Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego

1. Wstęp:

Wahadło matematyczne to ciało punktowe o masie m, zawieszone na cienkiej, nic nie ważącej nici o długości l. Wahadło matematyczne to model teoretyczny - nie ma ani idealnie punktowych ciał ani idealnie nieważkich nici. Jednak bardzo dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego jest metalowa kulka zawieszona na bardzo cienkiej, nierozciągliwej nici.

Wahadło matematyczne w położeniu równowagi wisi pionowo w dół. Po wychyleniu go z tego położenia, wahadło zaczyna drgać pod wpływem składowej siły ciężkości.. Drgania wahadła atematycznego to drgania z okresem T. Okres drgań wahadła jest to czas, jaki upływa pomiędzy znalezieniem się wahadła w danym punkcie a ponownym dotarciem do tego punktu, czyli czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego wahnięcia.

Dla małych wychyleń wahadła, jego ruch można określić jako drgania harmoniczne. Można to udowodnić, wyznaczając siłę (lub przyspieszenie), jakie działa na wahadło.

W każdym punkcie na kulkę wahadła działa siła ciężkości

F = mg,

gdzie g to wartość przyspieszenia ziemskiego. Tak jak pokazałem na rysunku, siłę tę w dowolnym punkcie można rozłożyć na dwie składowe: w kierunku prostopadłym i równoległym do kierunku wyznaczanego przez nić wahadła. Siła działająca w kierunku równoległym do ułożenia nici odpowiada za jej naprężenie. Za ruch odpowiada siła skierowana prostopadle do nici (F_^). Wartość siły F_^ można wyznaczyć z zależności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego:

F_^ = mg sina

Jeżeli założyć, że wychylenie wahadła jest małe, to można dodatkowo zapisać:

sina = x/l,

gdzie x to wychylenie wahadła. Na końcu otrzymujemy wzór na siłę powodującą ruch wahadła:

F_^ = mg x/l.

Siła ta jest wprost proporcjonalna do wychylenia x i, jak widać z rysunku, jest zawsze skierowana do środka drgań. Dlatego możemy uznać ruch wahadła matematycznego dla małych wychyleń jako ruch harmoniczny.

Siła w ruchu harmonicznym wyraża się ogólnie wzorem

F = mw²x,

gdzie w to częstość kołowa:

w = 2p/T.

Przez porównanie wzorów F_^ = mg x/l oraz F = mw²x, możemy wyznaczyć częstość kołową wahadła matematycznego:

w² = g/l Þ g/l = 4p²/T²

Czyli

T = 2pÖ(l/g).

Z otrzymanego wzoru można wyciągnąć następujące wnioski:

• okres drgań wahadła nie zależy ani od masy kulki, ani od kąta wychylenia wahadła. Zależy tylko od tego, jak długa jest nić wahadła. Trzeba pamiętać, że jest to prawdziwe tylko dla małych wychyleń wahadła.
• okres drgań nie jest wprost proporcjonalny do długości wahadła, tylko do pierwiastka z długości. Wahadło 4 razy dłuższe ma okres drgań tylko 2 razy dłuższy.
• okres zależy też od wartości przyspieszenia ziemskiego. Inną wartość ma ono w pobliżu równika, a inną na biegunach. Wahadło będzie miało różny okres drgań w zależności od tego, gdzie się znajduje.

Niezależność okresu drgań wahadła od wartości wychylenia (amplitudy drgań) jest nazywana izochronizmem drgań. To zjawisko zostało odkryte przez Galileusza, który obserwował wahania żyrandola w katedrze.

2. Opis i wykonanie doświadczenia:

Podczas doświadczenia z wahadłem matematycznym będziemy wyznaczać wartość przyspieszenia ziemskiego. Skorzystamy w tym celu ze wzoru

T = 2pÖ(l/g),

ponieważ potrafimy dość dokładnie zmierzyć okres drgań wahadła za pomocą stopera. Aby z tego wzoru wyliczyć g, należy go przekształcić:

T² = 4p²l/g

T²g = 4p²l

g = 4p²l/T²

Wynika z tego, że mierząc jedynie okres drgań wahadła, oraz jego długość, możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego.

Do dyspozycji podczas doświadczenia mamy wahadło matematyczne (ciężarek oraz cienką nić), ramę do zawieszenia wahadła, stoper oraz miarkę do mierzenia długości wahadła. Zestaw montujemy w taki sposób, jak pokazano na rysunku.

Po zmontowaniu zestawu wykonano trzykrotny pomiar długości wahadła, wyniki zapisano w tabelce. Następnie trzykrotnie zmierzono czas 10 drgań. Wyniki zapisano w tabeli:

Po wykonaniu pomiarów przystąpiono do wykonania obliczeń. Policzono średnią długość wahadła, okres drgań oraz wartości przyspieszenia ziemskiego, z których w wyznaczono średnią. Wyniki obliczeń umieszczono w tabelce:

Wartość średnią policzono ze wzoru x_śr = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n, czyli ze wzoru na średnią arytmetyczną.

3. Liczenie błędów pomiarowych:

Błąd pomiarowy policzyliśmy ze wzoru:

Dg = Ö(åDg_i²)/Ön(n-1)

Podstawiliśmy wartości: Ön(n-1) = 2,45, Dg₁² = 0,03, Dg₂² = 0,37, Dg₃² = 0,1. Otrzymany wynik:

Dg = 0,29, Dg/g = 0,03 = 3%.

Czyli możemy zapisać, że g = 9,44 ± 0,28 [m/s²].

Źródłem błędu jest niedokładny pomiar okresu drgań wahadła. Bardzo ciężko jest włączyć i wyłączyć stoper dokładnie w chwili, kiedy wahadło zaczyna ruch, i w chwili, kiedy kończy się 10 wahnięć.

4. Wnioski:

Za pomocą wahadła matematycznego udało nam się dość dokładnie zmierzyć wartość przyspieszenia ziemskiego. Nie dysponowaliśmy bardzo dobrym sprzętem, dlatego otrzymany przez nas wynik nie jest bardzo dokładny. Błędy pomiarowe wynikają z trudności w uchwyceniu momentu, kiedy wahadło kończy swoje drganie.

Podczas pomiarów zauważyliśmy również, że okres drgań nie zależy od tego, jak bardzo wychyla się wahadło. Jest to zgodne z wzorem, który napisaliśmy we wstępie.