Wypracowania

Badanie przebiegu zmienności funkcji

I. Ogólny schemat

Aby powiedzieć coś na temat przebiegu zmienności funkcji, którą mamy podaną wzorem jawnym należy sprawdzić jej kilka własności, dzięki którym będzie można powiedzieć więcej na temat jej przebiegu, czyli o kształcie jej wykresu.

Badanie przebiegu zmienności funkcji sprowadza się do postępowania według pewnego schematu, który przedstawić jest najwygodniej w punktach, według kolejności postępowania:

1. Analiza funkcji, czyli własności wynikające bezpośrednio z jej wzoru.

1. wyznaczenie dziedziny funkcji
2. zbadanie parzystości, nieparzystości, okresowości, itd.
3. wyznaczenie punktów nieciągłości funkcji
4. wyznaczenie granic funkcji na krańcach przedziałów jej określoności
5. wyznaczenie asymptot
6. wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z obiema osiami układu współrzędnych
Analiza pierwszej pochodnej, czyli zbadanie własności funkcji, które wynikają z własności pierwszej pochodnej.
1. obliczenie pierwszej pochodnej
2. wyznaczenie dziedziny pierwszej pochodnej i punktów jej nieciągłości
3. wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji, czyli przedziałów w których pierwsza pochodna jest dodatnia, ujemna lub równa się zero
4. wyznaczenie ekstremów funkcji
5. 1. w punktach, gdzie funkcja jest różniczkowalna
  2. w punktach, gdzie funkcja nie jest różniczkowalna
Analiza drugiej pochodnej, czyli zbadanie, czyli zbadanie własności funkcji, które wynikają z własności drugiej pochodnej.
1. obliczenie drugiej pochodnej
2. wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i punktów jej nieciągłości
3. wyznaczenie przedziałów, w których funkcja jest wklęsła i wypukła, czyli przedziałów, gdzie druga pochodna jest dodatnia, ujemna lub równa się zero
4. wyznaczenie punktów przegięci funkcji
Sporządzenie zestawienia tabelarycznego wszystkich wyników
Sporządzenie wykresu funkcji

Powyższy schemat nie jest szablonem, według którego powinno się badać wszystkie funkcje. W niektórych przypadkach potrzebne są dodatkowe informacje, a niektóre są zbędne, albo nawet nie dają się wyliczyć. W trakcie wyliczania może się okazać, że potrzebne są dodatkowe wartości w różnych punktach przedziałów, czy wartości pochodnych wyższych rzędów.

Przykłady

Przykład 1. Narysować wykres funkcji .

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Funkcja nie jest: parzysta, nieparzysta, okresowa.

Wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych w punkcie (0,0)

Funkcja f(x) jest ciągła na całej dziedzinie.

Obliczmy wartości w i w :

oraz

Ponieważ f(x) jest ciągłą funkcją, stąd jej wykres nie ma asymptot pionowych, które występują tylko w miejscach nieciągłości funkcji. Z obliczonej granicy w minus nieskończoności widać, ze wykres funkcji ma asymptotę poziomą lewostronną y = 0.

Sprawdzimy teraz, czy wykres funkcji ma asymptotę ukośną:

Rys. 1

Ponieważ mamy:

stąd mamy, że nie istnieje asymptota ukośna (pozioma) prawostronna.

Obliczamy pierwszą pochodną f(x), mamy:

Zatem funkcja f(x) rośnie, gdzie , czyli gdy . Natomiast dla funkcja f(x) maleje. Stąd wynika, że dla x = -1 funkcja osiąga minimum: .

Obliczamy drugą pochodną funkcji f(x), mamy:

Druga pochodna jest dodatnia gdy . Co znaczy, że dla funkcja f(x) jest wypukła, a dla funkcja f(x) jest wklęsła. Stąd wynika, że punkt jest punktem przegięcia.

Sporządzamy tabelę zmienności funkcji:

-2

(-2,-1)

-1

(-1,0)

p. p.

(

min

Wykres został przedstawiony na rysunku nr 1.

Przykład 2. Narysować wykres funkcji:

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Miejsca zerowe wyznaczymy z równania:

Stąd miejscami zerowymi są punkty: lub .

Obliczmy wartości w i w :

Stąd mamy, że prosta x = 0 jest asymptotą pionową wykresu funkcji y = f(x),

Nie istnieje asymptota pozioma.

Nie istnieje też asymptota ukośna prawostronna, bowiem mamy:

co by znaczyło, iż istnieje asymptota, której, jak wiadomo nie ma, bowiem mamy:

Obliczamy pierwszą pochodną funkcji f(x), mamy:

Pochodna funkcji ma 1 miejsce zerowe w punkcie x = e, ponadto:

Stąd wynika, że funkcja jest rosnąca, gdy , a malejąca gdy .

Co znaczy, że dla x = e funkcja osiąga maksimum: .

Obliczamy drugą pochodną funkcji f(x), otrzymamy:

Pierwsza pochodna równa jest zero dla oraz:

i .

Znaczy to, że w przedziale funkcja f(x) jest wypukła, a w przedziale jest wklęsła. Stąd wynika, że punkt jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

Sporządzając tabelę zmienności funkcji, dostaniemy:

(0,1)

(1,)

(,)

(,+)

max

(

p.p.

Wykres funkcji został przedstawiony na rysunku 2.

Rys. 2

Przykład 3. Zbadać funkcję:

Dziedziną tej funkcji jest zbiór Df =R{1}. Badajmy granice na końcach przedziału określoności, dostaniemy:

Z drugiej granicy wynika, że wykres naszej funkcji ma asymptotę pionową lewostronną o równaniu x = -1. Szukamy asymptot ukośnych, stąd mamy:

Stąd wynika, że wykres naszej badanej funkcji ma dwustronną asymptotę ukośną, która ma równanie:

y = x - 1.

Obliczamy pierwszą pochodną funkcji f(x), dostaniemy:

Równanie ma dokładnie 2 pierwiastki:

, .

Patrząc na znak pierwszej pochodnej, stwierdzimy, że nasza badana funkcja jest funkcją rosnącą w przedziałach oraz oraz malejącą w przedziałach oraz . W punkcie funkcja f(x) osiąga maksimum , a w punkcie minimum .

Rys. 3

Obliczamy druga pochodną funkcji f(x), dostaniemy:

Równanie ma dokładnie 1 pierwiastek , przy czym , a ponadto:

Znaczy to, że w przedziale funkcja f(x) jest wypukła, a w przedziałach oraz jest ona wklęsła. Stąd wynika, że punkt jest punktem przegięcia wykresu naszej badanej funkcji.