POSTAĆ OGÓLNA

f(x)=ax2+bx+c, a≠0

POSTAĆ KANONICZNA

f(x)=a(x-p)2+q, a≠0

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego jest funkcją y=ax2 przesuniętą o wektor u=[p,q], z tego wynika także, że wierzchołek paraboli ma współrzędne W=(p,q)

Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka z postaci ogólnej trójmianu kwadratowego należy rozwiązać układ równań, z którego wyznaczymy p i q. 

  1. f(x)=a(x-p)2+q, a≠0
  2. f(x)=ax2+bx+c
    1. f(x)=a(x-p)2+q

f(x)=a(x2+p2-2xp)+q

f(x)=ax2+ap2-2apx+q

*Teraz porównujemy dwa powstałe równania:

f(x)=ax2+bx+c i f(x)=ax2+ap2-2apx+q

Możemy z nich wywnioskować, że: 

a). ax2=ax2

b). bx=-2apx

c). c= ap2+q

Spostrzeżenie a). nic nie zmieni, więc rozwiązujemy dalej układ równań, na który składają się spostrzeżenia b). i c). 

  1. bx=-2apx/:x
  2. c= ap2+q
  1. b=-2ap/:(-2a)
  2. c= ap2+q
  1. p=-b/2a
  2. q=c-ap2
  1. p=-b/2a
  2. q=c-a(-b/2a)2

q=c-a(-b2/4a2)

q=c+(-b2/4a)

q=(4ac/4a)+(-b2/4a)

q=-b2+4ac /4a 

∆=b2-4ac- wyróżnik trójmianu kwadratowego

q=-∆/4a

  1. p=-b/2a
  2. q=-∆/4a
POSTAĆ ILOCZYNOWA

Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe.

  1. Gdy ∆>0 funkcja ma dwa miejsca zerowe:
      • x1=-b-√∆ /2a
      • x2=-b+√∆ /2a

W tym przypadku postać iloczynową określa się wzorem:

f(x)=a(x-x1)(x-x2)

  1. Gdy ∆=0 funkcja ma jedno miejsce zerowe:
      • x0=-b/2a

W tym przypadku postać iloczynową określa się wzorem:

f(x)=a(x-x0)2

  1. Gdy ∆<0 funkcja nie ma miejsc zerowych.

W tym przypadku trójmian kwadratowy nie ma postai iloczynowej.