1. Układ odniesienia

Wszystkie opisy ruchu ciał materialnych potrzebują wcześniejszego wyboru układu odniesienia. Przez wybór układu odniesienia rozumie się wybór 1 albo wielu ciał, które umownie przyjmować będziemy za nieruchome oraz z którymi wiąże się pewien układ współrzędnych, na przykład prostokątny (kartezjański).A zatem, gdy będziemy chcieli opisać ruch jaki zachodzi na naszej planecie, przyjmiemy za ,,ciało odniesienia" powierzchnię naszej planety. Osie OX oraz OY prostokątnego układu współrzędnych umieścimy przy tym na ogół na płaszczyźnie horyzontu, natomiast oś OZ będzie skierowana pionowo. Czasami początek układu współrzędnych dobrze jest obrać sobie wewnątrz naszej planety; jedną z osi układu współrzędnych będziemy wtedy kierować wzdłuż osi obrotu planety. Do opisania ruchu gwiazd obiera się układ odniesienia który jest związany ze Słońcem albo z innymi ciałami niebieskimi, które są stałe na niebie.

Ruchem ciał nazywa się zmiany ich położenia względem wybranego wcześniej układu odniesienia.

1. Prędkość względna

Rozważa się zależność pomiędzy prędkością przedmiotu zdefiniowaną przez 1 obserwatora S (układ odniesienia S) a szybkością tego samego przedmiotu zdefiniowaną przez innego obserwatora S' (układ odniesienia S') przemieszczającego się względem pierwszego. Przypuszczamy, iż obserwator S jest powiązany z nasza planetą, a zatem jego układem odniesienia jest nasza planeta. 2 obserwator S' przemieszcza się względem naszej planety; może być tym układem na przykład pasażer poruszającego się pociągu. Jego układem odniesienia jest zatem pociąg. Obydwaj obserwują ruch tego samego elementu, załóżmy że jest to na przykład samochód poruszający się po ulicy, albo człowiek spacerujący po wagonie. Wszyscy obserwatorzy odnotują przemieszczenie, prędkość oraz przyspieszenie obserwowanego elementu, mierzone względem swojego własnego układu odniesieni. Czy zatem da się porównać te pomiary? Rozważymy tylko przypadek, kiedy drugi układ przemieszcza się względem pierwszego ze stała prędkością u. 

Układ odniesienia S nieruchomy względem naszej planety reprezentują osie x oraz y. Obszar zacieniony zalicza się do drugiego układu odniesienia S' który jest reprezentowany przez osie x' oraz y'. Układ S przemieszcza się wzdłuż osi x ze stałą, mierzoną względem układu S prędkością U; możemy sobie wyobrazić na przykład, jako że jest on narysowany na podłodze wagonu towarowego.

W chwili początkowej jakiś element (na przykład piłka która leży na podłodze wagonu) zajmuje położenie oznaczone w układzie S literą A, natomiast w układzie S' 1iterią A'. Gdy upłynie jakiś czas t wagon oraz związany z nim układ S' oddali się na odległość ut w prawo, natomiast przedmiot przesunie się do punktu B. W układzie S przesunięcie przedmiotu z jego początkowego ułożenia jest dane jest wektorem r, narysowany jest on od punktu A do B. W układzie S' przesunięcie przedmiotu z jego początkowego ułożenia przedstawione jest za pomocą wektora r', który łączący punkt A' z punktem B. Wektory te różnią się od siebie, gdyż punkt odniesienia A' w przemieszczającym się układzie podczas ruchu przedmiotu przesunął się na odległość ut wzdłuż osi x.

Zauważyć więc możemy iż różni obserwatorzy, przemieszczający się względem siebie, przypisują temu samemu elementowi różne prędkości. Prędkości te cały czas różnią się o prędkość względną tych 2 obserwatorów, która tutaj jest prędkością stalą. Dlatego możemy wyciągnąć wniosek, iż jeśli prędkość elementu ulega zmianie, zmiana prędkości jest identyczna dla obu obserwatorów. Każdy z nich zmierzy zatem to samo przyspieszenie elementu. Przyspieszenie przedmiotu jest identyczne we wszelkich układach odniesienia przemieszczających się względem siebie ze stałymi prędkościami; tzn. a = a'. 

3. Opis ruchu z punktu widzenia obserwatorów w przeróżnych układach odniesienia

Zajmowa1iśmy się do tej pory wielkościami które służą do opisywania ruchu punktu względem zadanego wcześniej układu odniesienia. Wartość oraz kierunek wektora położenia punktu uzależnione są od wyboru początku układu współrzędnych; współrzędne tego wektora uzależnione są w dodatku od wyboru kierunków osi prostokątnego układu współrzędnych. A więc skoro tak jest, to wszelkie wielkości kinematyczne echujące ruch ciała uzależnione są od wyboru układu odniesienia, w którym opisujemy ruch tego ciał. Ten oczywisty fakt stawia przed kinematyką dodatkowe zadanie zanalizowania oraz opisania różnic pomiędzy wielkościami kinematycznymi jakie przypisywane są ruchowi tego samego punktu przez obserwatorów w kilku układach odniesienia. Układ odniesienia wykorzystywany przez obserwatora 1 będzie nazywany układem U; początek tego układu będziemy oznaczać przez 0, natomiast jego osie przez x, y, z. Układ wykorzystywany przez obserwatora drugiego nazywać będziemy U', początek tego układu oznaczymy sobie przez 0', natomiast osie przez x', y', z'. 

Wektor który będzie opisywał położenie punktu 0' w układzie U oznaczać będziemy przez r0; kąty, jakie tworzą z osiami x, y, z osie x', y', z', oznaczać będziemy przez r0, a, g. 

Jeśli układy U oraz U' będą spoczywać względem siebie, wielkości r0, a oraz g będą stale, nie będą zależeć od czasu. Jeśli wielkości r0, a, albo g będą zależeć od czasu, obserwator pierwszy stwierdzi, iż układ U' będzie przemieszczał się względem układu U. Obserwator drugi powie, iż to układ U przemieszcza się względem układu U'. Teraz zajmiemy się zadaniem obserwatora pierwszego, choć równie dobrze moglibyśmy pisać to wszystko z punktu widzenia obserwatora drugiego.

Taki ruch układów U oraz U' względem siebie, gdzie ulega zmianie jedynie wektor r0, natomiast kąty r0, a, albo g są stałe, nazywać będziemy ruchem postępowym. Ruch, gdzie ulegają zmianie kąty pomiędzy osiami obu układów, natomiast wektor r0 jest stały, nazywać będziemy ruchem obrotowym. Jakikolwiek ruch układów U oraz U' względem siebie jest po prostu złożeniem ruchu postępowego oraz obrotowego.

Zajmijmy się teraz przypadkiem, kiedy układ U' przemieszcza się względem układu U ruchem postępowym. Z takim ruchem będziemy mieli do czynienia na przykład wówczas, kiedy obserwator pierwszy będzie opisywał swoje spostrzeżenia w układzie spoczywającym względem naszej planety, natomiast obserwator drugi względem poruszającego się po prostoliniowym torze wagonu kolejowego. Gdy porównamy spostrzeżenia obydwu obserwatorów którzy śledzą ruch tego samego punktu P zauważymy następującą rzecz. Położenie punktu P w układzie U będzie opisywał wektor r o początku w punkcie 0 oraz końcu w punkcie P. W układzie U' tę samą rolę odgrywać będzie wektor r' o początku w punkcie 0' oraz końcu w punkcie P. Obydwa wektory w każdej chwili będą spełniać następujący związek:

r = r0+r'. (1) 

Prędkość v dr/dt punktu P w układzie U i prędkość v' = dr/dt punktu P w układzie U' będzie można bardzo łatwo również powiązać ze sobą; wyliczając pochodną obu stron równości (1) względem czasu uzyskamy

v = vpost+v. (2) 

Wektor vpost jest to wektor prędkości punktu 0' w układzie U, zatem prędkość ruchu postępowego układu U' względem układu U. Wyliczając pochodną równości (2) względem czasu uzyskamy następujący związek miedzy przyspieszeniem a = dy/dt punktu P w układzie U oraz przyspieszeniem a' = dv/dt punktu P w układzie U' 

a = apost+a' (3) 

Wektor apost definiuje przyspieszenie ruchu postępowego układu U' względem układu U. 

Jeśli osie uklad6w U i U' są równoległe, wówczas ze związków (1), (2) oraz (3) uzyskamy proste związki między współrzędnymi wektorów położenia, prędkości oraz przyspieszenia w obu układach:

Kiedy osie układów U oraz U' nie są równoległe, związki pomiędzy współrzędnymi wektorów w obu układach będą się komplikować; równości (1), (2), (3) są cały czas spełnione.

Tera zajmijmy się przypadkiem, kiedy układy U oraz U' przemieszczają się względem siebie ruchem obrotowym. Jeśli układ U' przemieszcza się względem układu U ruchem obrotowym, wówczas okaże się, iż w układzie U' można zawsze wyróżnić prostą ,"spoczywającą" w jakiejś chwili względem układu U. Prostą tę nazywać będziemy chwilową osią obrotu układu U' względem układu U. Mówiąc ogólnie ruch obrotowy, kierunek chwilowej osi obrotu w przestrzeni może ulegać zmianie w miarę upływu czasu.

Stosunkowo bardzo prostym, ale bardzo istotnym praktycznie przypadkiem ruchu obrotowego jest ruch obrotowy na około osi o konkretnym kierunku w przestrzeni. W czasie tego ruchu wszelkie punkty układu U/ poza jedynie punktami położonymi na osi, przemieszczają się z taką samą prędkością kątową w oraz z takim samym przyspieszeniem kątowym e po okręgach w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. Promienie tych okręgów równe są odległością punktów układu U' od osi obrotu. Taki ruch obrotowy będziemy mogli w pełni scharakteryzować gdy podamy kierunek osi obrotu i przebieg ruchu po okręgu dla jednego dowolnie obranego punktu układu U'. 

Gdy porównamy spostrzeżenia obserwatorów w układach U oraz U' przemieszczających się względem siebie ruchem obrotowym, okaże się że jest to bardzo nawet wówczas, kiedy będziemy mieć do czynienia z ruchem na około ustalonej osi obrotu. Jeśli np. punkt P będzie spoczywać w układzie U' obserwator drugi przypisuje mu stale położenie r', prędkość v' = 0 oraz przyspieszenie a' = 0. Natomiast względem układu U punkt P przemieszcza się po okręgu o promieniu d równym odległości punktu P od osi obrotu. Prędkość vs punktu P w układzie U wynosi vs =dw, przyspieszenie styczne wynosi

vs =de, natomiast przyspieszenie dośrodkowe wynosi vs =d2w. Spostrzeżenia obydwu obserwatorów są zatem całkowicie inne. Wzorów które wiążą położenia, prędkości oraz przyspieszenia przypisywane temu samemu punktowi przez obserwatorów w układach U oraz U' nie będzie tutaj podawać ze względu na ich bardzo skomplikowaną formę matematyczną.

Na podstawie tego typu wzorów i podanych wcześniej zależności, które wiążą spostrzeżenia obserwatorów w układach przemieszczających się względem siebie ruchem postępowym, da się pokazać następujące istotne stwierdzenie:

Na to, by obserwatorzy w 2 różnych układach odniesienia przypisali ruchowi tego samego ciała w każdej chwili czasu takie same wektory przyspieszenia konieczne jest, by układy te przemieszczały się względem siebie ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym.

Każdy z nas będzie mógł sam pokazać, iż jeżeli 2 układy przemieszczają się względem 3 ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym, to także względem siebie przemieszczają się one ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym; prędkość ich ruchu względnego jest różnicą (wektorową) prędkości ich ruchu postępowego względem układu 3. Ta uwaga i przytoczone powyżej stwierdzenie dają możliwość na podzielenie wszelkich możliwych układów odniesienia na rozłączne klasy układów. Do 1 klasy zaliczać się będą te wszelkie układy odniesienia, gdzie obserwatorzy przypisują temu samemu przemieszczającemu się ciału takie same przyspieszenia. Zalicza się do nich wszelkie układy odniesienia, przemieszczające się względem siebie ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym. Układy odniesienia które należą do jednej klasy nazywać się będą układami dynamicznie równoważnymi. Uzasadnienie tego określenia poznamy w rozdziale który będzie poświęcony dynamice.

Podsumowując przemyślenia tego paragrafu zauważyć możemy, iż tor, prędkość oraz przyspieszenie punk/u są wielkościami uzależnionymi od wyboru układu odniesienia. Różni obserwatorzy w przeróżnych układach odniesienia będą na ogól przypisywali takiemu samemu punktowi przemieszczającemu się ciała przeróżne tory, prędkości oraz przyspieszenia. Gdy będziemy znali ruch ciała w jednym układzie odniesienia U oraz ruch innego układu odniesienia U' względem układu U, będziemy mogli odnaleźć wszelkie charakterystyki kinematyczne, jakie temu ruchowi przypisze obserwator w układzie U'. Zatem gdy będziemy definiować typ ruchu (np. ruch jednostajny prostoliniowy, ruch jednostajnie zmienny po okręgu) trzeba zawsze powiedzieć, w jakim układzie odniesienia ma miejsce ten ruch. W innym bowiem układzie odniesienia ruch ten wygląda na ogół całkowicie inaczej.

4. Inercjalne oraz nieinercjalne układ odniesienia

Inercjalny układ jest to taki układ odniesienia, gdzie jest spełniona zasada bezwładności (zasady dynamiki Newtona), zatem taki, gdzie ciała nie podlegające działaniu żadnych sił albo podlegające działaniu sił o wypadkowej wynoszącej 0 spoczywają albo przemieszczają się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Wszystkie układy odniesienia, które przemieszczają się ze stałą prędkością względem układów inercjalnych oraz nie obracających się względem niego, jest także układem inercjalnym. Pojęcie układu inercjalnego jest pojęciem wyidealizowanym - w praktyce wykorzystuje się układy które posiadają cechy układów inercjalnych jedynie w przybliżeniu albo jedynie w ograniczonym obszarze przestrzeni albo czasie; m. in. układ powiązany z jakimś punktem na powierzchni naszej planety można traktować jako układ inercjalny dla zjawisk które trwają tak krótko, iż można uważać naszą planetę w tym czasie za nieruchomą. W innym razie trzeba przyjąć inny układ odniesienia jako inercjalny, np. powiązany ze Słońcem. Związek pomiędzy współrzędnymi przestrzennymi oraz czasowymi zdarzeń w przeróżnych układach inercjalnych, przy niewielkich prędkościach ruchu względnego układów, definiują przekształcenia Galileusza, kiedy prędkości te są duże (porównać je można wtedy z prędkością światła w próżni) - przekształcenia Lorentza. W nieinercjalnych układach odniesienia prawa dynamiki są słuszne jedynie po dołączeniu do sił rzeczywistych sił pozornych (siła bezwładności). W ogólnej teorii względności pojęcie układu inercjalnego zostało wyeliminowane; w ramach tej teorii nie ma, w niektórych punktach przestrzeni, różnicy pomiędzy siłami grawitacji oraz siłami bezwładności.

Nieinercjalny układ odniesienia, fizyczny układ odniesienia, gdzie nie jest spełniona pierwsza zasada dynamiki Newtona: np. układ powiązany z kręcącym się ciałem (w szczególności układ powiązany z naszą planetą) albo ciałem poddanym przyspieszeniom liniowym. Przeciwieństwo układu odniesienia inercjalnego. W nieinercjalnym układzie odniesienia zaobserwować można np. siłę Coriolisa, siłę odśrodkową, inne siły bezwładności.

5. Przekształcenie Galileusza

Jeśli ruch układu odniesienia U2 względem układu U1 jest ruchem postępowym prostoliniowym o stałej prędkości V, to bardzo wygonie jest sobie obrać osie x obu układów wzdłuż tej samej prostej, wyznaczonej przez wektor V, natomiast początki obu układów wybrać w chwili t=0 w jednakowym punkcie. Przy takim wyborne unoszenie będzie zdefiniowane równaniem: R = Vt. Współrzędne wektora R posiadają wówczas postać x = Vt, y=0. W tym momencie wektory położenia r1 oraz r2 jakiegokolwiek punktu względem układów U1 oraz U2 będzie łączył związek: r1=Vt+ r2, który zapisany w formie współrzędnych wektorów będzie miał następująca formę:

Układ równań, który będzie wiązł współrzędne punktu w 2 układach odniesienia, przemieszczających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym będzie nosił określenie przekształcenia Galileusza. Układ opisany powyżej jest szczególnym przypadkiem przekształcenia Galileusza przy odpowiednim wyborze kierunków osi obu układów oraz skali czasu.

Przekształcenie Galileusza są przekonania, iż czas posiada ten sam sens oraz może posiadać stale taką samą wartość w obu układach odniesienia, stanowiły podstawę mechaniki aż do początku dwudziestego wieku.

Literatura:

D. Halliday, Fizyka, wydanie 9 

J,. Blinowski, W. Zielicz, Fizyka i astronomia, cz. 1, WSiP, Warszawa 2002

http://www.wiem.onet.pl/