Aby uzupełnić teoretyczne rozważania nad zjawiskiem ruchu cząstek, zajmiemy się na chwilę przeanalizowaniem dwu przykładów opisujących ten ruch ilościowo. Z konieczności analiza ta jest fragmentaryczna.

Zadanie 1.

Podaj średnią kwadratową prędkość cząsteczki dwutlenku węgla (CO2) dla warunków normalnych, czyli: temperatury 0oC oraz ciśnienia 1 atm.. Załóż, że nasz dwutlenek węgla jest gazem doskonałym.

W celu przeprowadzenia rachunku wygodnie jest posługiwać się pojęciem średniej energii kinetycznej dla cząstek rozważanego gazu

Ciśnienie (p) doskonałego gazu wyraża się wzorem:

p = (1)

gdzie:

- ? - nazywamy gęstością gazu, czyli masa zawarta w jednostce objętości.

- ( - nazywamy średnią prędkością cząsteczki gazu.

Bez prowadzenia szczegółowego przekształcenia powyższego wzoru, łatwo zauważyć można, że wzór powyższy wydaje się prawdziwy, ponieważ ciśnienie (p) jest wprost proporcjonalne do średniej energii kinetycznej cząsteczek (E k. s. = ), przekazywanej ściankom naczynia (pamiętajmy, że ? = masa / objętość).

Należy także zauważyć, że dla wszystkich cząstek

v2 = vx2 + vy2 + vz2

gdzie:

- vx, vy, vz - składowe wektora

Wynika to z tego, że obserwujemy ogromną ilość cząstek poruszających się w pełni chaotycznie, dlatego żaden kierunek (vx, vy, vz) nie jest wyróżniony. Uprawnione jest wiec całkowicie stwierdzenie, że średnie wartości vx, vy, vz są wzajemnie równe, czyli:

Stąd właśnie pojawia się współczynnik dla wzoru (1)

korzystając z wzoru (1) definiujemy średnią kwadratową prędkość cząsteczek, czyli przeciętną miarę prędkości cząsteczek:

v s. kw. = (2)

w celu obliczenia zadanej w zadaniu prędkości pozostaje nam obliczenie gęstości CO2 - ?

(ciśnienie (p) jest zadane), a następnie wstawić p i ? zgodnie z wzorem (2).

Jak już wiemy, w warunkach normalnych 1 mol (gramocząsteczka) gazu doskonałego, czyli 6,022*1023 (liczba Avogadro - NA) cząsteczek, przyjmuje objętość 22,4 dm3. Masę molową (m) gazu definiujemy jako masę zawartą w 1 molu tego gazu ( m = m cz. NA )

Cząsteczka CO2 zbudowana jest z jednego atomu węgla oraz dwóch atomów tlenu. Z tablicy Mendelejewa otrzymujemy masy atomowe szukanych pierwiastków. W zaokrągleniu przyjmujemy wartości przybliżone:

- dla węgla (C) - 12

- dla tlenu (O) - 16

Następnie dostajemy masę molową CO2:

m CO2 = 44 = 44 10-3

I otrzymujemy gęstość szukanego gazu (CO2)

Po wstawieniu do wzoru (2), w którym przyjmujemy p=1,013105

uzyskujemy wyniki:

v s. kw. = 393

widać więc, że mamy do czynienia z wyjątkowo dużą prędkością.

Zadanie 2.

Wyznacz średnią długość drogi swobodnej dla 15 kulek metalowych, umieszczonych w energicznie potrząsanej "grzechotce" o kształcie kuli i średnicy 10 cm. Przyjmij średnicę każdej kulki d = 1 cm.

Zadanie to przedstawia "model" cząstek gazu, poruszających się chaotycznie w danej objętości.

Jak już wiemy (z pominięciem dowodu), średnia długość drogi swobodnej cząstek, czyli droga, którą przebywa cząstka bez zderzenia z inną cząstką, wyraża się wzorem:

(1)

gdzie:

- nv - liczba cząstek w jednostce objętości;

- d - średnica każdej cząsteczki.

W prezentowanym tu "modelu", potrząsanie energicznie "grzechotką" w dowolnym kierunku prowadzi - stosując duże przybliżenie - do uzyskania chaotycznego ruchu kulek w każdym kierunku. Ważne jest także, że zgodnie ze wzorem (1) wielkość nasza nie jest skorelowana z prędkością cząstek. W rozpatrywanym "modelu" uprawnione jest założenie, że kulki umieszczone są w "próżni" ze względu na nieporównywalnie duże masy kulek w porównaniu z masami cząsteczek powietrza. Powoduje to, że wpływ oddziaływań kulek z powietrzem jest prawie całkowicie pomijalny.

Pozostaje jeszcze wyznaczyć "gęstość" układu 15 kulek, czyli ilość kulek, zawartą w jednostce objętości.

nv =

gdzie:

- rk = 5 cm.

Zapisując zgodnie ze wzorem wzoru (1) otrzymujemy:

gdzie:

- rk = 5 cm

- d = 1 cm

a dalej:

Otrzymana stąd średnia droga swobodna kulki jest równa prawie 8 cm. Istotne jest, że możliwą najdłuższą drogą prostą, która może być pokonana w "grzechotce" przez kulkę jest niewiele większa i wynosi średnicę kuli, czyli 10 cm. Gdybyśmy policzyli średnią drogę swobodną tylko dla 10 kulek, wówczas:

Jest więc ona dłuższa w porównaniu ze średnicą kuli. Wydaje to się rezultatem zaskakującym, ponieważ kulka nie jest w stanie przebyć tak długiej swobodnej drogi, ponieważ szybciej zderzy się z wewnętrzną ścianą kuli.

Jak interpretować tę sytuację? Należy ją rozumieć tak, że założony przez nas model nie zawsze ma sens. Działa on mimo to dobrze dla gazów rzeczywistych, w których nv (z wzoru (1)) jest wyjątkowo duże. Ważne jest też, dla identycznej "gęstości" kulek użytej w naszym przykładzie wystarczy na przykład 100-krotnie powiększyć objętość "grzechotki" i 100-krotnie zwiększyć ilość kulek, a wtedy otrzymamy identyczną długość, która "nabierze" nowego sensu fizycznego, ponieważ maksymalny odcinek prosty, zawierający się we wnętrzu kuli także wzrośnie stukrotnie.

W doświadczeniach laboratoryjnych zdarzają się sytuacje, w których średnia drogi swobodnej dla wyjątkowo ograniczonej przestrzeni (np. synchrotron protonowy) bywa olbrzymią wielokrotnością wymiarów zajmowanej przestrzeni. (dla synchrotronu protonowego może ona dochodzić do miliona kilometrów! Otrzymuje się to przy pomocy pola magnetycznego, które nadaje protonom ruch kołowy, przez co nie zderzają się one ze ścianami obudowy akceleratora,.)