Elementy Euklidesa

Czasy Euklidesa to III wiek przed naszą erą. Żył w Aleksandrii. Jego główne dzieło to podręcznik matematyczny, którego tytuł znają prawie wszyscy: "Elementy".

O jego życiu wiemy niewiele. W jego czasach w Aleksandrii, przebywało wielu szanowanych matematyków. Euklides był wykładowcą Szkoły Aleksandryjskiej. Bardzo dużo pisał, czego dowodem może być na przykład objętość "Elementów". Zajął się również teorią muzyki, astronomią i optyką, w której podał prawo odbicia dla światła, zasadę prostolinijnego rozchodzenia się promieni świetlnych.

Elementy są najważniejszą książką naukową wszechczasów. Na dowód tego faktu można przytoczyć liczbę wydań drukiem, która wynosi ponad 1000 do roku 1900. Pod tym względem jest drugą książką po Biblii. Przetłumaczono ją na wszystkie języki świata, w języku polskim jest przetłumaczonych 8 z 13 ksiąg "Elementów". Popularność tej książki bierze się stąd, że jest ona książką wzorcową dla wszystkich nauk dedukcyjnych. Książki, które nie dotyczyły matematyki również były pisane na wzór "Elementów". Można tutaj przytoczyć dzieło "Ethica, modo geometrico exposita" Barucha Spinozy z XVII w. 

Chociaż "Elementy" ma już ponad 2 tysiące lat, nadal ma wielkie znaczenie w matematyce i w historii nauki. System geometrii, jaki został w niej przedstawiony, jest wciąż nauczany w każdej szkole na świecie i jest również podstawą dla praktycznej działalności człowieka.

Na takiej geometrii, jaką przedstawił Euklides jest oparta mechanika klasyczna. To, jaka jest ona ważna pokazuje na przykład wydanie w 1687 roku Zasad matematycznych filozofii naturalnej przez Newtona. W niej prawa niebieskiej i ziemskiej mechaniki oraz fizyki zostały ustanowione w przestrzenie euklidesowej, absolutnej.

W "Elementach" nie została wyczerpana cała elementarna geometria. Są w niej zawarte jedynie podstawy matematyki antycznej. Są one niejako podsumowaniem ponad 300 letniego rozwoju matematyki oraz stanowią podstawę do dalszych badań. Wszyscy matematycy, którzy żyli po Euklidesie w swoich dziełach powoływali się, jako na ostatecznie ustalone, na twierdzenia pochodzące z "Elementów". W dziele Euklidesa znajdują się dziedziny matematyki, takie jak: stereometria i planimetria, teoria liczb, algebra geometryczna, rozwiązywanie równań kwadratowych, nauki o stosunkach wielkości i stosunkach liczb, klasyfikacja kwadratowych niewymierności oraz metoda wyczerpywania.

W Elementach nie znajdziemy nauki o stożkowych, badań związanych ze sławnymi starożytnymi zadaniami, kwadrowalnych księżyców Hipokratesa z Chios. Nie znalazły się tam również rozważania dotyczące rachunków przybliżonych. Stąd "Elementy" nie są encyklopedią antycznej matematyki. Celem Euklidesa, przy pisaniu tych 13 ksiąg "Elementów", był prawdopodobnie cel przybliżony do celu, jaki w dzisiejszych czasach przyświecał N. Bourbakiemu przy redagowaniu jego wielotomowych Elementów matematyki, czyli taki, aby opisać te podstawowe elementy, na których podstawie można rozwinąć wszystkie inne działy współczesnej matematyki.

Euklides nie był pierwszym, który wpadł na pomysł napisania księgi takiego rodzaju. Według Proklosa przed Euklidesem były już podobne dzieła. Pierwsze napisał podobno Hipokrates z Chios, później Leon i Theudios, którzy należeli do szkoły Platońskiej. Z pewnością również przed Euklidesem zostały uformowane określone tradycje i schematy, według to których pisano księgi podobne do Elementów. Przypuszczalnie Elementy Euklidesa były doskonalsze niż wszelkie poprzednie, to też całkowicie je wyparły i od napisania Elementów każdy matematyk powoływał się wyłącznie na nie.

Elementy Euklidesa to trzynaście ksiąg. Na początku każdej znajdują się definicje. Poza nimi występuje tam również 5 aksjomatów oraz 5 postulatów.

Wszystkie definicje Elementów można podzielić na 2 grupy: robocze, czyli potrzebne do budowania teorii oraz opisowe, które nie są dalej wykorzystywane.

Postulaty Elementów:

• "Od każdego punktu do każdego punktu poprowadzić można prostą".
• "Z każdego środka każdą rozwartością można opisać koło".
• "Wszystkie kąty proste są sobie równe".
• "Ograniczoną prostą można w sposób ciągły przedłużać wzdłuż prostej".
• "Jeśli prosta, przecinająca dwie proste, tworzy kąty wewnętrzne jednostronne niniejsze od dwóch prostych, to te dwie proste, przedłużone nieograniczenie, spotkają się z tej strony, gdzie kąty są mniejsze od dwóch prostych".

Trzy pierwsze postulaty opisują konstrukcje najprostsze, można je wykonać przy pomocy cyrkla i linijki. Czwarty mówi o zabezpieczeniu jednolitość przedłużenia prostej. Natomiast piąty postulat jest sławnym postulatem o równoległych.

"Piąty postulat zadziwiał uczonych swym skomplikowanym sformułowaniem. Podobny był raczej do twierdzenia, niż do postulatu. Już w starożytności próbowano zastąpić go innym, bardziej oczywistym stwierdzeniem. U Proklosa (V w. n.e.), na przykład, znajdujemy to sformułowanie postulatu o równoległych, które weszło obecnie do wszystkich szkolnych podręczników: przez punkt leżący poza prostą w płaszczyźnie wyznaczonej przez ten punkt i tę prostą, można poprowadzić tylko jedną prostą nie przecinającą danej. Euklides niewątpliwie musiał znać różne formy postulatu o równoległych. Dlaczego wybrał właśnie tak skomplikowaną? Bardzo niedawno temu na wszystkie te sprawy rzucono nowe światło W roku 1966, opierając się na analizie niektórych tekstów Arystotelesa, I. Tóth doszedł do wniosku, że w matematyce antycznej przed Euklidesem zajmowano się już systemami geometrycznymi, w których suma kątów trójkąta nie była równa dwóm kątom prostym, lecz większa lub mniejsza od tej wielkości Takie systemy w XIX w. nazwano nieeuklidesowymi. Według I. Tótha, Grecy znali wiele twierdzeń geometrii nieeuklidesowej".

Jak możemy zobaczyć wybór aksjomatów i postulatów jest bardzo celny. Prawie wszystkie mają swoje miejsce w nowoczesnej aksjomatyce.

Aksjomaty i postulaty Elementów nie są wystarczające do dedukcyjnego budowania geometrii. W Elementach Euklides nie wypowiedział wielu stwierdzeń, takich, z których dalej by się korzystało. Nie znajdziemy w Elementach, postulatów stereometrycznych. Poza czwartym aksjomatem, nie znajdziemy również aksjomatów ruchu. Ale w geometrii euklidesowskiej są badane niezmienniki dla ciała sztywnego w ruchu.

Z tego powodu przy konstrukcji geometrii trzeba obowiązkowo określić dopuszczalne ruchy lub wprowadzić aksjomaty dotyczące przystawania, tak aby za ich pomocą można było określać równość figur. W takim wypadku ruchami będziemy nazywać przekształcenia punktowe, wzajemnie jednoznaczne, które przeprowadzają prostą w prostą oraz nie ruszające równości figur.

U Euklidesa nie znajdziemy żadnego z powyższych. Niemniej w dowodach Euklides stosuje przemieszczanie figur, a w definicjach - obroty.

Sformułowanie potrzebnych aksjomatów było wtedy dużym problemem. Z powodu ich braku nie można było swobodnie posługiwać się niektórymi sposobami dowodów, z czego doskonale zdawał sobie sprawę i stosował przemieszczenie w ograniczonym zakresie.

W Elementach jest tylko jedno twierdzenie, podane jako czwarta definicja V księgi, które dotyczy ciągłości, nazywane teraz jest aksjomatem ciągłości - aksjomatem Eudoksosa - Archimedesa.

Drugim aksjomatem z tej grupy może być aksjomat dotyczący istnienia punktu wspólnego dla ciągów odcinków zawartych jeden w drugim w sposób zstępujący. Jest to aksjomat zupełności Dedekinda.

Takich aksjomatów nie ma w Elementach, co więcej nie korzysta z nich Euklides w tekście.

Z tego powodu mamy wrażenie, że Euklides odnośnie ciągłości nie miał wyrobionego poglądu. W geometrii przez niego określonej nie można dowodzić istnienia kwadratu, który będzie równoważny kołu, ponieważ takiego kwadratu nie można zbudować przy pomocy cyrkla i liniału.

Wszystkie konstrukcje wykonywane przez Euklidesa są nad ciałem minimalnym, w którym można rozwiązać dowolne równanie. Takie ciało nazywane jest pitagorejskim w obecnych czasach. Ciało takie zbudował Euklides w X księdze, z tą różnicą, że rozważał jedynie dodatnie liczby. Z tego powodu musi on rozpatrywać szczególne przypadki w zależności od lokalizacji punktu na prostej.

W księgach V i VI jest mowa o stosunku dowolnej wielkości. Jest tam zbudowana teoria liczb rzeczywistych oraz teoria miary.

Księga XII dotyczy znajdowania stosunków pól 2 kół, walca, stożka, graniastosłupa, ostrosłupa oraz dwóch kul.

Wpływ jaki miały Elementy dla rozwoju matematyki był ogromny. Archimedes, Apoloniusz oraz inni matematycy antyczni w swoich badaniach z zakresu matematyki oraz mechaniki podpierali się na Elementach. Na przełomie VIII i IX wieku wydano Elementy w przekładzie na język arabski, a na początku XII wieku w przekładzie na łacinę. W Europie jak również w islamskich krajach w wiekach średnich "Elementy" były księgą podręczną dla każdego liczącego się matematyka. Były wielokrotnie przepisywane, wydawane drukiem, komentowane, jak również przerabiane dla dydaktycznych celów.

W języku rosyjskim wydano "Elementy" w 1739roku, ostatnio w okresie 1948-1950. W literaturze matematyczno - historycznej dalej ukazują się badania nad poszczególnymi częściami oraz nad ich strukturą w całości. W każdej epoce nauki cudzie coraz głębiej rozumieli wielką księgę Euklidesa.

Euklides, jako człowiek, osiągnął jeden z najbardziej pożądanych rodzajów nieśmiertelności. Jest kojarzony jednoznacznie ze swoim dziełem. "Elementy" nie występują jako sam tytuł, są "Elementami" Euklidesa.