Swobodne spadanie ciała.

1. Oblicz, jaką drogę przebędzie ciało, które spada swobodnie z przyspieszeniem równym g = 9,81 m/s2. Prędkość początkowa ciała była równa 0. Wykonaj obliczenia dla czasów spadania równych t = 1 - 5 sekund. Zaniedbaj opór powietrza.

Wskazówka: należy skorzystać ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym: S = .

2. Ciało spada swobodnie z przyspieszeniem równym g = 9,81 m/s2. Oblicz, ile czasu zajmie mu przebycie jednego metra drogi. Opór powietrza należy pominąć.

Wskazówka: skorzystaj ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym: S = , a następnie przekształć go tak, aby uzyskać równanie na czas: t2 = czyli t = .

3. Ciało spada swobodnie. Jego prędkość, zmierzona w punkcie A, wynosiła 30 m/s, natomiast w punkcie A była równa 50 m/s. Wyznacz długość odcinka AB oraz czas, jaki potrzebowało ciało na jego przebycie, jeżeli zaniedba się opór powietrza.

Wskazówka: zmiana prędkości ciała podczas przebywania drogi od A do B wyniosła ΔV = VB­­ -V. Z wzoru na przyspieszenie: g = ΔV/t, można obliczyć czas przelotu ciała pomiędzy punktami A i B: t = . Aby obliczyć odległość pomiędzy punktami A i B należy skorzystać ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową: S = V0t+ . Podstawiając odpowiednie wartości dochodzimy do wzoru

S = VA + = VA + .

Rzuty

4. W jednym momencie zostają rzucone pionowo dwa ciała. Jedno z nich zostaje rzucone pionowo w górę z prędkością 50 m/s, a drugie pionowo w dół z jednakową prędkością. Ciało drugie zostało rzucone dokładnie z wierzchołka toru ciała pierwszego. Oblicz, kiedy obydwa ciała się spotkają i jaka będzie wtedy prędkość każdego z nich.

Wskazówka: aby wiedzieć, skąd rzucone zostało ciało drugie, trzeba policzyć wysokość, na jaką wzniesie się ciało pierwsze. Można ją otrzymać ze wzoru: h= . Jednocześnie suma dróg przebytych przez oba ciała musi być równa tej wysokości: h=SA+SB. Drogi przebyte przez obydwa ciała są równe odpowiednio SA = V1×t - oraz SB = V1×t + . Przez podstawienie odpowiednich równać otrzymamy równanie na czas, po jakim ciała się spotkają: 2V1t = , t=. Mając czas, można bardzo prosto policzyć prędkości, jakie w momencie zderzenia będą miały obydwa ciała: VA=V1 - gt, VB=V1 + gt.

5. Pewne ciało rzucono poziomo z prędkością początkową równą v0. Ciało poruszało się przez dłuższy czas bez przeszkód. Oblicz, jaką wartość prędkości osiągnęło w momencie, gdy znajdowało się na wysokości o s mniejszej niż punkt, z którego zostało wyrzucone.

Wskazówka: Składowa pozioma prędkości w rzucie poziomym jest stała. Zmienia się jedynie składowa pionowa. Zmiana składowej pionowej jest taka, jak podczas swobodnego spadania ciał, a więc można ją obliczyć ze wzoru DV2 = 2gDs, czyli dostajemy V1 = . Aby obliczyć wartość prędkości, należy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:

V = = .

6. Z pewnej wysokości h rzucono poziomo piłkę. Prędkość początkowa piłki wynosiła 20 m/s. Oblicz, jaka musiała być wysokość, z której rzucono piłkę, jeżeli uderzyła ona w ziemię w punkcie odległym od miejsca wyrzutu o 80 metrów.

Wskazówki: Ruch pionowy ciała to spadanie swobodne, a ruch poziomy to ruch jednostajny z prędkością równą 20 m/s. Wysokość, na jakiej znajdowało się ciało, można policzyć z równania h = . Niewiadomą jest czas, który można policzyć ze wzoru S = Vt przekształcając go do postaci t = . Podstawiając czas do wzoru na wysokość, otrzymujemy równanie końcowe: h = .

7. Na wysokiej na 50 metrów platformie ustawiono działo. Wystrzelono z niego poziomo kulę z prędkością 600 m/s. Oblicz, jak daleko od miejsca strzału będzie się znajdował punkt, w którym kula uderzy o ziemię.

Wskazówki: Drogę, jaką przebywa ciało rzucone poziomo z prędkością początkową v obliczamy ze wzoru S = Vt. Nie wiadomo jednak, jak długo trwał ruch. Aby to obliczyć, stosujemy równanie na swobodne opadanie: h = , a po przekształceniu t = . Ostatecznie otrzymujemy wzór na drogę: S = V.

8. Z miejsca położonego 20 metrów ponad poziomem kopnięto piłkę z pewną prędkością v w kierunku poziomym. Piłka uderzyła w ziemię w odległości 10 metrów od miejsca kopnięcia. Oblicz, jak duża była prędkość początkowa piłki, a także jaka była wartość końcowa prędkości piłki.

Wskazówki: należy najpierw obliczyć czas ruchu, stosując równanie na spadek swobodny: h = . Po przekształceniu otrzymujemy równanie t = , z którego obliczamy czas ruchu. Znając czas możemy z równania V0 = obliczyć prędkość początkową, z jaką poruszała się piłka. Aby obliczyć wartość prędkości końcowej, należy znaleźć jej składową prostopadłą i równoległą. Składowa równoległa jest równa prędkości początkowej, natomiast składowa prostopadła może być policzona z równania na spadek swobodny: V=gt. Mając obie składowe, można z twierdzenia Pitagorasa policzyć wartość prędkości końcowej:VK2 = V2 + V02.

9. Ciało zostało rzucone ukośnie pod kątem α do poziomu, z prędkością początkową v0. Wyznacz równanie toru ciała, przyjmując oś Y za oś rzędnych oraz oś X za oś odciętych. Zastanów się, jak równanie toru zależy od kąta, pod którym rzucono ciało. Z równania ruchu wyznacz także wzory, z których będzie można obliczyć zasięg rzutu oraz maksymalną wysokość, a także czas trwania rzutu.

Wskazówki : Jeżeli ciało zostało rzucone z prędkością v0 pod kątem α do poziomu, możemy wyznaczyć jego początkowe składowe prędkości w kierunku poziomym i pionowym, z równań v0x = v0cosα, v0y = v0sinα. Składowa pozioma prędkości jest stała, więc droga przebyta przez ciało w kierunku poziomym jest równa x = v0xt = v0tcosa. W kierunku pionowym prędkość zmienia się zgodnie z równaniami ruchu przyspieszonego, a więc droga przebyta przez ciało wynosi

y = v0yt - gt2 = v0tsina - gt2. Obydwa równania można połączyć, eliminując z zależności czas ruchu. Otrzymujemy następującą zależność y(x): y = tga x . Zależnie od tego, jaka jest wartość x oraz y, można z tego równania wyznaczyć różne parametry. Dla y = 0, x1 = 0 lub x2 = l, gdzie l to zasięg rzutu. A więc otrzymujemy x2 = sin2a. Maksymalny zasięg rzutu otrzymujemy dla wartości sin2a = 1, czyli gdy kąt a = 45°. Dla wartości x = x2/2 = V02/2g, która odpowiada połowie ruchu, współrzędna y określa maksymalną wysokość ruchu równą h = sin2a. Maksymalną możliwą wysokość rzutu dostajemy, gdy sin2a = 1 a więc dla kąta wyrzutu a = 90°. Aby obliczyć czas trwania rzutu, musimy połączyć wzory na zasięg rzutu l = sin2a oraz wzór na składową poziomą: x = v0tcosa. Otrzymujemy w wyniku tego równanie na czas ruchu w rzucie ukośnym: t = = = .