LICZBY NATURALNE

Liczby naturalne są najbardziej oczywistą, natychmiastową konstrukcją, która kojarzy się z matematyką. Właśnie na tych liczbach pierwsi ludzie uczyli się liczyć, niejako zaczynając swoja przygodę z matematyką. Liczba naturalna to liczba, która jest całością i jest większa od zera. Zbiór liczb naturalnych jest oznaczany literą „N”, zazwyczaj pisze się:

N={1,2,3...}

Nie rozstrzygnięto do tej pory, czy zero jest liczbą naturalną, czy nie jest. W niektórych dziedzinach przyjmuje się, że zero jest liczbą naturalną, ponieważ tak jest wygodniej, jak na przykład w teorii mnogości czy informatyce. Znaczenie ma to w momencie obliczania tak zwanych pustych iloczynów np. 0! = 1, które są uznawane za iloczyn liczb naturalnych. W praktyce najczęściej jest przyjmowane, że pierwsza liczba naturalna to jeden, natomiast, gdy potrzebne jest również zero, traktuje się ten zbiór jako sumę zbioru naturalnych i zera. W tej kwestii warto zawsze zaznaczyć, jak u nas wygląda zbiór liczb naturalnych, czy rozumiemy go razem z zerem, czy bez niego.

Na liczbach naturalnych intuicyjnie można określić podstawowe arytmetyczne działania, takie jak dodawanie czy mnożenie. Wyniki takich działań na zbiorze liczb naturalnych zawsze będą należeć do zbioru liczb naturalnych.

Inaczej sprawa ta wygląda w przypadku odejmowania i dzielenia. W wyniku odejmowania możemy dostać liczbę ujemną, natomiast w wyniku dzielenia możemy otrzymać liczbę wymierną, które nie należą do zbioru liczb naturalnych.

Historia

Początkowo liczby naturalne, z wyłączeniem zera, były stosowane jedynie przy określaniu liczebności obiektów. Pierwszym postępem w tej dziedzinie było utworzenie cyfr, które określały wartości danych liczb.

W Babilonii były stosowane cyfry, które miały wartości od jeden do dziesięciu, a o wartości danej liczby decydowało to, w jakiej pozycji były kolejne cyfry w szeregu. W Egipcie były używane hieroglify, które miały wartości 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, czyli o kolejnych potęgach dziesiątki, do miliona. Zero, jako oddzielna jednostka, pojawiło się później. Babilończycy stosowali w pozycyjnym zapisie zero w siódmym wieku p. n. e. ale nie było ono samodzielne.

U Majów zero było liczbą w pierwszym wieku p. n. e. ale nie rozprzestrzeniło się dalej niż Ameryka Środkowa.

Pojęcie zera, które znamy dzisiaj zostało stworzone w 628 roku przez Hindusa Brahmagupte. W średniowieczu zero było stosowane, ale bez reprezentacji w rzymskich cyfrach, stosowano dla niego słowo łacińskie: nullae.

Greccy filozofowie: Pitagoras i Archimedes podjęli studia systematyczne nad liczbami. Poza Grecją takie rozważania prowadzono niezależnie w Indiach, Chinach i Ameryce Środkowej. Ścisła definicja teoriomnogościowa  dla liczb naturalnych pojawiła się w dziewiętnastym wieku. Według niej zero jest odpowiednikiem zbioru pustego i jest ono w zbiorze liczb naturalnych najmniejszym elementem. Chociaż wielu matematyków wyłącza zero z tego zbioru.

Uogólnienia

Były tworzone różne uogólnienia w pojęciu liczb naturalnych. Najbardziej oczywiste to liczby całkowite, rzeczywiste i wymierne.

Zadania:

1. Czy istnieje liczba największa w N?

2. Niech n - pewna liczba naturalna większa od zera. Zapisać liczby dodatnie, nie większe niż liczba n.

3. Niech n - dowolna liczba naturalna. Zapisać 5 kolejnych liczb naturalnych następujących po tej liczbie.

W zbiorze tym wyróżniamy:

liczby parzyste – są one podzielne przez dwa

liczby nieparzyste – nie podzielne przez dwa.

Zadania:

4. Niech n – dowolna liczba naturalna. Połączyć opis liczby i jej symboliczny zapis:

a. dowolna liczba parzysta    I  5n   

b. dowolna liczba nieparzysta  II 3n 

c. liczba podzielna przez 3   III  2n + 1

d. pięciokrotność liczby IV 2n

Dziesiątkowy system pozycyjny:

System pozycyjny dziesiątkowy jest najczęściej stosowanym systemem zapisywania liczb. W nim wartość każdej cyfry, która tworzy liczbę jest zależna od tego na jakim stoi ona miejscu w całej liczbie.

Przykłady:

Liczby pierwsze oraz liczby złożone

W zbiorze liczb naturalnych możemy wyróżnić liczby pierwsze oraz złożone.

Wyjątkiem od tej zasady są liczby 0 i 1

Liczna pierwsza - liczba naturalna, mająca jedynie dwa dzielniki: jeden oraz samą siebie.

Liczba złożona – mająca więcej niż 2 powyższe dzielniki.

Zadania:

5. Zapisać liczbę 360 na kilka sposobów w postaci iloczynowej.

6. Wypisać kilka pierwszych liczb, które są mniejsze od 50 oraz wypisać kilka złożonych liczb, które są mniejsze od 50.

Cechy podzielności

•   Przez 2 (odpowiednio 5) dzielą się liczby, których ostatnią cyfrą jest cyfra podzielna przez 2 ( przez 5) lub cyfry zakończone zerem.

•   Przez 4 (odpowiednio 25) dzielą się liczby, które kończą się dwoma zerami lub jeżeli ich 2 ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 (przez 25)

•   Przez 8 (odpowiednio 125) dzielą się liczby, które kończą się trzema zerami lub jeżeli ich 3 ostatnie cyfry  tworzą liczbę podzielną przez 8 (przez 125).

•   Przez 3 (odpowiednio 9) dzielą się liczby, których suma składowych cyfr dzieli się przez 3 (przez 9).

•   Przez 6 dzielą się liczby, które są podzielne 2 oraz przez 3.

•   Przez 12 dzielą się liczby, które są podzielne przez 3 oraz przez 4.

•   Przez 18 dzielą się liczby, które są podzielne przez 2 oraz przez 9.

•   Przez 10 dzielą się liczby, których ostatnią cyfrą jest zero.

•   Jeśli różnica pomiędzy liczbą utworzona przez 3 ostatnie cyfry badanej liczby i liczbą powstałą z pozostałych cyfr  lub na odwrót równa się zero lub dzieli się przez 7 (odpowiednio przez 11 lub 13) to badana liczba również dzieli się przez 7 (11 lub 13)

Zadania:

7. W liczbie 254732 dopisać w taki sposób cyfrę jedności, aby ta liczba dzieliła się przez:

a. 2 

b. 3 

c. 4 

d. 5 

e. 9 

f. 10 

g. 25 

h. 6

j. przez 3, ale nie przez 9

8. Sprawdzić, czy liczba 3² + 5² + 7² + 1  dzieli się przez 12.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze należy przedstawić ją w postaci iloczynu samych liczb pierwszych

Przykład:

Rozkładamy liczbę 80 na czynniki pierwsze:

80 2 -  2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 80, jest to liczba pierwsza

40 2    -  2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 40, jest to liczba pierwsza

20 2    -  2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 20, jest to liczba pierwsza

10 2    -  2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 10, jest to liczba pierwsza

5 2    -  5 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 5, jest to liczba pierwsza

1

czyli mamy: 112 = 2*2*2*2*5

Zadania:

9. Przedstawić poniższe liczby w postaci iloczynu samych liczb pierwszych.

    a. 128   b. 330

NWD i NWW

Przy badaniu podzielności liczb naturalnych, można wyznaczyć dzielniki oraz wielokrotności, a co za tym idzie

NWD, czyli największy wspólny dzielnik oraz NWW, czyli  najmniejszą wspólną wielokrotność dla liczb naturalnych. Przykład:

D₃₂ = {1,2,4,8,16,32},

D₂₄ = {1,2,3,4,6,8,12,24}. 

NWD (24,32) = 8;

W₂₅ = {25,50,75,100,125,150,175,200,225,250...},

W₄₀ = {40,80,120,160,200,240,280,320...},

NWW (25,40) = 200

Zadania:

10. Znaleźć NWD dla liczb: 24,36

11. Znaleźć NWW dla liczb: 20,30

LICZBY CAŁKOWITE

Zbiór liczb całkowitych składa się z liczb naturalnych oraz przeciwnych do nich, czyli jest to rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszelkie wyniki jakie można otrzymać w odejmowaniu każdej liczby naturalnej od zera.

Zadania:

12. Czy istnieje w zbiorze liczb całkowitych liczba najmniejsza i największa?

13. Wykonać działania:

a. 5+(-2)-(-4)+(-3)-(2)+(-3) 

b.  3◦(-4)-(-2)*(-3)+5*(-2)-(-12):( -4)

14. Zaznaczyć na osi liczby całkowite, które spełniają podane warunki:

a. większe od – 3 oraz mniejsze od 5

b. większe lub równe – 5 oraz mniejsze od 1

c. mniejsze od – 4 lub liczby większe od 2

LICZBY WYMIERNE

Liczby wymierne są liczbami, które można zapisywać w postaci ilorazu 2 liczb całkowitych. Zbiór liczb wymiernych oznacza się zazwyczaj przez Q. Wszystkie liczby wymierne posiadają rozwinięcie dziesiętne. Rozwinięcie dziesiętne może być:

•   skończone, np.  = 0,25
•   nieskończone, np.  = 0,666...

Zadania:

15. Zapisać wynik z dzielenia w następującej postaci:

a. ułamka zwykłego; 

I 25:4 II 6:11 III 35:4

b. liczby dziesiętnej;  I 35:4 II 12:5 III 4:9

16. Wykonaj działania:

2,75 + 1,4 - (3,5 + 5  ):2,25

17. Obliczyć:

a. 5% liczby 65

b.  170% liczby 60

18. Znaleźć liczbę, której 18% to 36

19. Jakim procentem 60 jest 9?

LICZBY NIEWYMIERNE

Liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi, takimi, ze nie są wymierne.

W praktyce oznacza to, że nie da się jej zapisać w postaci ilorazu dwóch całkowitych liczb.

Rozwinięcie dziesiętne każdej niewymiernej liczby jest nieskończone oraz nieokresowe.

W obliczeniach często są używane przybliżenia dziesiętne liczb niewymiernych aby uprościć obliczenia.

Przykład:

liczby niewymierne to:, π, 0,123456789101112131415...

Pierwiastek drugiego stopnia, arytmetyczny z dowolnej liczby naturalnej jest to liczbą wymierną jeśli ta liczba jest kwadratem liczby naturalnej.

Przykład: jest liczbą niewymierną.

Liczby niewymierne zostały odkryte przez Pitagorejczyków, przy okazji twierdzenia Pitagorasa. Ich odkrycie wzięło się stąd, że kwadrat o boku równym jeden ma przekątną o długości  i jest ona niewspółmierna z bokiem, czyli niewymierna.

Zadania:

20. Przy użyciu kalkulatora, podać dziesiętne przybliżenie poniższych liczb z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

a. 6

b.  15

c. 2 8

d. 5 20 

e.  3 +  5

LICZBY RZECZYWISTE

Liczby rzeczywiste są liczbami, które wykorzystuje się przy reprezentacji ciągłych wartości również dla zera i liczb ujemnych. Typowym przedstawieniem zbioru rzeczywistych liczb jest prosta, nazywana osią rzeczywistą. Oznaczenie dla zbioru liczb rzeczywistych to R.

Liczby rzeczywiste to największy zbiór, który obejmuje: liczby naturalne, całkowite, wymierne, ułamki, niewymierne, liczby ujemne czy pierwiastki.

Przy działaniach na liczbach rzeczywistych można korzystać z takich pojęć jak: liczby przeciwne, odwrotne czy wartość bezwzględna liczby (moduł).

Liczby przeciwne leża na osi rzeczywistej symetrycznie od zera.

Np. –2 jej przeciwna to 2.

Odwrotność liczby z, która jest różna od zera, to liczba: 1/z.

Wartością bezwzględną (modułem) liczby jest jej odległość od zera.

Wartość bezwzględna zawsze jest liczbą nieujemną, ponieważ wyraża odległość.

Oznaczenie: Wartość bezwzględna liczby a to: |a|.

Przykład: |-3|=3 – wartość bezwzględna –3 wynosi 3, ponieważ jej odległość od zera to 3.

Zadania:

21. Napisać przeciwne liczby do liczb: - 9,  2  ,- 7.5, - 0.25.

22. Zapisać odwrotne liczby do liczb:  2, 5, ¾.

23. Podać wartość bezwzględną liczb: - 13, 13, - 7, 7, - 12, 0.

DZIAŁANIA I WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ:

Na zbiorze liczb rzeczywistych obowiązuje kolejność wykonywania działań. Najpierw wykonujemy dodawanie potem odejmowanie następnie mnożenie i dzielenie (poza dzieleniem przez 0).

Gdy wykonujemy działania na liczbach, stosujemy prawa działań, które usprawniają rachunki.

Zadania:

24.Oblicz, przy pomocy prawa działań:

a.   5+7+9+3+5+1      b.  35+27+49+25+23+51

c. 2*9*7*5    d.  25*32*4*5

Jeżeli wykonujemy obliczenia na potęgach oraz pierwiastkach, lepiej jest najpierw przekształcić dane wyrażenie i później dopiero obliczać. Jeżeli skorzystamy z własności pierwiastków i potęg usprawnimy i przyspieszymy rachunki.

Dla a i b rzeczywistych oraz m i n zespolonych mamy następujące własności:

Powyższe prawa działań związane z pierwiastkami, można wykorzystać przy upraszczaniu postaci dla niektórych niewymiernych liczb.

Można:

•   wyłączać czynnik przed znak pierwiastka,
•   włączać czynnik pod znak pierwiastka,
•   usuwać niewymierność z mianownika.

Działania na liczbach wykonuje się według następującej kolejności:

1. potęgowanie, pierwiastkowanie
2. mnożenie i dzielenie
3. dodawanie i odejmowanie

Jeżeli w wyrażeniu występuje nawias ma on zawsze pierwszeństwo przed pozostałymi.

Jeżeli mamy działania równorzędne wykonujemy je według kolejności zapisu, czyli od lewej do prawej.

Przykład:

8+8-7=16-7=9;

25-7+9-2=18+9-2=27-2=25;

16:48=48=32;

510:36=50:36=16  6=100