to cały jednomian się zeruje (jest równy zero)

Przykład: 2*x*0*b = 0

  1. Chcąc obliczyć wartość jednomianu należy podstawić w miejsce wszystkich liter wartości liczbowe

Przykład: 2ab dla a = 2 i b 4 ma wartość 2ab = 2*2*4 = 16

Sumami algebraicznymi nazywamy wyrażenia algebraiczne, które są różnicami bądź sumami jednomianów.

Przykład: 3a+2b-3c

Składniki występujące w sumie mogą być dowolnie przestawiane, ale razem ze znakami, które występują przed nimi.

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie: dopisujemy do wyrażenia algebraicznego wszystkie wyraz sumy.

Na przykład:

d + (b + c) = d + b + c

Odejmowanie: dopisujemy do wyrażenia algebraicznego wszystkie wyrazy sumy, ale ze zmienionym znakiem na przeciwny.

Na przykład:

f - (b - c - d +e) = f - b +c + d - e

Gdy przed nawiasem znajduje się znak + to opuszczając nawias wyrazy w nawiasie zostawiamy nie zmienione.

Na przykład:

f + b + (c - d) = f + b + c - d

Gdy przed nawiasem znajduje się znak - to opuszczając nawias znaki wyrazów w nawiasie zamieniamy na przeciwne.

Na przykład:

f + b - (a + d - e) = f + b - a - d + e

Mnożenie przez liczbę sum algebraicznych

Na podstawie prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania:

(a + b) c = a c + b c

możemy zamienić mnożenie sumy 2 liczb przez inna liczbę na mnożenie każdego składnika oddzielnie przez tą liczbę, a następnie dodanie wyników.

W ten właśnie sposób możemy postępować również z wyrażeniami algebraicznymi.

Przykład:

(a + b - c) * d możemy rozdzielić to wyrażenie na sumę dwóch liczb: (a +b ) oraz (- c) a do sumy zastosować prawo rozdzielności

(a + b - c)*d = [(a + b) + (- c)] * d = (a + b) * d + (- c) * d = a d + b d - c d

Jeżeli mnożymy sumę algebraiczną przez liczbę należy przemnożyć wszystkie wyrazy sumy przez tą liczbę.

Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę

Dzieląc sumę algebraiczną przez liczbę można postąpić w jeden z poniższych sposobów:

1. mnożymy tą sumę przez liczbę odwrotną do danej liczby:

Przykład:

(a +b) / 2 = (a + b ) * 1/2 = 1/2 (a + b)

2. mnożymy wszystkie składniki przez liczbę odwrotną do danej.

Przykład:

(a + b) / 2 = 1/2 a + 1/2 b

3.dzielimy wszystkie składniki sumy przez tą liczbę

Przykład:

(a + b) / 2 = a/2 + b/2

4.dzielenie możemy zapisać przy pomocy kreski ułamkowej

Mnożnie sum algebraicznych

Mając daną tożsamość, czyli równość tożsamościową, dajmy na to, że mamy dane: ab = ba, możemy zamiast a lub zamiast b wstawić dowolne wyrażenie, na przykład: (c- d) przez co dalej będziemy mieli równość:

a (c - d) = (c - d) a,

dalej będzie ona tożsamością, ponieważ nadając literom a, c, d jakieś konkretne wartości liczbowe, po obu stronach równości dostaniemy ten sam wynik.

Napiszmy tożsamość

(a - b + c) m =a m - b m +c m

następnie podstawmy w miejsce m wyrażenie: (d - e)

w efekcie dostaniemy tożsamość:

(a - b + c) (d - e ) = a (d - e) - b ( d - e) + c (d - e) .

Taką samą równość można zapisać dla dowolnych 2 sum algebraicznych

Stąd: Iloczyn 2 sum algebraicznych jest równy sumie iloczynów wybranej jednej z nich przez wszystkie wyrazy drugiej.

Prawą stronę naszej ostatniej równości można przekształcić w następujący sposób:

a (d - e ) - b (d - e) + c (d - e) = a d - a e - b d + b e +c d - c e.

Stąd oraz z poprzedniej tożsamości mamy, że:

(a - b + c)( d - e) = a d - a e - b d + b e + c d - c e.

ILOCZYN 2 SUM ALGEBRAICZNYCH JEST RÓWNY SUMIE ILOCZYNÓW WYBRANEJ JEDNEJ Z NICH PRZEZ WSZYSTKIE WYRAZY DRUGIEJ

6. Równania i nierówności

Równania całkowe to równania matematyczne dla których niewiadoma (funkcja) znajduje się pod całką. W bardziej ogólnych przypadkach można mówić o równaniach całkowo - różniczkowych, w nich występują zarówno całki oraz pochodne funkcji niewiadomej.

Nierówność to relacja porządkująca między dwoma liczbami, która określa, która liczba jest większa. Rozróżniamy:

  • nierówności ostre (mocne), mówimy wtedy a > b co oznacza: a jest większe od b lub b < a co oznacza: b jest mniejsze od a

oraz

  • nierówności słabe, mówimy wtedy, że a jest mniejsze lub równe b (a b)

Nierówność to relacja przechodnia

7. Symetrie

Osią symetrii figury G jest taka prosta l, jeśli istnieje, dla której obrazem naszej figury G w tej symetrii osiowej jest dokładnie ta sama figura.

Symetralna odcinka jest prostą, która dzieli na połowy odcinek, pada ona na niego pod kątem prostym.

Każdy punkt, który leży na symetralnej odcinka, oddalony jest tak samo od końców danego odcinka.

Symetria środkowa względem punktu S, jest przekształceniem, w którym obrazem dowolnego punktu P jest punkt P', taki, że jeżeli połączymy punkty P i P' odcinkiem, to punkt S będzie jego środkiem. W takim wypadku punkt S jest nazywany środkiem symetrii.

Figura jest środkowo symetryczna, jeżeli dla niej istnieje taki punkt S, że jej obrazem względem tego punktu jest ona sama.

8. Proporcjonalność

Wielkości wprost proporcjonalnesą zapisywane wzorem typu:

y = A ∙ x , gdzie A jest wielkość stałą, nie zależną od x.

Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne do siebie, czyli inaczej są zależne liniowo, każde m - krotne zwiększenie jednej z nich wpłynie na m - krotne zwiększenie drugiej, pod warunkiem, że inne czynniki występujące we wzorze nie zmienią się.

Linia prosta obrazuje taką zależność proporcjonalności.

Przykład:

Interpretacja wielkości wprost proporcjonalnych

zinterpretujmy prawo: a = F/m o oznacza, że a jest proporcjonalne do F

Stąd:

  • dwukrotne zwiększenie wartości F wpłynie na dwukrotne zwiększenie wartości a, podobnie dowolna krotność zwiększenia wpłynie w taki sam sposób
  • n - krotne zwiększenie F, wpłynie na n - krotny wzrost a

Wielkości odwrotnie proporcjonalne są zapisywane wzorem typu:

y = A/x

gdzie A - jest stałą, która sygnalizuje odwrotną proporcjonalność y i x

Jeżeli y jest odwrotnie proporcjonalna do x, znaczy to, że gdy x wzrośnie n - krotnie to wtedy y zmaleje n - krotnie, czyli odwrotna proporcjonalność jest wtedy, gdy jedna z wielkości rośnie podczas gdy druga maleje.

Hiperbola obrazuje taką zależność proporcjonalności.

Przykład:

Jak odczytujemy wielkość odwrotnie proporcjonalną:

Interpretujmy wzór a = F/m pod względem tego jak F jest zależne od m.

F jest odwrotnie proporcjonalne do m.

Stąd:

  • dwukrotne zwiększenie wartości m wpłynie na dwukrotne zmniejszenie wartości a, podobnie dowolna krotność zwiększenia wpłynie w taki sam sposób
  • n - krotne zmniejszenie m, wpłynie na n - krotny wzrost a