Proste prostopadłe w przestrzeni

Proste, które są prostopadłe na płaszczyźnie przecinają się w jednym punkcie i każda z nich jest dla drugiej jej osią symetrii.

Takie proste prostopadłe na płaszczyźnie, są również prostopadłe w przestrzeni. Zajmiemy się teraz rozszerzeniem pojęcia prostopadłości dla prostych prostopadłych w przestrzeni, co będzie obejmowało proste skośne. Będziemy tutaj używali pojęcia wektorów prostopadłych. Pojęcie wektorów prostopadłych na płaszczyźnie można w sposób analogiczny przenieść na pojęcie wektorów prostopadłych w przestrzeni.

Definicja:

Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy niezerowy wektor równoległy do jednej z prostych i niezerowy wektor równoległy do drugiej prostej, są prostopadłe.

Przykład 1:

Prosta, która jest równoległa do krawędzi bocznej pewnego prostopadłościanu jest jednocześnie prostopadła do wszystkich prostych równoległych do krawędzi dowolnej podstawy.

Prosta i płaszczyzna - prostopadłość

Spróbujmy sobie wyobrazić taką sytuację: mamy dane 2 płaszczyzny: q i r, które przecinają się wzdłuż prostej k.

Ustalmy na prostej k w dowolnym miejscu punkt O. Przez ten punkt przeprowadzamy prostą, która jest prostopadła do prostej k i leży w płaszczyźnie q, nazwijmy tą prostą a. Drugą prostą poprowadzimy również prostopadle do prostej k, ale będzie leżała w płaszczyźnie r, nazwiemy ją b. Tak wyznaczone proste przecinają się w punkcie O, więc wyznaczają nam płaszczyznę, nazwijmy ją p. Tak więc prosta k leży prostopadle do 2 prostych, które się przecinają i są zawarte w płaszczyźnie p. Obrazuje to poniższy rysunek.

Twierdzenie:

Jeżeli mamy daną prostą, która jest prostopadła do 2 prostych a i b, które się przecinają, to prosta k jest prostą prostopadłą do wszystkich prostych, które są zawarte w płaszczyźnie wyznaczonej prostymi a i b.

Dowód:

Posługując się definicją prostopadłości wiemy, że prosta k jest prostą prostopadłą do dowolnej prostej, która jest równoległa do prostej a lub prostej b.

Wystarczy wykazać, że prosta k jest prostą prostopadłą do dowolnej trzeciej prostej, która jest zawarta w płaszczyźnie p nie jest równoległa ani do a ani do b. Weźmy prostą c, która przechodzi przez O.

Oznaczmy przez OA, OB, OC i OK wektory odpowiednio równoległe do prostych a, b, c i k.

Wiemy, że punkty O, A, B i C leżą w płaszczyźnie p oraz, że punkty A, B, O są punktami niewspółliniowymi, stąd istnieją liczby x i y takie, że:

OC = x * OA + y * OB

Na podstawie własności iloczynu skalarnego wektorów będziemy mieli:

OKOC = (x * OA + y * OB) OK = x * (OK  OA) + y * (OKOB)

Z założeń twierdzenia mamy, że wektor OK jest prostopadły do wektorów OA i OB, stąd:

OK. OA = 0 i OK OB = 0

Stąd otrzymujemy:

OKOC = x * 0 + y * 0 = 0,

co znaczy, że wektor OK jest prostopadły do wektora OC czyli, że prosta k jest prostopadła do prostej c.

W ten sposób pokazaliśmy, że prosta, która leży prostopadle do wszystkich prostych, zawartych w płaszczyźnie. Jednocześnie jest ona prostopadła do wszystkich prostych równoległych do tej płaszczyzny.

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny wtedy, gdy jest ona prostopadła do wszystkich prostych zawartych w płaszczyźnie.

Wektor jest prostopadły do płaszczyzny wtedy, gdy jest on równoległy do prostej, która jest prostopadła do płaszczyzny.