Euler był szwajcarskim matematykiem. W 1752 roku, kiedy to był profesorem Akademii Nauk w Berlinie, dokonał zadziwiającego odkrycia odnośnie związku jaki jest pomiędzy liczbami s, k, w, Które oznaczają odpowiednio: ściany, krawędzie i wierzchołki w dowolnym wielościanie wypukłym. Związek ten nazywamy dzisiaj wzorem Eulera dla wielościanów. Zwykle jest on zapisywany w postaci:

s - k + w = 2.

Poniżej zostanie podany bardzo elementarny dowód powyższego wzoru.

Jeżeli mamy wielościan W i poddamy go przekształceniu homeomorficznemu, to w efekcie dostaniemy zbiór

W' = f(W)

który może nie być już wielościanem, ale dalej możemy mawiać o jego "krawędziach", "ścianach" oraz "wierzchołkach", przyjmując je jako obrazy, odpowiednich krawędzi, ścian oraz wierzchołków wielościanu W. Jeżeli będzie to takie odwzorowanie homeomorficzne wtedy liczba ścian, krawędzi oraz wierzchołków dla wielościanu W będzie taka sama jak dla wielościanu W'. Jeżeli sobie wyobrazimy, że powierzchnia wielościanu W (oznaczmy ją S) jest powłoką cienką i elastyczną i wewnątrz pustą to przekształcenie f deformuje wielościan W na kulę W', dokonuje się to poprzez nadmuchanie powłoki S. W takim przypadku kula W' nie jest wielościanem. Możemy ją poglądowo interpretować jako globus, czyli wtedy powierzchnia S' będzie mapą na globusie. Obrazy ścian wielościanu W będą obszarami krajów na powierzchni kuli. Ich granice będą krawędziami, natomiast punkty, w których łączą się granice to są obrazy wierzchołków wielościanu W. Taka mapa posiada wszystkie informacje, które są potrzebne do udowodnienia wzoru Eulera. Możemy również przedstawić taką mapę na płaszczyźnie. Wykonujemy to w następujący sposób: rozcinamy sferę wzdłuż krzywej, która jest zawarta w jednym ustalonym kraju. Wtedy obrazem S' będzie S'' - płaska mapa, na niej jeden wybrany kraj będzie otaczał pozostałe. Idźmy dalej tą drogą i wyobraźmy sobie, że mapa S'' jest tak odtworzona w terenie, że zewnętrzny kraj jest zbiornikiem wody, a wszystkie wewnątrz to pola, które są rozgrodzone groblami. Czyli poletka tworzą na naszym zbiorniku wodnym jedną wyspę, jako obraz części powierzchni S wielościanu W, bez naszego zbiornika wodnego, czyli jednej ściany wielościanu W, która jest spójna. Wyobraźmy sobie teraz, że przerywamy niektóre groble, ale w taki sposób, żeby przerwać ich jak najmniej, ale żeby woda zalała wszystkie pola. Jeżeli teraz policzymy liczbę przerwanych grobli A oraz liczbę nieprzerwanych B to dojdziemy do wzoru Eulera. Wiadomo, że A + B = k, ponieważ grobli jest tyle samo co granic, czyli tyle samo ile krawędzi w wielościanie W. Pól, które mogły zostać zalane jest s-1. Przerywając jedną groblę możemy zalać najwyżej jedno pole, a jeśli chcemy, aby było to najefektywniejsze zalewanie, należy przy każdym przerwaniu grobli zalać dokładnie jedno pole, czyli A = s - 1. Aby obliczyć B, należy zauważyć, że z dowolnie ustalonego wierzchołka R możemy przejść po groblach, które nie są naruszone do innego dowolnego wierzchołka T, jeżeli chcemy to zrobić w taki sposób, aby każdy odcinek drogi pokonywać tylko raz będzie tylko taka jedna możliwość. Rzeczywiście przejść z R do T można było przez przerywaniem grobli, czyli gdyby po przerwaniu nie było to możliwe, musiałaby wtedy istnieć grobla zalana przed rozpoczęciem przerywania grobli. Jej przerwanie nie wpłynęłoby na powiększenie ilości zalanych pól, więc istniałaby sprzeczność z wyjściowym założeniem o najefektywniejszym przerywaniu grobli. Jeśliby istniały 2 różne drogi, które łączą punkty R i Przejściami po nienaruszonych groblach, wtedy musiałaby istnieć zamknięta droga utworzona z nienaruszonych grobli, czyli kilka pól obok siebie nie byłoby zalane.

Stąd widać, że istnieje zgodność wzajemnie jednoznaczna pomiędzy groblami nieprzerwanymi a wierzchołkami, które są różne od R, stąd B = w - 1.

Mamy:

k = A + B = s - 1 + w - 1 = s + w - 2,

czyli mamy wzór Eulera: s - k + w = 2.

Jak widać cały dowód jest oparty na nietematycznym rozumowaniu o mapach. Takie rozumowanie można rozszerzyć na dowolną mapę na globusie, która będzie układem granic krajów, które występują w miejscach styków dwóch krajów oraz wierzchołków, które będą w miejscach przecięcia się granic. Taka mapa będzie ogólniejsza niż ta w dowodzie naszego twierdzenia, którą otrzymaliśmy poprzez deformację wielościanu. Dla ogólniejszych map nasz wzór Eulera będzie dalej słuszny, jeżeli tylko żaden z krajów nie będzie otaczał więcej niż jednego obszaru, czyli wyspy.

Zadania, które są związane ze wzorem Eulera.

1. Udowodnić, iż w każdym wypukłym wielościanie suma ilości ścian trójkątnych oraz ilości kątów trójściennych równa jest 8.

2. Udowodnić, iż liczba ścian w wielościanie foremnym może być równa tylko: 4, 6, 8, 12, 20.