Wybrane pojęcia z dziedziny algebry

1.Pojęcie liczby pierwszej.

Liczbą pierwszą nazywamy liczbę pierwszą mającą dokładnie dwa dzielniki. Jest ich nieskończenie wiele. Mimo tak prostej definicji znalezienie liczby pierwszej nie jest łatwe, najlepiej użyć do tego  komputerów. Na dzień dzisiejszy największą znaną liczbą pierwszą jest  znaleziona w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona i George'a Woltmana  i jest postaci 213466917-1. Jest złożona z  4 milionów 53 tysięcy 946 cyfr.

  Dlaczego poszukuje się tak duże liczby? Są używane one do przetestowania mocy i poprawności obliczeniowej superkomputerów a także do użytku skomplikowanych szyfrów. Klucz dobrego szyfru jest oparty przeważnie na liczbie pierwszej. Wykorzystywane są także przy konstrukcji kodów korekcyjnych transmisji obrazów i danych (np. w satelitach czy  sondach kosmicznych.), a także  w najnowszych czytnikach CD.

Świat liczb pierwszych jest wciąż fascynujący dla matematyków. Zaskakująca jest liczba pierwsza złożona z samych jedynek, np. taka posiadająca 23 cyfry: 11 111 111 111 111 111 111 111. Część liczb pierwszych zapisana jest  kolejnymi cyframi jak choćby: 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Znowu inne to palindromy, czyli liczby ”symetryczne” np.: 11, 757, 111181111. Wyróżniamy także liczby lustrzane jak.: 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i 311.

W XVIII wieku Christian Goldbach zauważył, że zawsze kiedy próbował, mógł dowolną liczbę parzystą większą od 4 zapisać jako sumę dwóch, niekoniecznie różnych, liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd.

2. Pojęcie liczby względnie pierwszej.

Liczby nazywamy względnie pierwszymi jeżeli nie posiadają wspólnego dzielnika. Przykładowo liczby względnie pierwsze to 6 i 13 .

3. Pojęcie liczby bliźniaczej.

Jeżeli dwie liczby pierwsze różnią się o 2 to nazywamy je liczbami bliźniaczymi. Przykładowo liczbami bliźniaczymi są: 3 i 5 ; 5 i 7; 11 i 13 ; 17 i 19.

4. Pojęcie liczby doskonałej.

Liczba jest nazywana doskonałą, jeżeli jest liczbą naturalną i sumuje się do wszystkich własnych dzielników właściwych. Przykładowo liczby 6, 28, 496 są właściwe ponieważ dzielniki właściwe (czyli każdy mniejszy od naszej liczby) tych liczb  to:

D 6={1,2,3} 1+2+3=6

D 28={1,2,4,7,14} 1+2+4+7+14=28

D 496={1,2,4,8,16,31,62,124,248} 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

Jak na razie udało się znaleźć tylko 39 doskonałych liczb. Liczba 6 miała szczególne znaczenie w Starożytnej Grecji. Specjalny sens nadawali komentatorzy Biblii liczbom doskonałym 6 i 28. Czyż świat nie został stworzony w 6 dni i czy czas obiegu Księżyca dookoła Ziemi to nie 28 nocy? Także świątynia Salomona swoimi wymiarami jakby ”czci” liczbę sześć. Na przełomie I i II wieku Mikomachos napisał "Arytmetykę", zauważył w niej, że każde obiekty doskonałe lub piękne są rzadkie, więc założył, że ilość liczb doskonałych nie będzie duża. Niedługo później Euklides zauważył, że można zapisać liczbę doskonałą jako 2p-1(2p - 1) , gdzie 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Używając tego wzoru udało mu się wyliczyć 2 nowe liczby : 496 i 8128. Następną, piątą w kolejności liczbę doskonałą odkryto dopiero w XV wieku wynosiła 33550336. Ponad dwa tysiące lat od wyliczeń Euklidesa Leonhard Euler udowodnił, że każda parzysta liczba doskonała ma postać pokazaną przez Euklidesa. Euler wyliczył trzy następne liczby doskonałe. W roku 1952 po raz pierwszy zaprzęgnięto do wyliczania liczb pierwszych maszynę liczącą i w tym roku znaleziono ich pięć. Dodając do tego 12 wtedy już znanych otrzymujemy,  że większość znanych liczb doskonałych znaleziono w ciągu ostatniego półwiecza. Ostatnią w 2001r. 

5. Pojęcie liczby zaprzyjaźnionej.

Liczbami zaprzyjaźnionymi nazywamy 2 liczby naturalne, gdy suma dzielników właściwych( czyli dzielników mniejszych od samej liczby) liczby jest równa drugiej liczbie. Najmniejszą parą liczb zaprzyjaźnionych to liczby 220 i 284. Dzielnikami właściwymi liczby 220 są liczby:

{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} stąd 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

Dzielnikami właściwymi liczby 284 są:

{1,2,4,71,142} stąd 1+2+4+71+142=220

Innym przykładem liczb zaprzyjaźnionych są liczby 1184 i 1210.

Liczbami zaprzyjaźnionymi ze sobą są liczby doskonałe. Znanych jest prawie 8000 par liczb, które są zaprzyjaźnione, jednakże nie zostało wykazane, że istnieje ich nieskończenie wiele. Pojęcie liczby zaprzyjaźnionej znane było już w szkole Pitagorejskiej (VI w. p.n.e.), przypisane było im szczególne znaczenie mistyczne. W starożytnej Grecji wierzono, że amulety z liczbami zaprzyjaźnionymi na szyjach kochanków zapewnią im szczęście w miłości.

6. Liczby palindromiczne

Liczba naturalna, która przeczytana  od początku czy od końca, zawsze daje tą samą liczbę. Takie liczby nazywamy liczbami palindromicznymi.

Przykłady: 55, 494, 30703, 414, 5115...

7. Liczba złota

Złotą liczbą jest liczba 1/2(√5-1). Jest ona wyrażeniem długości odcinka, który spełnia tak zwany warunek złotego podziału. Pierwszym, który podzielił odcinek w takim stosunku był Hippasus w V wieku p.n.e. W starożytnej Grecji złoty podział odcinka był uważany za proporcję idealną i chętnie była ona realizowana w architekturze.

Kepler, wielki astronom, powiedział:

"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny".

W obecnych czasach również często używa się złotego podziału, chociażby wymiar normalnego zeszytu szkolnego jest w stosunku, który w przybliżeniu równy stosunkowi w złotym podziale.

Złota liczba ma kilka ciekawych własności:

- zamiast podnosić ją do kwadratu, można dodać jedynkę

- zamiast szukać odwrotności, można odjąć jedynkę.

8. Liczby Fermata

Liczby postaci Fk = 2*2^k+1, przy czym k to liczba całkowita nieujemna.

Francuski matematyk P. de Fermat wysnuł przypuszczenie, że wszystkie takie liczby to liczby pierwsze.

Okazało się później, że liczby F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537 to liczby pierwsze, ale F5 = 4294967297 jest to liczba złożona i jest podzielna przez 641.

9. Liczby Mersenne'a

Liczby postaci 2p-1, przy czym p to liczba pierwsza. Przyjmujemy, że p = 2, 3, 5, 7 wtedy otrzymamy liczby pierwsze Mersenne'a. Zaś 211-1=2047=23*89 jest złożona. Nie wiemy, czy pośród liczb Mersenne'a mamy nieskończenie wiele liczb pierwszych, ani nawet czy pośród nich możemy wskazać największą znaną liczbę pierwszą. Największą, jaką dzisiaj znamy liczbę pierwszą Mersenne’a, jest liczba 2216091-1, która w dziesiętnym rozwinięciu ma 65050 cyfr. Jeżeli znajdziemy nową liczbę pierwszą Mersenne'a, tym samym odkrywamy nową parzystą liczbę doskonałą

10. Liczby trójkątne

Liczby postaci tk = k(k+1)/2, przy czym k to liczba naturalna. Liczba tk to suma k kolejnych naturalnych liczb. Nazwa - liczby trójkątne –wzięła się stąd, że tk to liczbą monet, które są jednakowej wielkości i można z nich utworzyć równoboczny trójkąt o boku z k monet.

Przykłady takich liczb trójkątnych:

t1=1, t2=3, t3=6, t4=10.

11. Liczby lustrzane

Liczbami lustrzanymi są takie 2 liczby, które stanowią swoje lustrzane odbicie, np.: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71. Mając dwie liczby: jakąś dowolną oraz jej odbicie lustrzane, np.1221, to taka liczba dzieli się przez 11. 1221:11=192.