Spis treści:

Na czym polega Ciąg Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego to ciąg liczb naturalnych, w którym pierwszy wyraz jest równy 0, drugi 1, a każdy kolejny jest sumą dwóch poprzedzających go wyrazów. Niektórzy rozpoczynają ten ciąg od liczby 0, inni od 1, jednak nie ma to znaczenia, ponieważ w obu przypadkach dalej kształtuje się on w ten sam sposób.

By zrozumieć, jak w praktyce wygląda Ciąg Fibonacciego, przeanalizuj 10 jego pierwszych wyrazów:

  • F0 = 0
  • F1 = 1
  • F2 = 0+1 = 1
  • F3 = 1+1 = 2
  • F4 = 1+2 = 3
  • F5 = 2+3 = 5
  • F6 = 3+5 = 8
  • F7 = 5+8 = 13
  • F8 = 8+13 = 21
  • F9 = 13+21 = 34 
  • F10 = 21+34 = 55

Przeczytaj również: Mleczne morze. Czym jest to tajemnicze zjawisko?

Historia wynalezienia Ciągu Fibonacciego

Fibonacci, czyli Leonardo Pisano, był włoskim matematykiem, żyjącym na przełomie XII i XIII wieku. Kształcił się w północnej Afryce, a później podróżował po Europie i Bliskim Wschodzie, gdzie miał styczność z odkryciami arabskim matematyków.

W 1202 roku stworzył dzieło „Liber abaci”, dotyczące wprowadzenia systemu dziesiętnego i liczb arabskich oraz przestawiające ciąg, który był rozwiązaniem zadania o rozmnażających się królikach. W zadaniu było postawione pytanie, ile królików będzie po roku, w którym para tych zwierząt co miesiąc będzie wydawać na świat kolejną parę królików, które po miesiącu również będą mogły się w ten sposób rozmnażać. Z obliczeń Fibonacciego wynikło, że łączne liczby królików w każdym następnym miesiącu tworzą rosnący ciąg, w którym kolejne liczby były sumą dwóch poprzednich.

50740498_m
Czy układ ziaren słonecznika może mieć coś wspólnego z Ciągiem Fibonacciego? /123RF/PICSEL


Nazwiskiem średniowiecznego matematyka ten niezwykły ciąg liczbowy nazwał dopiero w XIX wieku Édouard Lucas, który badał to zagadnienie i znalazł wzór na n-ty wyraz Ciągu Fibonacciego.

Związek Ciągu Fibonacciego i złotego podziału

Szybko okazało się, że Ciąg Fibonacciego ma związek także ze złotym podziałem, czyli takim, o którym mówi się, że ma idealne proporcje, a co za tym idzie — duże walory estetyczne.

Na czym polega złoty podział? Jest to podział odcinka na dwie części, w którym stosunek dłuższej do krótszej części jest taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Stosunek ten nazywany jest złotą liczbą i oznaczany grecką literą φ. W przybliżeniu równa się on liczbie 1,6180339887(…).

Golden_ratio_line2.svg
Schemat złotego podziału odcinka /fot. autor: HB, licencja: CC BY-SA 3.0


Co ma wspólnego Ciąg Fibonacciego ze złotym podziałem? Jeśli będziemy dzielić kolejne wyrazy ciągu przez następujące po nich wyrazy, otrzymamy wyniki coraz bliższe liczbie φ. Tak prezentuje się to na przykładzie kolejnych liczb ciągu:

  • φ1 = 1/2 = 0,5
  • φ2 = 2/3 = 0,(6)
  • φ3 = 3/5 = 0,6
  • φ4 = 5/8 = 0,625
  • φ5 = 8/13 = 0,6153...
  • φ5 = 13/21 = 0,61904...
  • φ6 = 21/34 = 0,61764...
  • φ7 = 34/55 = 0,6(18)

Jak widać w 7. przykładzie, wynik zgadza się ze złotą liczbą już do 3. miejsca po przecinku, a wyniki obliczeń dotyczących kolejnych wyrazów ciągu będą jej jeszcze bliższe.

Przeczytaj również: Noc Perseidów 2022. Kiedy i jak najlepiej oglądać "spadające gwiazdy"?

Złoty prostokąt i złota spirala

Najczęściej wykorzystywanym graficznym przedstawieniem proporcji związanych z Ciągiem Fibonacciego i złotą liczbązłoty prostokąt i wpisana w niego złota spirala.

Złoty prostokąt powstanie zawsze, gdy będziemy rysować kwadraty o bokach długości wyrazów Ciągu Fibonacciego, łącząc je ze sobą dłuższymi bokami. Niezależnie od tego, ile kwadratów w ten sposób dorysujemy, za każdym razem będą tworzyć one idealny prostokąt o proporcjach złotego podziału.  

Jeśli połączymy linią wypełniające tę figurę mniejsze kwadraty o bokach równych liczbom Ciągu Fibonacciego, okaże się, że wpisaliśmy w nie spirale o złotych proporcjach, czyli tzw. złotą spiralę.

117636191_l
Złoty prostokąt z wpisaną w niego złotą spiralą i kwadratami o bokach równych wyrazom Ciągu Fibonacciego /123RF/PICSEL


Ciąg Fibonacciego w przyrodzie

Wieloletnie analizy i badania dotyczące przyrody wykazały, że Ciąg Fibonacciego i złota proporcja znajdują się niemal wszędzie w otaczającym nas świecie natury, ponieważ w wielu przypadkach geometria roślin, zwierząt, ludzi, a nawet zjawisk atmosferycznych jest oparta na dotyczących ich wzorach.

Gdzie w przyrodzie występuje Ciąg Fibonacciego? Według naukowców:

  • liczba płatków kwiatów jest równa wyrazom Ciągu Fibonacciego;
  • złotą spiralę znajdziemy w budowie niektórych liści i kwiatów np. słonecznika, a także w kalafiorze, brokule i szyszkach;
  • kolejne rozgałęzienia roślin tworzą Ciąg Fibonacciego;
  • muszle ślimaków mają kształt złotej spirali;
  • struktury niektórych kryształów są związane ze złotym podziałem;
  • w molekułach DNA i cyklu fal mózgowych jest obecny złoty podział;
  • rozgałęzienia żył oraz nerwów u ludzi i zwierząt tworzą Ciąg Fibonacciego;
  • huragany i wiry wodne formują się z zasadami złotej proporcji;
  • galaktyki spiralne są w kształcie złotej spirali.

Część osób twierdzi, że rozpoznanie Ciągu Fibonacciego w niektórych wymienionych powyżej elementach świata jest błędne, jednak według badań wielu naukowców otaczająca nas przyroda rzeczywiście dąży do idealnych proporcji. Być może to właśnie dlatego natura często zachwyca nas dużo bardziej niż to, co zostało stworzone rękami człowieka.

122031836_m
Huragany przybierają kształt złotej spirali /123RF/PICSEL


Przeczytaj również: Ścieżka ponad koronami drzew w Danii. Widoki są bajkowe

Gdzie jeszcze występuje Ciąg Fibonacciego?

Ze względu na swoje walory estetyczne, proporcje złotego podziału i Ciąg Fibonacciego były już od zamierzchłych czasach świadomie i nieświadomie stosowane w sztuce (m.in. „Mona Lisa” da Vinci „Dziewczyna z perłą” Vermeera) i architekturze (np. proporcje Partenonu, projekty Le Corbusiera). W wielu utworach muzycznych również można dostrzec elementy idealnego ciągu (np. „La Mer” Debussy’ego). Dizajn przedmiotów codziennego użytku także opiera się na tych złotych zasadach.

Co ciekawe, Ciągu Fibonacciego używa się także w ekonomii jako jedną z metod pomagających w analizie technicznej. Ma ona jednak wśród specjalistów tej dziedziny wielu przeciwników.

oprac. Joanna Cwynar


Rozwiąż nasze quizy:

QUIZ ortograficzny. Czy wiesz, jak zapisać te rzadko używane wyrazy?

Bardzo trudny QUIZ z wiedzy ogólnej. Nieliczni zdobywają 100 proc.

QUIZ: Byłeś uczniem w PRL? Z łatwością odpowiesz na te pytania, choć przy 9. może być różnie