Wprowadźmy oznaczenia:
x2 - oznacza podnoszenie liczy do potęgi drugiej ( czyli x kwadrat)
x ≠ 0 - oznaczamy tak x różne od zera
Postać ogólna trójmianu kwadratowego jest postaci:
ax2 + bx + c (gdzie: a <> 0; b, c - dowolne rzeczywiste)
z tej postaci wychodzimy z naszymi obliczeniami.
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego jest postaci:
a(x - p)2 + q (gdzie (p, q) są współrzędnymi wierzchołka paraboli, która jest wykresem naszej funkcji kwadratowej; a ≠ 0)
Przejście z postaci ogólnej trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej można wykonać dwoma sposobami: wykorzystującym wzory oraz algebraicznie. Poniżej zostały pokazane obydwie:
=============================================================================
METODA ALGEBRAICZNA
=============================================================================
ax2 + bx + c = ....
wyłączamy przed nawias a - możemy to zrobić ponieważ wiemy, że a ≠ 0,
mamy:
... = a[x2 + (b/a)x + c/a] = ...
teraz z drugiego oraz trzeciego wyrażenia w nawiasie staramy się wyciągnąć wzór skróconego mnożenia
dotyczący kwadratu sumy dwóch wyrażeń: (m+n)2=m2+2mn+n2
Aby to zrobić posłużymy się pewnym sposobem:
... = a[x2 + 2*x*(1/2)*(b/a) + ....
*teraz wyjaśnijmy pewną rzecz dotycząca drugiego w nawiasie wyrażenia.
Dwójka znalazła się tam ponieważ poprzednio było wyrażenie (b/a)x a potrzeba nam jest do wzoru skróconego mnożenia 2. Tak więc mnożymy to wyrażenie przez 2 oraz przez 1/2 aby wyrażenie po wymnożeniu było tym samym co początkowe, ponieważ: 1/2 * 2 = 1. To co nam zostanie z tego przekształcenia, a będzie potrzebne do wzoru skróconego mnożenia to wyrażenie: (1/2)*(b/a)=b/(2a)
*dalsza część tego przekształcenia:
... + (b/(2a))2 - (b/2a)2 + c/a] = ...
*wyjaśnienie: pierwszy wyraz znalazł się tam ponieważ potrzebujemy go do wzoru skróconego mnożenia, a ponieważ jest on dodatkowy w tym zapisie odejmujemy go również, aby wartość wyrażenia pozostała taka sama.
w sumie mamy:
... = a[x2 + 2*x*(1/2)*(b/a) + (b/(2a))2 - (b/2a)2 + c/a] = ...
Do trzech pierwszych wyrazów stosujemy wzór skróconego mnożenia: (m + n)2 = m2 + 2mn + n2,
otrzymujemy:
... = a[(x + b/(2a))2 - (b/2a)2 + c/a] = ...
następnie podnosimy do kwadratu wyraz środkowy:
... = a[(x + b/(2a))2 - (b2)/(4a2) + c/a] = ...
teraz wymnażamy wyrażenia w nawiasie kwadratowym przez a, dostajemy:
... = a(x + b/(2a))2 - (b2)/(4a) + c = ...
dwa ostatnie wyrażenia sprowadzamy do wspólnego mianownika:
... = a(x + b/(2a))2 - (b2)/(4a) + (4ac)/(4a) = ...
wyrazy, które mają wspólny mianownik, można zapisać nad jedną kreską ułamkową, ale trzeba uważnie patrzyć na znaki:
... = a(x + b/(2a))2 - (b2 - 4ac)/(4a) = ...
Wyrażenie b^2-4ac jest znane wszystkim uczniom, nazywane jest ono deltą lub wyróżnikiem trójmianu kwadratowego, teraz mamy:
... = a(x + b/(2a))2 - Δ/(4a) = ...
w dalszej części należy zastosować wzory dotyczące współrzędnych wierzchołka paraboli, czyli:
p = -b/(2a) oraz q = - Δ/(4a)
Otrzymamy wtedy:
... = a(x - p)2 + q czyli dostaliśmy naszą szukaną postać kanoniczną.
W lepszym zrozumieniu tego przekształcenia pomocny będzie przykład liczbowy:
2x2 + 5x + 7 =
= 2[x2 + (5/2)x + 7/2] = 2[x2 + 2*x*(1/2)*(5/2) + (5/4)2 - (5/4)2 + 7/2] = 2[(x + 5/4)2 - 25/16 + 7/2] = 2(x + 5/4)2 - 25/8 + 7 = 2(x + 5/4)2 - 25/8 + 56/8 = 2(x + 5/4)2 - (25 - 56)/8 = 2(x + 5/4)2 - (-31)/8 =
= 2(x + 5/4)2 + 31/8
Stąd parabola posiada wierzchołek w punkcie (p; q) = (-5/4; 31/8)
=============================================================================
METODA Z ZASTOSOWANIEM WZORÓW
=============================================================================
metoda z zastosowaniem wzorów jest prostsza, ponieważ polega na zastosowaniu następujących wzorów:
Δ = b2 - 4ac
p = -b/(2a)
q = - Δ/(4a)
najlepiej jest to zobaczyć na przykładzie:
2x2 + 5x + 7 - postać ogólna trójmianu kwadratowego
Δ = b2 - 4ac = 52 - 4*2*7 = 25 - 56 = -31
p = -b/(2a) = -5/(2*2) = -5/4
q = - Δ/(4a) = -(-31)/(4*2) = 31/8
stąd postać kanoniczna wynosi: 2[x - (-5/4)]2 + 31/8 = 2(x + 5/4)2 + 31/8
