"Trzej rowerzyści wyznaczyli sobie spotkanie na szczycie wzgórza. Pierwszy rowerzysta jechał na spotkanie ruchem jednostajnym z prędkością o wartości V1=18 km/h. Szczyt wzgórza osiągnął po czasie t1 = 20min. Drugi rowerzysta wyruszył po 10 min i jadąc ze stałym przyspieszeniem, osiągnął szczyt wzgórza jednocześnie z pierwszym rowerzystą. Trzeci poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem dwukrotnie większym niż przyspieszenie drugiego rowerzysty i dotarł na szczyt jednocześnie z kolegami".
Dane:
V1=18 km/h
t1 = 20min
ta = 10 min - opóźnienie startu drugiego rowerzysty względem pierwszego
a3 = 2 ∙ a2
Szukane
1. Oblicz wartość przyspieszenia a2 drugiego rowerzysty.
2. Po jakim czasie tb od momentu wyruszenia pierwszego rowerzysty jazdę rozpoczął trzeci z chłopców
3. Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy zależności drogi S pokonanej przez rowerzystów od czasu.
4. Oblicz wartość prędkości, z jaką każdy z rowerzystów dotarł na szczyt wzgórza.
5. Narysuj w jednym układzie współrzędnych (V, t) wykresy zależności prędkości rowerzystów od czasu.
6. Oblicz szybkość średnią, z jaką jechał drugi rowerzysta.
7. Jaką drogę przebył każdy z chłopców w ostatniej minucie jazdy? Podaj długości tych dróg.
Czas podaj z dokładnością do pełnych sekund lub minut.
Rozwiązanie:
V1=18[km/h]=18000m/3600s=5[m/s]
t1=20[min]=20∙60s=1200[s]
Obliczamy drogę jaką przebyli rowerzyści, korzystamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym (zgodnie z ruchem pierwszego rowerzysty)
S=V1∙t1
S=5∙1200m=6000[m]=6km
1.
Czas ruchu drugiego rowerzysty wyraża się różnicą:
∆t2=t1 - ta = 20min-10min=10[min]=10∙60s=600[s]
Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym wynosi:
S=V0∙t+1/2∙a∙(∆t)2
Ale ponieważ drugi rowerzysta jechał cały czas ze stałym przyspieszeniem,
bez prędkości początkowej, więc:
V0=0
S=1/2∙a∙(∆t2)2
Stąd: a=2∙S/(∆t2)2
a2=2∙6000m/(600)2=12000/360000=1/30≈0.033[m/s2]
Odp. Wartość prędkości drugiego rowerzysty wynosi: a2=1/30≈0.033[m/s2]
2.
Z treści zadania wiemy, że:
a3=2∙a2
a3=2∙1/30=2/30=1/15≈0.067m/s2]
Trzeci rowerzysta podobnie jak drugi poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym.
Możemy więc wykorzystać, ten sam wzór na drogę i obliczyć z niego wartość czasu -tb, jaki upłynął od startu pierwszego rowerzysty do startu trzeciego. Wiemy, że czas ruchu trzeciego rowerzysty wyraża się różnicą: ∆t3 = t1-tb.
S=1/2∙a3∙(∆t3)2
Stąd: (∆t3)2=2∙S/a3
Zgodnie z danymi:
(∆t3)2=2∙6000m/(1/15)m/s2
(∆t3)=424,26s≈424s
Skoro ∆t3 = t1-tb,
Czyli tb = t1-∆t3
t=1200s-424s=776[s] = 776s/60s≈13min
Odp. Trzeci rowerzysta wyjechał 13 minut po starcie pierwszego kolegi. Czyli całą trasę pokonał w 7min.
4.
V1=5[m/s] - było dane
V2 obliczamy po przekształceniu wzoru na przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
a=∆V/∆t
∆V2=V2-V0
Ponieważ V0=0, więc
∆V2=V2, analogicznie ∆V3=V3-V0=V3
V2=a2∙t2=(1/30)∙600=20[m/s]
V3=a3∙t3=(1/15)∙424≈28,3[m/s]
Odp. Prędkości rowerzystów wynoszą:
V1= 5[m/s]
V2= 20[m/s]
V3= 28,3[m/s]
6.
V2sr =S/∆t2
V2sr =6000m/600s
V2sr =10[m/s]
Odp. Średnia prędkość drugiego rowerzysty wynosi 10 m/s.
7.
t=60[s] - ostatnia minuta ruchu wszystkich trzech rowerzystów
Dla pierwszego rowerzysty:
S1=V1∙t=5m/s∙60s=300[m]
Dla drugiego rowerzysty:
Obliczymy najpierw jaki czas upłynął zanim drugi rowerzysta znalazł się w ostatniej minucie ruchu:
∆t2 - t = 600s-60s=540[s]
Teraz sprawdzimy jaka miał on prędkość, gdy rozpoczynał jazdę w ostatniej minucie - V02.
Prędkość ta jest prędkością końcową ruchu od startu do ostatniej minuty jazdy, a początkową dal ruchu w ostatniej minucie. Pamiętamy również, że prędkość początkowa na starcie V0=0.
V02-V0= V02=a2∙540=1/30∙540=18[m/s]
S2= V02 ∙t + ½ (a2∙t2)= 18m/s∙60s+1/2∙((1/30m/s2)∙(60s)2)
S2=1140[m]
Dla trzeciego rowerzysty, liczymy analogicznie:
Obliczymy najpierw jaki czas upłynął zanim trzeci rowerzysta znalazł się w ostatniej minucie ruchu:
t=60s
∆t2 - t = 420s-60s=360[s]
V03-V0= V03=a3∙360=1/15m/s2∙360s=24[m/s]
S3= V03 ∙t + ½ (a3∙t2)= 24m/s∙60s+1/2∙((1/15m/s2)∙(60s)2)
S3=1560[m]
Odp. Drogi przebyte przez rowerzystów w ostatniej sekundzie ruchu wynoszą odpowiednio:
S1=300[m]
S2=1140[m]
S3=1560[m]
