1. ŻYROSKOPOWE MOMENTY SIŁ

(efekt żyroskopowy w ruchu obrotowym). Ciało, które się obraca o odpowiednio ogromnym momencie pędu K, na które zadziałamy parą sił F, produkując moment siły M. Zgodnie z II zasadą dynamiki w niewielkim odstępie czasu dt nastąpi przyrost delta dK. Jako, że przyrost dK jest niewielki oraz prostopadły względem K, to moment pędu po czasie dt wynosi K+dK jest prawie co do wielkości taki sam jak K jedynie jest obrócony o kąt dφ=dK/K. Mówi nam to o tym, że oś obrotu ciała dokonała obrotu o kąt dφ w płaszczyźnie xy, mimo tego, że wpływający moment siły chciał obrócić ciało w płaszczyźnie yz. Prędkość kątowa Ω tego obrotu nazywanego precesją równa się: Ω = dφ/dt=dK/(K*dt)=M*dt/(K*dt)=M/K. W rezultacie otrzymujemy: M=ΩxK. Moment sił M równoważy moment sił reakcji bąka pojawiający się przy precesji. Ten moment siły (-M) nazywany jest momentem sił żyroskopowych. Na przykład: bąk zabawka dla dzieci, stabilizacja jazdy na rowerze, stabilizatory na statkach, żyrokompasy itp.

2. ODDZIAŁYWANIA POTENCJALNE

Główne oddziaływania posiadają własności: 1. Siła oddziaływania F pomiędzy dwoma ciałami jest funkcją ich wzajemnej odległości r, F(r)=0 gdy r=_; 2. Praca sił po drodze zamkniętej równa jest 0. Własność bierze się stąd, że praca _L dokonana przy przemieszczaniu się ciała od jakiegoś punktu 1 do drugiego punktu 2 nie trzeba od drogi przesuwania ale od położenia tych punktów. Praca wykonana przez siłę oddziaływania jest wykonana kosztem energii oddziaływania. Bierze się stąd wniosek, iż wszystkim wzajemnie położonym ciałom odpowiada jednoznacznie zdefiniowana energia oddziaływania U. Tego typu energię nazywamy potencjalną, a samo oddziaływanie potencjalnym albo zachowawczym. Bardzo ważne oddziaływania potencjalne to grawitacyjne oraz kulombowskie oddziaływania od mas (ładunków) punktowych albo kulistych. Siła oddziaływania grawitacyjnego F=-(G*M*m/r2)*r/r. r/r określa kierunek działającej siły (radialny). Znak (-) uwzględnia energię oddziaływania grawitacyjnego U(r)=-G*M*m/r. Siła oddziaływania elektrostatycznego F=Q*q/(4*_*_0*r2)*r/r. Energia oddziaływania elektrostatycznego U(r)=Q*q/(4*_*_0*r). Oddziaływania pomiędzy cząstkach w gazach oraz cieczach, nazywane są siłami Van der Waalsa definiujemy je tzw. potencjałem 6-12: U(r)=4*_ *[(_/r)12-(_/r)6]. Składnik przyciągający -(_/r)6 przeważający na ogromnych odległościach. Składnik odpychający (_/r)12 , który przeważa na niewielkich odległościach. Oddziaływania pomiędzy atomami w cząstkach oraz kryształkach piszemy na ogół tzw. potencjałem Morse'a: U(r)=D*[1-exp(-_*(r-a))]2. Parametr D jest energią dysocjacji albo wiązania.

3. POLA POTENCJALNE

Należy założyć: jedno z dwóch ciał oddziaływujących nie przemieszcza się w początku układu współrzędnych, bierzemy pod uwagę drugie ciało. (*RYSUNEK*) Jeśli przesunie się ono z punktu 1 o niewielki odcinek dl do położenia 2, to siła oddziaływania (pole sił) wykona pracę: dL=F*dl=Fl*dl=U(1)-U(2)=-dU, przy czym dU jest to różnica energii potencjalnej oddziaływania pomiędzy położeniami ciała w punktach 2 oraz 1, natomiast Fl to składowa siła oddziaływania w kierunku przesunięcia dl. Zatem związek pomiędzy Fl oraz energią oddziaływania: Fl=-dU/dl. Jeśli zatem znana jest energię potencjalną oddziaływań U(r) w każdym punkcie pola to przy pomocy równań jesteśmy w stanie wyliczyć siłę. Jeśli energia potencjalna oddziaływania zbliża się ku zeru, wtedy ciała oddalają się od siebie do nieskończoności, można zdefiniować związek pomiędzy wartością energii w jakimś punkcie pola oraz siłą oddziaływania. Przy przemieszczaniu się ciała od położenia R do nieskończoności siły pola wykonują pracę, która jest równa co do wartości energii potencjalnej w miejscu R, czyli: _ {R,_} Fr(r)*dr=U(R)-U(_)=U(R). Jako, że wektor siły jesteśmy w stanie napisać jako sumę składowych w formie: F=Fx*i+Fy*j+Fz*k mamy: F=((dU/dx)*i+(dU/dy)*j+(dU/dz)*k)=-grad U=-_U. A działa w iloczynie skalarnym _*A= div A (diwergencja) albo wektorowym _*A=rot A (rotacja). Gęstość linii sił jest miarą wartości sił w jakimś miejscu. Linie sił są takimi siłami, że wektor siły we wszystkich punktach pola jest styczny do linii siły przechodzącej przez konkretny punkt, natomiast gęstość linii jest proporcjonalna do wartości siły. Powierzchnie prostopadłe do linii sił są powierzchniami ekwipotencjalnymi (tzn. stałego potencjału), gdyż przy przemieszczaniu się ciał w kierunku prostopadłym do siły nie jest dochodzi do wykonania pracy przez siły oddziaływań, w związku z tym nie ulega zmianie energia potencjalna oddziaływania. Wzrost siły jest zatem w kierunku malenia energii potencjalnej.

Oddziaływania te definiuje się jako pola sił. Jeżeli chodzi o oddziaływania podstawowe , do których zaliczamy oddziaływania grawitacyjne oraz elektryczne, opis polowy oddziaływań jest bardzo konkretny. Trzeba zauważyć, iż w tych oddziaływaniach siła jak również energia potencjalna cząsteczki w polu są wprost proporcjonalne do naboju C cząsteczki., raz jest nim masa cząsteczki, drugi raz ładunek eklektyczny. Możemy zatem określić natężenie E oraz potencjał V pola sił : E(r)=F(r)/C, V(r)=U(r)/C, E=grad V. Pole nie jest jedynie pojęciem modelowym, lecz także realnością fizyczna. Masa ładunek elektryczny rzeczywiście zmieniają na około siebie przestrzeń, produkują pole, które w momencie ruchu zmiennego naboju odrywa się oraz egzystuje samodzielnie w postaci promieniowania grawitacyjnego elektromagnetycznego.

4. ZASADA WZGLĘDNOŚCI GALILEUSZA

(ZWG) sformułowana w 1632 r.: przedstawiając ją takim właśnie przykładem: weźmy na przykład sytuację, że zamknęliśmy się w kajucie na statku, który pływa na spokojnym morzu. Posiadamy ze sobą przeróżne przedmioty, urządzenia miernicze, rośliny, zwierzęta. Robiąc dowolny eksperyment, z obserwacji oraz dokonanych pomiarów, oraz także z zachowania się roślin czy zwierząt nie będziemy w sanie wywnioskować, czy statek spoczywa na wodzie czy też spokojnie płynie. Mówiąc to naukowym językiem: we wszelkich ukł. odniesienia przemieszczających się względem siebie ruchem jednostajnym nazywa się układami inercjalnymi zjawiska przyrodnicze odbywają w taki sam sposób. Ponieważ zjawiska fiz. definiuje fizyka przy pomocy pewnych praw, koniecznie one musza posiadać taką formę, by przy przejściu z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego posiadały taką samą formę. Własność ta nazywa się zasadą niezmienniczości praw fizyki względem dowolnego układu inercjalnego odniesienia (np. z obserwacji jakiś zjawisk oraz eksperymentów przeprowadzanych w kajucie nie jesteśmy w stanie wysnuć wniosku co do spoczynku albo ruchu jednostajnego statku). Przy określonym przekształceniu konkretnego prawa fizycznego z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego konieczne jest posługiwanie się grupą zależności pomiędzy czasem oraz współrzędnymi w obydwu układach, nazywanych transformacją. Rozważamy dwa inercjalne prostokątne układy odniesienia x,y,z oraz x',y',z' takie, iż układ primowany przesuwa się w kierunku dodatnich x względem układu nieprimowanego oraz odpowiednie osie są do siebie równoległe. (*RYSUNEK*) Trzeba założyć, że: czas zacząć trzeba mierzyć w obydwóch układach aż od momentu, gdy początki układów O oraz O' mijały się, wówczas czasy i odległości mierzy się w obydwóch układach identycznymi miarami. Wówczas dowolne zdarzenie które osoba obserwująca zapisze w układzie O jako zaistniałe w momencie czasu t oraz miejscu x,y,z zostanie zapisane przez osobę obserwującą w układzie O' jako zaistniałe w momencie czasu oraz we współrzędnych: t'=t; x'=x-vt; y'=y; z'=z. Jest to tzw. transformacja Galileusza (przykład: niezmienniczość względem transformacji Galileusza prawa zachowania pędu 2 zderzających się ciał o masach m1 oraz m2, przemieszczających się wzdłuż osi x. W układzie O posiadamy m1*v1p+m2*v2p=m1*v1k+m2*v2k, gdzie p oraz k-stany przed oraz po zderzeniu, gdzie v - oznacza prędkość w kierunku osi x. Jako, że przy przejściu do układu primowanego wystąpi z obu stron równania dodatkowa prędkość układu zachodzi równoważność prawa zachowania pędu w układach O oraz O'. Niezmiennicze względem transformacji Galileusza są także pewne wielkości dotyczące zjawisk albo zdarzeń np. siła, temperatura, zmiana energii itp. jak również odstęp czasu δt pomiędzy dwoma zdarzeniami i kwadrat odległości przestrzennej: δR2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=δR'2

5. TRANSFORMACJA LORENTZA-EINSTEINA

Lorentz w 1899 roku zdefiniował całkowicie formalnie transformację, względem której definicje elektromagnetyzmu byłyby niezmiennicze. γ=sqrt(1-(v/c)2); t'=(t-v*x/c2)/γ; x'=(x-v*t)/γ; y'=y; z'=z; odwrotna: t=(t'+v*x'/c2)/ γ; x=(x'+v*t')/ γ; y=y'; z=z'. Wnioski, które wynikają z transformacji L-E wykraczają poza pojęcia mechaniki klasycznej. W roku 1905 Albert Einstein zdefiniował szczególną teorię względności (STW). Podstawowym jej założeniem jest zasada względności Galileusza rozciągnięta na zjawisko ruchu promienia świetlnego w próżni: we wszelkich układach inercjalnych prędkość światła w próżni jest ta sama. Jeśli dwie osoby obserwujące poruszałyby się względem siebie zaobserwują ruch tego samego promienia oraz obydwaj stwierdzą, iż biegnie on z taką samą prędkością, to kinematyka definiująca związki pomiędzy czasem oraz przestrzenią w ruchu ciał powinna być inna od tej którą poznaliśmy w ramach mechaniki klasycznej.

6. CZASOPRZESTRZENNA ODLEGŁOŚĆ ZDARZEŃ

Przykład: osoba obserwująca która znajduje się we wnętrzu przemieszczającego się wagonu (ukł. O') zapali latarkę oraz obserwuje bieg promienia w kierunku jazdy, jak również w kierunku przeciwnym. Doszedł on do wniosku, iżpromienie jednocześnie dotrą do ścian wagonu. Wg osoby obserwującej w układzie O promienie przemieszczają się z taką samą prędkością w dwie strony, ale przednia ściana ucieka, w czasie tylko wtedy gdy przemieszcza się naprzeciw promieniowi. I właśnie dlatego do tylnej ściany promień dojdzie wcześniej. Zdarzenia równoczesne dla jednej osoby obserwującej nie są równoczesne dla drugiej. Dzieje się tak dlatego, że pomiar czasu jest ściśle powiązany z pojęciem równoczesności, wartości czasu konkretnego zjawiska, mierzone przez dwóch przemieszczających się względem siebie obserwatorów, różnią się. Zatem czas biegnie inaczej w różnych układach inercjalnych. Wiadomość ta jak również pozostałe dyskusje są w stanie zrozumieć kinematyczne zagadnienia STW. Niech osoby obserwujące O oraz O' patrzą na bieg promieni latarki zapalonej w momencie czasu t1 w miejscu x1,y1,z1 w O oraz odpowiednich t1',x1',y1',z1' według O'. W chwili czasu t2 czoło fali jest powierzchnią kulistą, której jakiś punkt o współrzędnych x2,y2,z2 spełnia równanie: (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=c2*(t2-t1)2. Tak samo w O'. Zatem odległość czasoprzestrzenna Δs dwóch zdarzeń (wcześniej t1,x1,y1,z1 oraz później t2,x2,y2,z2) przedstawia wzór: δs2=c2*(t2-t1)2-[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]. Więc OCZ dotyczących ruchu promienia świetlnego jest we wszelkich układach inercjalnych taka sama, wynosi ona 0. Einstein postulował, iż odległość czasoprzestrzenna dwóch zdarzeń jest pojęciem istotnym dla jakikolwiek zjawisk oraz jest ona wielkością niezmienniczą, tzn. δs2= δs'2. Jest to drugie bardzo ważne założenie w podstawach STW. Wg transformacji Galileusza niezmiennicze są osobno odległości czasowe oraz przestrzenne, natomiast wg STW dopiero ich kombinacja w postaci odległości czasoprzestrzennej jest niezmiennicza.

7. ISTOTNIEJSZE ZALEŻNOŚCI KINEMATYCZNE (wg STW)

Biorąc pod uwagę zasadę niezmienniczości OCZ oraz prędkości światła jesteśmy w stanie wyprowadzić przeróżne zależności kinematyczne. Możemy na przykład uzyskać wzory na transformację L-E, a z niej biorą się dwa podstawowe efekty-relatywistyczne zmiany czasów oraz odległości. Efekt relatywistycznej zmiany czasów jesteśmy w stanie rozważyć w momencie, gdy będziemy tylko korzystać z zasady niezmienniczości OCZ. Zaobserwować możemy dwa układy: primowany O' oraz nieprimowany O. Osoba w układzie O' widzi zjawisko na obiekcie, który spoczywa względem niego w miejscu o współrzędnej x1'. Osoba w układzie O zanotuje (z zas. niezmienniczości OCZ !) δs2=c22-(x2-x1)2. Współrzędne y,z jesteśmy w stanie pominąć gdyż nie ulegają one zmianie. Jesteśmy także w stanie zaobserwować, iż (x2-x1)/(t2-t1)=v, gdzie v jest to prędkość obiektu względem układu O. W rezultacie uzyskujemy: τ = τ0/γ; τ0=t2'-t1'; τ =t2-t1. Jest to efekt relatywistycznego wydłużenia czasu, τ0 jest czasem własnym zjawiska czyli czasem, który zanotujemy w układzie, względem którego ciało zostaje w spoczynku. W układzie, względem którego obiekt porusza się, notowany czas jest dłuższy. Relatywistyczną zmianę długości przedyskutuję na podstawie transformacji L-E. W układzie O' spoczywa ciało którego długość wynosi l0=x2'-x1'. Ciało to przemieszcza się względem nieprimowanego z prędkością v. By zmierzyć długość ciała w tym układzie konieczni są dwaj obserwatorowie, którzy w takim samym czasie zanotują współrzędne końca oraz początku obiektu: x1'=(x1-vt1)/γ; x2`=(x2-vt2)/γ; t1=t1; l0=x2'-x1'; l=x2-x1; l=l0*γ. Długość ciała mierzoną w układzie, gdzie ciało nie porusza się jest długością własną obiektu. Z pozostałych zależności jesteśmy w stanie uzyskaćrównania na dodawanie prędkości: ux=(ux'+v)/(1+u'x*v/c2); uy=(uy'/(1+u'x*v/c2))* γ; uz jak uy; x-wzdłużna, y, z- prostopadłe. Przy dodawaniu prędkości nie da się uzyskać prędkości większej niż prędkość światła ( c ). 

8. WAŻNE ZALEŻNOŚCI DYNAMICZNE (wg STW)

Prawa kinematyki szczególnej teorii względności nie są wystarczające do wprowadzenia praw dynamiki dla prędkości które są bliskie prędkości światła. Należy zgadnąć ważne prawidłowości dynamiki. Einstein postulował iż głównie w mechanice relatywistycznej powinna dalej obowiązywać zasada zachowania pędu oraz energii. Z zasad tych jak również z tych wcześniejszych poznanych równań kinematyki da się sformułować równania dynamiki. Ciągle obowiązujązasady: zachowania pędu oraz energii. p=m*v, m=m0/γ, m0 - masa ciała w spoczynku. Masa ciała jest miarą całkowitej energii ciała E=m*c2 . Energia kinetyczna jest to różnica pomiędzy energią ciała będącego w ruchu a ciałem które się nie rusza, zatem Ek = (m-m0)*c2. Istotne wyrażenie - czterowektor energii i pędu E2-p2*c2 niezmiennicze względem transformacji L-E. Siła F=dp/dt. Okazało się, iż jeśli ciało się porusza to przyspieszenie ciała nie jest równoległe do działającej na niego siły poza ewentualnościami: a) F⊥v - F = a*m0/γ; b) F||v - F = a*m03 Dlatego mówi się czasami o masie poprzecznej oraz podłużnej ciała.

9. SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Gdy rozpatrujemy ruch ciała w ukł. nieinercjalnych (tzn. przemieszczający się ruchem zmiennym) dojdziemy do wniosku, iż jesteśmy w stanie zastosować zasady dynamiki Newtona dla ukł. inercjalnych pod warunkiem, że wprowadzimy dodatkowe siły zw. sił bezwładności. <> Oi - ukł. inercjalny On - ukł. nieinercjalny. Gdy będziemy rozpatrywać ruch ciał poruszających się bez tarcia w ukł. On, na które nie wpływają siły zewnętrzne zauważamy, iż według osoby w ukł. Oi ciało nie zmienia swego ruchu oraz przysp. ciała ai=0, według osoby w On przemieszcza się ono z przysp. an=-au. Ogólnie: w ukł. nieinercjalnym poza siłami przyłożonymi od razu do ciała o masie m wpływa na nie dodatkowa siła (siła bezwładności) wyrażająca się wzorem Fb=-m*an Ukł. nieinercjalne przemieszczające się ruchem prostoliniowym nie potrzebują głębszych wyjaśnień. <> Rozważmy nieinercjalny ukł. On kręcący się z prędkością kątową Ω względem ukł. inercjalnego Oi. Środki obu ukł. pokrywają się, natomiast wektor prędkości kątowej obrotu jest zgodny z osią zi. Niech dany wektor oznaczany będzie przez r. Jeśli szybkość zmian tego wektora w ukł. Oi definiujemy jako (dr/dt)i a w On (dr/dt)n to związek pomiędzy nimi będzie następujący (dr/dt)i=(dr/dt)n+Ωx r (1) Jeśli r będzie wektorem położenia ciała to (dr/dt)i=vi (prędkość ciała w Oi), natomiast (dr/dt)n=vn (prędkość ciała w On) czyli vi=vn+Ωx r Wykorzystując wzór (1) do wektora vi mamy (dvi/dt)i=(dvi/dt)n+Ωx vr =(dvn/dt)n+Ω x vn+Ω x (vn+Ω x r) ale (dvi/dt)i=ai i (dvn/dt)n=an czyli ai=an+2*Ωx vn+Ω x (Ω x r) gdzie ai oraz an są przyspieszeniami ciała w Oi i On. Wykorzystując zależności ai=an+au możemy określić przyspieszenie ukł. On au=2*Ω x v+Ω x (Ω x r) Stąd się bierze równanie na siłę bezwładności w ukł. obracającym się Fb=-m*au=-(2m*Ω x v+m*Ω x (Ω x r) Pierwszy składnik nazywa się siłą Coriolisa, drugi siłą odśrodkową.

SIŁA BEZWŁADNOŚCI, siła pozorna, siła która występuje w nieinercjalnym → układzie odniesienia, nie jest ona powiązana z oddziaływaniem żadnych konkretnych ciał; przykładami sił bezwładności mogą być: → siła Coriolisa i → siła odśrodkowa. Równanie ruchu punktu materialnego w nieinercjalnym układzie odniesienia na skutek wypadkowej sił rzeczywistych oraz sił bezwładności posiada taką samą formę, jak równanie ruchu tego punktu w układzie inercjalnym na skutek sił rzeczywistych; siłę bezwładności wpływającą na punkt materialny da się przedstawić następującym wzorem: Fb = -m(au + ac), gdzie m - masa punktu materialnego, a u - przyspieszenie unoszenia, a c - przyspieszenie Coriolisa. Również wielkość wektorowa liczbowo jest równa iloczynowi masy m punktu materialnego oraz wartości bezwzględnej przyspieszenia | a|, jest ona nakierowana przeciwnie do przyspieszenia; jest ona w zasadzie → d'Alemberta.

10. MASA BEZWŁADNA ORAZ GRAWITACJA

Zastosowane przez Newtona w zasadach dynamiki pojęcie masy jest miarą bezwładności ciała. Newton wykrył także drugą własność ciał - wzajemne działanie na siebie siłami grawitacyjnymi. Przez analogię do oddziaływań elektrycznych trzeba mówić o ładunkach grawitacyjnych ciał. Mimo tego, że eksperymenty pokazują, iż miarą ładunku grawitacyjnego ciała może być jego masa to bezwładność ciała oraz zjawisko grawitacji są całkowicie różnymi własnościami. Powoduje to , że można wyróżnić pojęcie masy bezwładnej oraz masy grawitacyjnej i zaczęto podejmować próby określenia jakiejkolwiek różnicy albo tożsamości tych wielkości (przez odkrycie różnic w ruchu ciał skonstruowanych z przeróżnych substancji pod wpływem grawitacji naszej planety). Siła grawitacji Fg jest proporcjonalna do masy grawitacyjnej mg ciała. Fg=G*(M*mg)/r2 G - stała grawitacji M - masa naszej planety r - odległość ciała od środka naszego globu. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że a=Fg/mb=(G*M)/r2*mg/mb zatem przyspieszenie ciała uzależnione jest od stosunku masy bezwładnej oraz grawitacyjnej.

11. SKUTKI RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ ORAZ GRAWITACYJNEJ

Eksperymenty pokazały równoważność masy grawitacyjnej oraz bezwładnej (stało się to punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina). Jeśli masa grawitacyjna oraz bezwładna są tym samym to wówczas znaczy to, iż osoba obserwująca, która jest w zamkniętej kabinie żadnymi doświadczeniami fizycznymi nie jest w stanie ustalić ciężkość ciał w kabinie pochodzi od pola grawitacyjnego ogromnej masy jak również od siły bezwładności spowodowanej ruchem przyspieszonym kabiny. Fakt ten nazywa się lokalną równoważnością sił grawitacji oraz bezwładności. Dopiero analiza tych sił w ogromnym terenie dały możliwość ustalenia ich charakteru przez określenie charakterystyki przestrzennej (przeróżnej w przypadku pola grawitacyjnego oraz nieinercjalnego ukł. odniesienia). W układzie swobodnie spadającym znoszą się siły bezwładności oraz grawitacji. Ruch ciał spełniony jest zgodnie z I zasadę dynamiki jest to układ inercjalny. Skutkiem tego jest "spadek" promienia światła w polu grawitacyjnym. Jako, że promień światła biegnie po najkrótszej drodze możemy mówić o zakrzywieniu przestrzeni w polu grawitacyjnym. Promieniowi świetlnemu (fotonowi) jesteśmy w stanie przypisać masę mf =h*ν/c2 . Jeżeli tak to, gdy spada w polu grawitacyjnym ulega zmianie jego energia kinetyczna kosztem potencjalnej, jak również częstotliwość δν/ν = g*l/c2. Taka jest względna zmiana mierzonego czasu, ,możemy tu mówić o zakrzywieniu czasoprzestrzeni.

12. PROCESY ODWRACALNE ORAZ NIEODWRACALNE

Procesami odwracalnymi (niezmienniczymi względem inwersji czasu) są oddziaływania między atomami, molekułami (mikroskopowe). W układach makroskopowych procesy nieodwracalne - określają one kierunek biegu (strzałkę) czasu. Ważną nieodwracalności procesów jest przechodzenie układów do stanów o znacznym nieuporządkowaniu. Miarą nieuporządkowania jest ilość równoprawnych metod (stanów mikroskopowych) realizujących układ - stan makroskopowy układu. Na stan makroskopowy składa się stan mikroskopowy, utożsamiany ze stanem kwantowym. Entropię określamy S=k*ln Ω ,gdzie k - stała Boltzmanna, Ω - liczba stanów kwantowych układu realizujących określony stan makro. W układzie odosobnionym procesy dążą do uzyskania stanu równowagi termodynamicznej - największej entropii.

13. ENTROPIA JAKO MIARA NIEPORZĄDKU

Jeśli liczbę stanów kwantowych układu realizujących pewien stan makroskopowy oznaczy się przez omego to wielkość ta mogłaby być miara nieuporzadkowania. Praktycznie za miarę nieuporzadkowania przyjmuje się entropie S, zdefiniowana racjonalnie: S=k*ln(omega), gdzie k-stała Boltzmana. Co dzień dowodzi się że w układzie odosobnionym (nie poddanym wpływom zewnętrznym) procesy ukierunkowane (wyrównanie temperatury, ciśnienia, hamowanie prędkości na skutek siły tarcia) są w stanie trwać aż do momentu uzyskania jakiegoś stanu zwanego stanem równowagi termodynamicznej. Można zatem określić stworzenie, iż w układach odosobnionych kierunek procesów jest taki ze wzrasta entropia aż uzyska wartość największą, ten stan jest stanem równowagi termodynamicznej. Jeśli układ jest suma podukładów A oraz B wówczas z elementarnych prawidłowości kombinatoryki oznacza, iż omega układu jest równa iloczynowi omega a oraz omega b, zatem s=s(a)+s(b), czyli entropia jest wielkością addytywna. Przede wszystkim interesują na s, dyskutujemy tylko zmiany entropii: deltaS=s2-s1=k*ln(omega1/omega2).. Zasada narastania entropii w układzie izolowanym do momentu uzyskania równowagi cieplnej, zatem stanu nazywającego się śmiercią cieplna (gdyż wówczas znikają wszystkie procesy makroskopowe w układzie) jest sprawdzona w skali naszej planety.

Jedna z → funkcji stanu termodynamicznego; miara stopnia nieuporządkowania układu makroskopowego; zmiana entropii układu w izotermicznym zjawisku odwracalnym δS = Q/T, gdzie Q - ilość ciepła pobranego przez układ, T - temperatura bezwzględna układu (w zjawisku nieodwracalnym δ S > Q/T); w fizyce statystycznej - miara liczby W mikroskopowych stanów układu izolowanego, odpowiadających konkretnemu stanowi makroskopowemu tego układu: S = k ln W (k - stała Boltzmanna); związek pomiędzy entropią układu.

14. ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII RUCHU CIEPLNEGO

Równanie stanu gazu doskonałego: pV=NkT=N/NA*R*T=M/Mmol*R*T=nRT, V-objętość, n-liczba moli gazu, N-liczba molekuł, R=NAk, gdzie R to stała Rydberga (stała gazowa). Opisaniu tego równania asystował postępkinetyczno-molekularnej teorii gazu doskonałego która mówiła, iż gaz jest zbiorem punktów materialnych-molekuł przemieszczających się chaotycznym ruchem, zderzających się pomiędzy sobą oraz ze ściankami pojemnika sprężyście. Ciśnienie gazu na ścianki jest spowodowane zmianami pędu ogromnej liczby molekuł zderzających się o nie: p=2/3Ni(mv2)/2=2/3NiEk (Ni-gęstość molekuł). Molekuły przemieszczają się z przeróżnymi prędkościami ,w związku z tym v2 należy zastąpić wartością średnią v2; Ek=3/2kT ,zatem by zwiększyć o jeden stopień temperaturę jednego mola gazu doskonałego bez zmiany objętości to trzeba dostarczyć energię 3/2kNA=3/2R (Cv=3/2R) oraz ta wielkość musi być ciepłem molowym przy stałej objętości; warunek ten jest spełniony przez gazy jednoatomowe (dwuatomowe Cv=5/2R). Te spostrzeżenia to podstawy zdefiniowania zasady ekwipartycji energii. Traktowanie molekuł jako punktów materialnych oczywiście jest realne tylko w przypadku molekuł jednoatomowych. Jej położenie definiują trzy niezależne współrzędne oraz odpowiadają im trzy niezależne metody ruchu translacyjnego nazywane stopniami swobody molekuły. Z wszystkimi z tych stopni powiązana jest energia ruchu cieplnego. Energia całkowita E=(it/2+ir/2+iosc)kT ,(it,ir,iosc-stopnie swobody ruchu translacyjnego, rotacyjnego oraz wibracyjnego). Ogólnie zasada ekwipartycji energii w ciele, które jest w stanie równowagi termodynamicznej wszystkim klasycznemu stopniom swobody cząsteczki odpowiada energia średnio wynosząca kT/2 ,T-temperatura ciała; stopień swobody nazywany jest klasycznym jeśli odpowiadający mu ruch podlega prawom mechaniki klasycznej.

Atom gazu doskonałego posiada trzy stopnie swobody w przestrzeni. Cząsteczka dwu atomowa ma geometrie hauntli tzn. posiada dwa dodatkowe stopnie swobody ruchu obrotowego na około osi prostopad łych do osi hautli oraz przechodzących przez środek. Mówi to nam, że na 1 stopień swobody ruch postępowego albo obrotowego cząsteczki przypada średnio energia chaotycznego ruchu wynosząca kT/2. Na podstawie pomiarów eksperymentalnych zdefiniowano prawo wg którego ciepło molowe metali jest w przybliżeniu takie samo oraz wynosi 3R. Jako, że atomy w metalach posiadają 3 stopnie swobody , ale ruch jest drgający i dlatego trzeba by było przyjąć ze w ewentualności drgań na 1 stopień swobody przypada energia drgań cieplnych kT. Te prawidłowości , które dotyczą średniej energii stopni swobody ruchu nazywa się zasada ekwipartycji energii. Energia ta równa jest: E=(it/2+ir/2+iosc)kT ,(it,ir,iosc-stopnie swobody ruchu translacyjnego, rotacyjnego oraz wibracyjnego).

15. DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE

Jeśli na skutek siły zewnętrznej wychylenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły mowa jest wówczas o występowaniu własnej siły sprężystej w układzie F=-kr. Ciało pod jej wpływem drga harmonicznie ω0=sqrt(k/M). Takie drgania nazywa się swobodnymi (własnymi) nie tłumionymi. Gdy uwzględnimy tarcie T=-fv, gdzie f - współczynnik tarcia. Z II zasady dynamiki M*d2x/dt2 = -kx - f*dx/dt; Różniczkowe równanie drgań tłumionych swobodnych d2x/dt2 + Γ*dx/dt + ω02x = 0, gdzie Γ=f/M - stała tłumienia. Związek położenia ciała x od czasu t: x=A*e-(Γ/2)*t sin(ω1*t+ϕ), gdzie ω1= ω02-(Γ/2)2. A i ϕ są stałymi brzegowymi. Dla ogromnego tłumienia mamy do czynienia z ruchem aperiodycznym - ciało wolno powraca do położenia równowagi. Γ/2 = ω0 to tłumienie krytyczne (bez drgań). Energia drgań E = 1/2k*A2 = 1/2M*ω02*A2; E = E0*e-Γ/t ; E0=k*A2/2= M*ω02*A2/2, gdzie A - amplituda. Czas, w czasie którego energia drgań zmniejszy się e razy nazywa się średnim czasem życia, stałą czasową albo czasem relaksacji τ=1/Γ . Względna szybkość strat energii stała dE/dt=E/τ. Współczynnik dobroci Q=2Π*(energia układu / energia tracona w 1 okresie) = 2Π*E/(E*T/τ) =ω1*τ ≈ω0*τ.

16. DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE

Jeśli w układzie drgającym wpływ ma zewnętrzna siła harmoniczna F0*sin(ωt) mamy d2x/dt2 + Γ*dx/dt + ω02x = F0/M*sin(ωt). W rezultacie jest składnik stacjonarny, który opisuje drgania harmoniczne wymuszone x = x0*sin(ωt+ϕ), ale x0 = F0/M/ sqrt((ω022)222) oraz tgϕ = Γ*ω/(ω202). Amplituda drgań wymuszonych x0 uzależniona jest od ω według zależności rezonansowej. Przy częstotliwości rezonansowej ωrez=sqrt(ω022/2) amplituda drgań xrez=F0/(M*ω0*Γ). Wówczas także praca oraz moc, która jest dostarczona do układu są maksymalne. Średnia moc w jednym okresie drgań P=1/T*∫ {0,T} F*dx/dt*dt = F0/T*ω*x0*∫ {0,T} sin(ωt)*cos(ωt+ϕ)*dt = ½ * F02/(M*Γ)*Γ2ω2/((ω022)222). Gdy Γ << ω0 to Prez≈F02/(2M*Γ). Energia drgań E=1/2 *M*ω2 x02 = ½ F02/(M*Γ2)*Γ2ω2/((ω022)222). Gdy Γ << ω0 to Erez≈F02/(2M*Γ2). Przy częstotliwościach, które są bliskie częstotliwościom rezonansu (ω0+ω) ≈ 2ω. Wtedy Γ2ω2/((ω022)222) ≈ (Γ/2)2/((ω0-ω)+ (Γ/2)2). Przedział częstotliwości kątowych, gdzie moc oraz energia w układzie zmniejszają do połowy wartości w rezonansie nazywa się szerokością rezonansu δω = Γ. 

17. REZONATORY

Układy drgające stosowane do generacji drgań nazywane są rezonatorami. Bardzo często są nimi układy o stałych rozłożonych (gdzie wszystkie fragmenty reprezentuje sobą bezwładność, tarcie oraz sprężystość). Rezonator jest ważną częścią wszystkich generatorów drgań. Ch-ka rezonatora jest pojmowana jako związek stosunku reakcji rezonatora do pobudzenia w funkcji częstotliwości sygnału pobudzającego. Rzeczywiste ch-ki rezonatorów to krzywe rezonansowe Lorentza. Klasę generatora wyznacza względny błąd częstotliwości δω00=Γ/ω0=1/(τ ω0)=1/Q.

18. DRGANIA SPRZĘŻONE, DRGANIA NORMALNE

Rozważamy dwa takie same układy drgające - wahadła sprzężone oddziaływaniem sprężystym. Częstotliwość drgań bez sprzężenia ω0=sqrt(g/l), Ω=sqrt(k/M) - częstotliwość drgań na skutek siły sprężystej fragmentu sprzęgającego. Ψ1, Ψ2 - wychylenia mas z położenia równowagi. Równania ruchu d2Ψ1/dt2 = -ω021 + Ω2*( Ψ1 - Ψ2), d2Ψ2/dt2 = -ω022 + Ω2*( Ψ2 - Ψ1). Pierwsze wyrazy po prawej stronie równania są quasi-sprężystymi siłami (po podzieleniu przez M), drugie wyrazy są siłami sprężyny. Równania nieuwikłane d2ΨΙ/dt2 = -ω02*ΨI , gdzie ΨΙ12; d2ΨΙΙ/dt2 = -(ω022)*ΨII , gdzie ΨΙΙ21; rozwiązania ΨΙ = AI*sin(ωIt+ϕI); ΨΙΙ = AII*sin(ωIIt+ϕII); ωI = ω0; ωII = sqrt(ω02 + Ω2) są drganiami prostymi, nazywa się je drganiami normalnymi. Drgania pojedynczych wahadeł równe Ψ1 =(ΨIII)/2, Ψ2 =(ΨIII)/2 są drganiami złożonymi z drgań prostych o przeróżnych częstotliwościach. Jeśli amplitudy AI oraz AII są takie same drgania są dudnieniami. Ogólnie w przypadku sprzężenia N takich samych fragmentów drgających drgania jednego fragmentu są złożeniem N drgań o przeróżnych częstotliwościach. Jesteśmy w stanie wyróżnić N prostych drgań nazywających się normalnymi. Drganiom normalnym odpowiadają ewentualne fale stojące w układzie.

19. RÓWNANIE FALI, RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI

Fala - przenoszenie zaburzeń z jakiegoś miejsca w ośrodku sprężystym do sąsiednich obszarów niezaburzonych. Za kierunek rozchodzenia się fali oraz współrzędną położenia w ośrodku przyjęto oś X, wielkość wytrąceń cząsteczek z położenia równowagi oznacza się przez Ψ. Forma fali w t=0 da się zdefiniować pewną funkcją f(x). Fala przenosi się w ośrodkach z konkretną prędkością v. W jakimkolwiek momencie czasu równanie fali ma wyraża się w następujący sposób: Ψ =f(x-v*t). Takim samym równaniem (które opisuje taką samą falę) jest równanie: Ψ =g*[t-(x/v)], gdzie g jest odwróconą funkcją f. {RYSUNEK} Fale harmoniczne da się zapisać przy pomocy następującego równania: Ψ=A*sin[(2*Π/λ)*(x-v*t)]=A*sin(k*x-ω*t), gdzie k=(2*Π/λ) jest wektorem falowym (λ - długość fali). Kierunek oraz zwrot wektora falowego odpowiada kierunkowi jak również zwrotowi rozchodzącej się fali. W układzie trójwymiarowym w miejscu kx byłoby kr, gdzie r jest wektorem położenia. Natomiast ω=2Πv/λ=2Πν=2Π/T (ν częstotliwość T okres fali), nazywa się prędkością kątową fali albo częstotliwością kątową. v=ω/k

RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI:

δ2Ψ/δx2=1/v22Ψ/δt2 Dany związek przedstawia dynamikę ruchu falowego i dlatego nazywa się go różniczkowym równaniem ruchu falowego. Gdy będziemy rozważać przykład fali sprężystej podłużnej w pręcie będziemy mogli zapisać dwa równania. Pierwsze to II zasada dynamiki dla jakiegoś odcinka δx. ρSδx* δ2Ψ/δt2 = δF - wypadkowa siła wpływająca na odcinek δx pręta { RYSUNEK } Drugie równanie to wzór na rozciąganie δΨ odcinka o długości δx na skutek siły F: δΨ/δx=F/(SE) gdzie E moduł Younga materiału. Po przekształceniu tych równań uzyskamy równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest fala: δ2Ψ/δx2=ρ/E*δ2Ψ/δt2. Stała ρ/E jest odwrotnością kwadratu prędkości fali. Uzyskując równanie fali tego rodzaju można powiedzieć, iż mamy do czynienia z falą. Można również wyprowadzić wzory: -prędkość fal poprzecznych w strunie v=sqrt(T/τ) T siła naciągu, τ masa jednostki długości; prędkość fal w gazie v=sqrt(κp/ρ) κ=cp/cv współczynnik Poissona, p ciśnienie gazu. Przy wyprowadzaniu tych wzorów przyjmuje sił, że ośrodek jest jednorodny.

20. ENERGIA FALI

Z ruchem fali powiązany jest transport energii pomimo, iż nie ma transportu masy. Gdy rozważymy wycinek δs powierzchni czoła fali w momencie czasu t, biegnącej w kierunku x. W ośrodku po lewej stronie czoła fali cząstki drgają. {RYSUNEK} Z ruchem tym powiązana jest energia drgań E δs. Jest to energia drgań, jaka przypada na jednostkę objętości ośrodka. Miarą ilości energii transportowanej przez falę jest natężenie I fali, które jest stosunkiem energii δE, przeniesionej przez powierzchnię δs prostopadłą do kierunku biegu fali w czasie δt do tej powierzchni oraz czasu. Jeśli przez Eρ oznaczymy gęstość energii to I= Eρv ; Eρ= ρω2A2/2 zatem natężenie fali I=ρvω2A2/2=Zu02/2, gdzie Z - oporność falowa ośrodka, u0 - amplituda prędkości drgań. istotną wielkością echująca źródło fali jest jego moc M, czyli szybkość wysyłania energii w czasie. Natężenie fali w odległości r od źródła jest równe mocy tego źródła do powierzchni przez którą fala przechodzi. I=M/(r2*δΩ), δΩ - kąt bryłowy. Gdy źródło fali jest punktowe albo kuliste oraz wysyła falę izotropowo δΩ =4*Π. W ośrodkach rzeczywistych energia fali w pewnym stopniu jest pochłaniana a następnie zamieniana na ciepło. Strata natężenia fali przy przejściu drogi dx będzie wynosiła dI=-α*I*dx, po przekształceniu I=I0*exp(-α*x), α − współczynnik pochłaniania fali w ośrodku wprost proporcjonalny do kwadratu częstotliwości oraz odwrotności gęstości ośrodka.

21. NAKŁADANIE SIĘ FAL

Jeśli w ośrodku rozchodzą się dwie albo więcej fal to wypadkowe drgania cząsteczek ośrodka (a więc także i fala wypadkowa) jest sumą geometryczną składowych fal. Zatem w ruchu falowym obowiązuje zasada superpozycji. Rozważając przypadek superpozycji dwu fal harmonicznych przemieszczających się w takim samym kierunku, o wektorach falowych k i k+δk mało się od siebie różniących i częstotliwościach ω i ω+δω, to w wyniku nałożenia się tych fal uzyskamy wypadkową falę Ψ=A*sin(k*x-ω*t)+A*sin[(k+δk)*x-(ω+δω)*t] = 2*A*cos((δk/2)*x-(δω/2)*t)*sin(k*x-ω*t). Wypadkowa fala posiada długość oraz częstotliwość taką samą jak fala składowa, tylko amplituda ulegnie zmianie. Obwiednia amplitudy ma sama charakter fali przemieszczającej się z prędkością δω/δk. Prędkość tą nazywa się grupową i przedstawia się ją wzorem vg=dω/dk. Transport energii w fali złożonej jest powiązany z prędkością grupową przemieszczania się jakby paczek falowych. Natomiast prędkość v=ω/k nazywa się prędkością fazową nie ma w przypadku fali złożonej ważnego znaczenia. {RYSUNEK} vg=v-dv/dλ*λ Wzór ten jesteśmy w stanie otrzymać gdy przekształcimy wzór na prędkość grupową. Ośrodki w których prędkość fazowa jest długości fali nazywa się dyspersyjnymi.

22. PACZKA FALOWA

Każda fala rzeczywista w ścisłym sensie nie jest falą harmoniczną, albowiem jest skończona w czasie oraz w przestrzeni, natomiast funkcja harmoniczna jest określona dla argumentu +/-nieskończoność. {RYSUNEK} Fala skończona w czasie oraz przestrzeni to paczka falowa. Przemieszcza się ona z prędkością grupową. Każda fala rzeczywista która jest paczką falową jest superpozycją fal harmonicznych, można to zdefiniować następującymi równaniami: Ψt(x)=∫ {0,∞) c(k)*sin[k*x+ϕ(k)]dk lub Ψx(x)=∫ {0,∞) c(ω)*sin[ω*t+ϕ(ω)]dω, gdzie c(k), c(ω) gęstości widmowe amplitud, natomiast ϕ przesunięcie fazowe konkretnych fal. Widma fal harmonicznych składających się na paczkę falową są bardzo przeróżne, zależy to wszystko od formy paczki falowej. W przypadku danej fali (z RYSUNEK) jesteśmy w stanie mówić o średniej długości fali λ0 albo o okresie T0, czy częstotliwości ω0, ale w takim sensie, iż fala ta jest superpozycją fal harmonicznych o wektorach falowych z zakresu δk, albo częstotliwościach z zakresu δω. Czyli że na te fale złożone jest pewne widmo fal harmonicznych. Wielkości δk i δω cechują szerokość widma. {RYSUNEK} Długość fali jest tym precyzyjniej definiowana, im więcej długości fal zostanie umieszczona w paczce. Ilościowo możemy zapisać to tak: δλ/λ00/δx czyli δλ/λ02 δx =1. Uwzględniając , że w sensie rachunku różniczkowego δλ/λ02=|δ(1/λ0)|, a δ(2*Π/λ0)=δk mamy δkδx=2*Π. Tak samo uzyskamy δωδt=2*Π oraz δνδt=1. Związki te posiadają charakter orientacyjny oraz poprawnie trzeba by napisać δkδx>=2*Π i δωδt>=2*Π

23. BADANIE FOURIEROWSKA FAL

Jeżeli posiadamy jakąś funkcję (falę) określoną w czasie, to jesteśmy w stanie ją przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu funkcji (fal) harmonicznych o częstotliwościach, które są wielokrotnościami (harmonicznymi) częstotliwości podstawowej Ψ(t)=Σ{n=1,∞} An*sin(n*ω1t)+ Σ{n=1,∞} Bn*cos(n*ω1t) gdzie ω1=(2*Π)/T1 oraz An=(2/T1)*∫ {t0, t0+T1} Ψ(t)sin(n*ω1t) dt; Bn=(2/T1)*∫ {t0, t0+T1} Ψ(t)cos(n*ω1t) dt , gdzie t0 jest dowolnym momentem czasu. Jeśli okres czasu powtarzania T1 będzie się zwiększać do ∞, uzyskamy przebieg, który będzie odpowiadał paczce falowej. Wówczas odległość na skali częstotliwości pomiędzy następnymi składnikami sumy szeregów będzie maleć aż do zera oraz sumę tę treba zastąpić całką. Otrzymamy wówczas: Ψ(t)=∫ {0, ∞} [a(ω)*sin(ωt)+b(ω)*cos(ωt)]dω, przy czym a(ω)=(1/Π)* ∫ { −∞, ∞} Ψ(t)*sin(ωt)dt; b(ω)=(1/Π)* ∫ { −∞, ∞} Ψ(t)*cos(ωt)dt. Powyższy wzór da się też napisać Ψ(t)= ∫ {0, ∞} c(ω)*sin[ωt+ϕ(ω)]dω, gdzie c(ω)=sqrt(a2(ω)+b2(ω)) oraz ϕ(ω)=arctg [c(ω)/b(ω)]. Cała energia fali jest wprost proporcjonalna do całki ∫ { −∞, ∞} Ψ2(t)dt. Spełniony jest związek ∫ { −∞, ∞} Ψ2(t)dt =(1/Π)* ∫ { 0, ∞}c2(ω)dω odzwierciedlający fakt, iż cała energia paczki falowej jest sumą energii fal, harmonicznych, które składają się na tą paczkę. Każda fala harmoniczna jest drganiem, którego energia jest wprost proporcjonalna do kwadratu widmowej gęstości amplitudy c(ω).

24. INTERFERENCJA FAL OD ŹRÓDEŁ PUNKTOWYCH

Siatka interferencyjna - n źródeł punktowych umieszczonych w takich samych odległościach d w linii prostej {RYSUNEK} Największe wzmocnienie zajdzie w tych kierunkach, dla których różnica dróg falowych pomiędzy dwoma źródłami jest wielokrotnością λ. Dlatego musi być spełniony następujący warunek d*sin(ϕ)=n*λ. Rozważając interferencję dla pozostałych kątów trzeba założyć że, że ϕ <<1 rad a różnica dróg pomiędzy kolejnymi źródłami δ i różnica dróg fal δ pomiędzy skrajnymi źródłami δ=d* ϕ, δ=(N-1)*d*ϕ. Różnice faz następnych źródeł w stosunku do źródła pierwszego da się przedstawić na wykresie kołowym {RYSUNEK} δα=2Π*d*δϕ/λ=2Π/N Wartość kąta δϕ, przy którym następuje pierwsze zupełne wygaszenie δϕ =λ/(N*d). Kolejne wygaszenia następują dla kątów ϕ równych 2δϕ 3δϕ .. aż dla kąta ϕ1=N δϕ będziemy mieć pierwsze maksimum interferencyjne. Wzór dla charakterystyki kierunkowej ma formę I/Imax=sin2(N*x)/(N2*x2). x=Π*d*sin(ϕ/λ) {RYSUNEK} W przypadku złożenia bez interferencji wypadkowe natężenie wynosi N*I0. W przypadku interferencji wypadkowa amplituda jest sumą amplitud i jest wprost proporcjonalna do iloczynu N*sqrt(I0), natomiast wypadkowe natężenie jest fali jest równe N2*I0.

1 2 

25. ZASADA HUYGHENSA

Wszystkie punkty, do którego dojdzie front fali można potraktować jako punktowe źródło nowej fali, wypadkowy front fali trochę później można uważać wynik nałożenia (interferencji fal od owych źródeł). Tak więc ów otwór trzeba potraktować jako płaskie kołowe źródło fali. Fala rozchodząca się za otworem jest zdefiniowana charakterystyką kierunkową : {RYSUNEK} Zjawisko to nazywa się ugięciem (dyfrakcją) fali. {RYSUNEK} Pewne szczegóły ugiętej fali ukazane są na rys 2 Taka sama rzecz ma miejsce z otworami o innych kształtach. Gdyby na drodze płaskiej fali umieścić przesłonę w formie krążka o średnicy D to fala też się ugnie. Kształt ugiętej fali powinien być taki, iż złożona z falą ugiętą na otworze winna utworzyć falę jakby żadnej przeszkody nie było , czyli falę płaską. Powinno to być złożenie z uwzględnieniem faz, więc fale ugięte na dopełniających się przeszkodach są jakby falami dopełniającymi się. Przy pomocy zasady Huyghensa jesteśmy w stanie łatwo przewidywać formę fali oraz jej rozchodzenie się. Przykładem mogą być konstrukcje geometryczne, które wyjaśniają zasady odbicia oraz załamania.

26. UGIĘCIE FALI NA OBIEKTACH ROZCIĄGŁYCH

Ugięcie fali - zmiana kierunku rozchodzenia oraz zmiany kształtu powierzchni równej fazy na skutek przesłon oraz przegród na drodze fali. Szczelinę albo rozciągłe źródło o szerokości D możemy traktować jako graniczny przypadek siatki interferencyjnej, w której N∞, d0 w taki sposób, iż (N-1)*d=D. Można stwierdzić, iż w kierunku ϕ=0 są największe wzmocnienia, natomiast dla kąta δϕ=λ/D pierwsze pełne wygaszenie. Następnych wygaszeń możemy spodziewać się dla wielokrotności δϕ, gdy różnica dróg fal od skrajów źródła jest wielokrotnością λ. Istotnym przypadkiem jest otwór kołowy (albo źródło płaskie kołowe). Przebieg ch-ki kierunkowej jest taki sam jak do szczeliny, chociaż opisywany funkcją Bessela. Kąt δϕ posiada teraz inną wartość δϕ=1.22*λ/D. Metoda Fresnela badania ugięcia. Bada się od razu interferencję w konkretnym punkcie. Powierzchnię czoła fali podzielić można na strefy oraz w konkretnym punkcie składa się amplitudy od poszczególnych stref. Składane amplitudy utworzą spiralę Cornu. Badając falę płaską, możemy na jej powierzchni wyznaczyć koliste strefy Fresnela różniące się o λ/2 odległością od środka. Przesłaniając tylko parzyste albo nieparzyste pierścienie uzyskamy soczewkę Fresnela.

27. ZASADY HOLOGRAFII

Aby zdefiniować powierzchnię falową należy podać amplitudę oraz przesunięcie fazowe dla wszystkich punktów powierzchni. W przybliżeniu Fraunhofera dalej propagującą falę pokazuje się jako superpozycję wiązek równoległych o amp. c(ϕ),ϕ - kąt rozchodzenia. Gdy zmierzy daleko od źródła wartości c(ϕ) możemy dojąć do wniosku, iż są one powiązane z amplitudą przekształceniem Fouriera.

Holografia stosuje fakt, iż fala ugięta na obrazie dyfrakcyjnym daje nam obraz przedmiotu, z którego zarejestrowano obraz dyfrakcyjny. Na kliszy holograficznej fazę fali ugiętej rejestruje się taki metodami, że oświetla się kliszę także falą odniesienia o pewnej fazie, oraz wypadkowe naświetlenie kliszy wynika z interferencji fali ugiętej oraz fali odniesienia. Wykorzystuje się odwrotne przekształcenie Fouriera.

28. CHARAKTERYSTYKI KIERUNKOWE NADAJNIKÓW ORAZ ODBIORNIKÓW

Jeśli fala od nadajnika będzie wysyłana równomiernie we wszelkich możliwych kierunkach , to nadajnik powinien posiadać geometrię punktową. Na ogół jednak chodzi o wysyłanie fali w konkretnym kierunku. Na ogół wykorzystuje się powierzchnię kolistą. Źródło w formie koła to głośnik, przykładem jest punktowe źródło w ognisku zwierciadła parabolicznego. {RYSUNEK} Jeśli źródło punktowe Z umieścimy w ognisku zwierciadła parabolicznego wówczas promienie odbite od powierzchni powodują wiązkę równoległa, natomiast drogi promieni jest identyczny jak po dotarciu do płaszczyzny S prostopadłej do osi zwierciadła. Powierzchnia S jest spójnym źródłem fali w formie koła. Odbiorniki (detektory) punktowe fal posiadają (pewne) cechę czułości izotropową. Jeśli złoży się takie odbiorniki w układ o geometrii siatki interferencyjnej a sygnały od nich będzie się sumować z uwzględnieniem fazy to charakterystyka kierunkowa takiego systemu jest taka sama jak układu nadawczego. Jesteśmy w stanie także ogólnie powiedzieć, iż charakterystyki kierunkowe nadajnika oraz odbiornika o takiej samej geometrii są identyczne. Przykładami rozwiązań praktycznych, gdzie zagadnienie ostrej charakterystyki kierunkowej jest ważne dla odbiorników sygnałów kosmicznych. Np. radioanteny astronomiczne przy pomocy których można oglądać kosmos w obrazie fal radiowych o długościach rzędu centymetra. Taka antena musi być wycelowana w konkretnym kierunku nieba tak, by odbierała sygnały przechodzące tylko z pewnego kierunku. Dlatego potrzebna jest ogromna zdolność rozdzielcza kątowa. By uzyskać ogromną rozdzielczość kątową konstruuje się anteny o średnicach 100 a także więcej metrów. W ostatnim czasie synchronizuje się do wspólnego odbioru anteny tego rodzaju pomiędzy sobą pomiędzy obserwatorami odległymi od siebie o setki kilometrów. Charakterystyka kierunkowa takiego układu jest iloczynem charakterystyki pojedynczego źródła (w tym przypadku zwierciadła parabolicznego) oraz geometrii układu źródeł - ogromna odległość d od siebie. Ogromna wartość d (setki kilometrów) w stosunku do λ daje bardzo niewielkie σϕ dla układu dwu źródeł w jednym wymiarze. Natomiast charakterystyka paraboliczna daje możliwość rozsądnej rozdzielczości w pozostałych kierunkach.

29. OPÓR FALOWY OŚRODKA

W ruchu falowym z punktu widzenia opisu fali ważna jest fala wychyleń Ψ oraz prędkości drgań u. Po wykorzystaniu wzorów definiujących te wielkości i δF/S=δp, δ2Ψ/δt2=δu/δt, mamy ρδu/δt=δp/δx. Zatem p=-u0*ρv*cos(kx-ωt)= -u0*Z*cos(kx-ωt)=Z*u, gdzie u0 - amp. prędkości drgań, Z - opór falowy ośrodka. Natężenie fali I=u*p=u2*Z=p2/Z. Dla fali harmonicznej natężenie fali jest przeróżne w różnych momentach czasu. Mówić można zatem o skutecznych wartościach ciśnienia oraz prędkości drgań I=usk*psk. Dla fal elektromagnetycznych odpowiednikiem fali prędkości jest fala natężeń pola magnetycznego, natomiast ciśnień - fala natężeń pola elektrycznego. Opór Z=sqrt((μ*μ0)/(ε*ε0)). Opór falowy dla próżni dla fali elektromagnetycznej wynosi 377 Ω. W linii długiej opór falowy Z=sqrt(L1/C1).

30. FALA NA GRANICY DWÓCH OŚRODKÓW

W momencie gdy fala pada na granicę pomiędzy dwoma ośrodkami to w części się odbija natomiast w części przechodzi do drugiego ośrodka, przy czym dochodzi do tzw. załamanie fali określone zależnością (sinα/sinβ=v1/v2. Gdy fala pada prostopadle na granicę pomiędzy ośrodkami, to z zasady zachowania energii I=Io+Ip, Io natężenie fali odbitej, Ip natężenie fali przechodzącej. Oporność falowa ośrodka odpowiednio Z1, Z2. Z ciągłości amplitudy wychyleń, prędkości oraz ciśnień na granicy dwóch ośrodków (na granicy wypadkowe wychyleń oraz prędkości cząsteczek i ciśnienia powinny być takie same w dwóch ośrodkach) posiadamy: (1) Ψ+Ψo=Ψp, (2) u+uo=up, (3) p+po=pp. Indeksy o oraz p dotyczą fali odbitej oraz przechodzącej. Równania (1) jak również (2) są sobie równoważne. Jesteśmy w stanie zatem uzyskać: Ao/A=R=(Z1-Z2)/(Z1+Z22), a dalej Io=R2*I=((Z1-Z2)2/(Z1+Z2)2)*I oraz Ip=(1-R2)*I=(4*Z1Z2/(Z1+Z2))*I gdzie R jest współczynnikiem odbicia fali. Tak więc los fali na granicy dwóch ośrodków uzależniony od względnej wartości ich oporności falowych. W przypadku gdy Z1=Z2, mamy do czynienia z dopasowaniem ośrodków. Fala w całości przedostaje się do ośrodka drugiego, w momencie gdy opory falowe nie są takie same, fala w częściowo odbija się, a w pozostałej części przechodzi. Ale gdy Z1>Z2, R>0 , tzn. faza fali odbitej jest taka sama z fazą fali padającej w miejscu odbicia amplituda drgań jest sumą fali padającej oraz odbitej. W przeciwnym wypadku, tzn. gdy Z12 (ośrodek od którego fala odbija się posiada gęstość większą w stosunku do ośrodka w którym fala się przemiesza) oraz R<0 faza fali odbitej jest przeciwna do fazy fali padającej, wypadkowe drgania cząsteczek ośrodka są różnicą amplitudy fali padającej oraz odbitej. Gdy dodatkowo Z1 oraz Z2 bardzo się różnią, wówczas mamy do czynienia z całkowitym odbiciem. Wówczas na granicy są drgania największe (strzałki) albo zerowe (węzły). Dopasowanie falowe ośrodków albo przeciwnie niedopasowanie jest ciągle ważnym warunkiem skutecznego stosowania zjawisk falowych. W przypadku źródeł fal dąży się do dopasowania oporu falowego źródła oraz ośrodka, gdzie fala ma się rozchodzić, aby fala była skutecznie wysyłana do ośrodka. Ale np. w radiolokacji (radary) , defektoskopii ultradźwiękowej pożądana jest duża różnica pomiędzy oporem falowym ośrodka oraz obiektu posiadającego być wykrytym. Dwa ośrodki o dowolnie różniących się oporach falowych można dopasować, jeśli opór pomiędzy nimi będzie się maleć ciągle wg zależności wykładniczej.

31. FALA STOJĄCA

Jeśli fala cała odbije się na granicy dwóch ośrodków, wówczas w interferencji fali padającej Ψ oraz odbitej Ψo uzyskamy fale stojącą. Ψs= Ψ + Ψo =2*A*cos(k*x)*sin(ω*t). Fala stojąca nie jest już falą, ponieważ funkcja, która opisuje drgania ośrodka nie jest funkcją argumentu (k*x-ω*t). Są to właściwie stacjonarne drgania w czasie (czynnik (sin(ωt)), ale amplituda drgań jest funkcją położenia (czynnik 2*A*cos(k*x)). Jeśli opór falowy ośrodka, gdzie fala pada jest większy od oporu falowego, do którego fala wpada to na granicy otrzymamy strzałkę, w przeciwnym wypadku uzyskamy węzeł. Jeśli ośrodek , w którym fala jest stojąca jest ograniczony z obu stron zapewniającymi całe odbicie to fala stojąca jest ograniczona z dwu stron Takie układy nazywa się rezonatorami: {RYSUNEK} W rezonatorze wyróżniamy fale stojące tylko takie, gdzie długości fal λn są dopasowane do wymiarów rezonatora L. Dla jednowymiarowych drgań n*(λn/2)=L , gdzie n jest naturalne, lub (λn/2)*(n-1/2)=L. Zatem i dozwolone częstości drgań rezonatora utworzą dyskretny ciąg νn=v/λn=(n*v)/(2*L) lub νn =(v*(n+1/2))/(2*L). W ogólnym przypadku rezonator jest obiektem trójwymiarowym, takie same cech posiadają fale stojące.

32. NATĘŻENIE, INDUKCJA I POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO

Na ulokowany w polu elektrycznym ładunek q wpływa siła F. Ta własność pola opisana jest przy pomocy wektora natężenia pola elektr. opisanego w następujący sposób E=F/q. Inną wielkością definiującą pole elektryczne jest potencjał. Różnicę potencjałów elektr. definiujemy jako VA-VB = WAB/q gdzie WAB-praca dokonana przy przesunięciu ładunku q z punktu A do B. Na ogół jako punkt A przyjmowany jest pkt. w nieskończoności oraz potencjał w tym punkcie VA przyjmowany jest za równy zeru. Daje to możliwość zdefiniowanie potencjału elektr. w pewnym zadanym punkcie. V=W/q gdzie W-praca wykonana by przenieść ładunek q z nieskończoności do jakiegoś punktu. Gdy podstawimy WAB=∫{A,B}Fdl=- ∫{A,B}qEdl czyli VA=- ∫{∞,A} Edl. Indukcja pola elektr. Zjawiskiem indukcji elektrostat. nazywa się zjawisko rozdziału ładunków elektrycznych w przewodnikach. Indukcyjne wartości pola elektr. definiuje wektor indukcji D pola elektr. Opis tego wektora powiązany jest z wielkością indukowanego ładunku Dn=δqind/δS=σind , gdzie Dn-składowa normalna wektora indukcji do płytki o powierzchni δS na której indukuje się ładunek δqind , σind -gęstość powierzchniowa ładunku na pow. δS Wektory E oraz D są określane niezależnie od siebie to eksperymentalnie wyznaczono związek pomiędzy; w próżni D=ε0*E.

33. PRAWO GAUSSA I JEGO WYKORZYSTANIE

Jeśli jakiś dowolny ładunek Q, który jest zamknięty w środku przewodzącej powierzchni jakiegoś kształtu to cały ładunek zaindukowany przez pole elktr. (wyprodukowane przez Q) na zewnątrz tej powierzchni równy jest ładunkowi Q. Jako, że zaindukowany ładunek qind jest równy sumie ładunków δqind zaindukowanych na niewielkich kawałkach δS całej powierzchni a z kolei δqind=Dn*δS jesteśmy w stanie napisać qind=∫∫S DndS =Q. Weźmiemy pod uwagę następujący przykładowo ładunek punktowy Q. Produkuje on pole kulisto-symetryczne. Jeśli więc jako powierzchnię Gaussa S weźmiemy powierzchnie kuli o promieniu r ze środkiem wewnątrz ładunku to składowa Dn=D jest stała na całej powierzchni, czyli z prawa Gaussa ∫∫S DndS =D*4Π*r2=Q skąd D=Q/(4Π*r2) i E=Q/(4Πε0*r2). Skąd wielkość siły wpływającej na ładunek q w odległości r od Q: F=(Q*q)/(4Π*ε0*r2); jest to prawo Coulomba.

34. ENERGIA POLA ELEKTRYCZNEGO

Przy opisywaniu energii pola elektrycznego dobrze jest wprowadzić kondensator, czyli elementu, który złożony jest z dwóch okładek, na których jesteśmy w stanie zgromadzić ładunek elektryczny. Napięcie pomiędzy okładkami jest powiązane z ładunkiem stałą - pojemnością. C=Q/V. Wielkość ta jest uzależniona od geometrii okładek oraz substancji pomiędzy nimi. W procesie ładowania kondensatora dokonywana jest praca. Jeżeli ładunek równa się q, napięcie q/C to w procesie przeniesienia pomiędzy okładkami kolejnej porcji ładunku dq praca równa się dq*q/C. Stąd cała praca przy ładowaniu do ładunku Q: L=1/c*∫ {0,Q} q*dq=Q2/(2*C)=C*V2/2. Wykonana praca jest równa energii potencjalnej nagromadzonej w kondensatorze. Przypisujemy energię nagromadzoną w kondensatorze polu elektrycznemu, zatem równanie na gęstość energii pola elektrycznego Eρ=E*D/2. Energia ładunku elektrycznego Q nagromadzonego w jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R. Gęstość ładunku 3Q/(4ΠR3). Ładunki doprowadza się porcjami dq oraz zrasta promień r, tak aby gęstość stała. Wówczas (r/R)3=q/Q, natomiast potencjał na powierzchni kulki q/(4Πe0r) = (Q*q2)1/3/(4Πe0R). W końcu energia omawianego układu równa pracy wykonanej w procesie gromadzenia ładunku (Q*q2)1/3/(4Πe0R) * ∫{0,Q) q2/3dq = 3/5 Q2/(4Πε0R). Takim równaniem oszacować można energię elektryczną jądra.

35. DIPOL ELEKTRYCZNY

Dipolem elektr. pe definiujemy ukł. dwu równych przeciwnego znaku ładunków q, które oddalone są od siebie o l. Miarą dipola jest jego moment elektryczny pe=q*l. Układ 2 jednakowych co do wartości, ale przeciwnego znaku ładunków elektr. (+Q i -Q) będących w pewnej odległości l od siebie (np. cząstka o rozsuniętym ładunku elektr., tzw. spolaryzowana); wielkością cechującą dipol elektryczny jest dipolowy moment elektryczny, definiowany jako wektor skierowany od ładunku ujemnego do dodatniego o wartości μ = Q l. Zmiana w czasie elektr. momentu dipolowego - np. w wyniku ruchu ładunków elektr. - powoduje wysyłanie fal elektromagnet., czyli wysyłanie tzw. promieniowania dipolowego ; źródłem tego promieniowania jest także każdy prostoliniowy odcinek przewodnika, gdzie są drgania elektryczne.

36. DIPOL ELEKTRYCZNY W POLU ELEKTRYCZNYM

Jeśli weźmiemy pod uwagę rozważymy siły wpływające na dipol elektr. w polu elektr. jednorodnym to zauważamy, iż wpływa na niego moment siły M=F*l*sinϕ=E*pe*sinϕ <> definiując wektorowo M=pe x E Moment siły M usiłuje ustawić dipol w kierunku pola. Towarzyszy temu wykonanie pracy δL przez pole elektr. δL=- ∫{ ϕ1, ϕ2}M*dϕ. Praca ta odbywa się kosztem energii potencjalnej U dipola w polu, czyli U(ϕ2)-U('ϕ1)= -δL = ∫{ ϕ1, ϕ2} peEsinϕ∗dϕ = pe*E*(cosϕ2-cos ϕ1). Gdy przyjmiemy, że U(ϕ=Π/2)=0 wzór na energię potencjalną dipola elektr. w polu elektr. U=-pe*E. Jak widzimy w przypadku jednorodnego pola wypadkowa siła działająca na dipol wynosi zero. W polu niejednorodnym mając swobodę ruchów dipol ustawia się wzdłuż linii pola elektr. Dipol produkuje swoje własne pole. Potencjał jest sumą potencjałów od obu ładunków V(r)=V(r+)+V(r-)=q/(4Πε0)*(1/r+-1/r-)=q/(4Πε0)*(r--r+)/(r-r+). Dla |r|>>|l| V(r)=(pe*r)/(4Πε0*r3). Natężenie pola elektrycznego dipola w przybliżeniu E(r)=pe/(4Πε0*r3).

37. NATĘŻENIE I INDUKCJA POLA MAGNETYCZNEGO

Oddziaływania magnetyczne przekazywane są przez pole magnetyczne. Pole magnetyczne nie oddziaływuje na nie poruszające się ładunki elektryczne. Nie produkują one pola magnetycznego. By utworzyło się pole magnetyczne musi przemieszczać się ładunek elektryczny; ładunek musi się przemieszczać, aby wpływało na niego pole magnetyczne. Pole magnetyczne definiują dwa wektory - indukcji B oraz natężenia H. Wektor B definiuje własności dynamiczne pola jak również jest definiowany przez zależność na siłę F wpływającą na przewodnik o długości L gdzie płynie prąd I. F=I*LxB. (siła ta jest sumą sił wpływających na konkretne elektrony, które przemieszczają się w przewodniku FL=qvxB; jest to siła Lorenza). Wektor natężenia pola definiuje własności magnetyczne pola. Jest on opisany przez związek z natężeniami prądu elektrycznego, produkującego dane pole. Linie pola magnetycznego są liniami zamkniętymi. Kierunek oraz zwrot definiuje reguła śruby prawoskrętnej.

38. WZÓR AMPERA

Ilościowa zależność pomiędzy prądem a natężeniem wytworzonego pola magnetycznego to prawo Ampera. Przyjmując jakikolwiek zamknięty kontur l otaczający przewodnik z prądem o natężeniu I i oznaczając przez Hl składową styczną natężenia pola magnetycznego na odcinku dl tego konturu, uzyskujemy ∫ο (Hl dl)=I. Cała dokonana po całym zamkniętym konturze l. Zależności między wektorami H oraz B: B=μ0*H i został ustalony empirycznie. Pole magnetyczne: 1.Wokół przewodnika z prądem H=I/(2ΠR) 2.Solenoid; pole jest jedynie wewnątrz solenoidu i jest ono jednorodne H=Jn/l (J-natężenie prądu w solenoidzie, n-liczba zwojów, l-długość) {RYSUNEK}. Kierunek linii pola z reguły śruby prawoskrętnej.

39. RUCH CZĄSTEK NAŁADOWANYCH W POLU MAGNETYCZNYM

Jeśli naładowana ruchoma cząsteczka będzie się w polu magnetycznym, wówczas będzie na nią wpływać magnetyczny składnik siły Lorenza. Ruch ładunku w polu magnet. uzależniony jest od wartości prędkości i położenia wektorów v i B. 1.v=0 v v<>0 i kąt(v,B) = 0 v 180 pole nie oddziałuje na ładunek. 2.v<>0 i v prostop do B F=qvB. Siła Lorenza jest siłą dośrodkową. Pod wpływem tej siły prędkość zmienia kierunek, ale nie zmienia wartości prędkości - ładunek przemieszcza się ruchem jednostajnym po okręgu. qvB=(Ul*v2)/r r=(Ul*v)/q*B 3.v<>0 i kąt(v,B)= tu RYSUNEK. Złożeniem ruchów względem osi OB i Ovy jest ruch pospiralny; OB-nie wpływa żadna siła; OVy-siła dośrodkowa powoduje ruch po okręgu Vy=Vc*sin(alfa).

40. DIPOL MAGNETYCZNY

Podstawowym przykładem dipola elektrycznego jest pętla z prądem. Wartość dipola wyznacza jego moment magnetyczny pm=I*S*n, gdzie I-natężenie prądu w pętli. układ fiz. produkujący w przestrzeni takie pole magnet. jak 2 blisko siebie ułożone, przeciwnego znaku masy magnet. (ładunki magnet.; umowne odpowiedniki ładunku elektr. w magnesie trwałym); dipole magnetyczne złożone z mas magnet. w przyrodzie nie występują, w skali mikroskopowej dipolami magnetycznymi są cząsteczki elementarne o niezerowym → spinie, w skali makroskopowej - magnesy sztabkowe, koliste obwody prądu elektr.; wielkością cechującą dipol magnetyczny jest dipolowy moment magnetyczny.

41. DIPOL MAGNETYCZNY W POLU MAGNETYCZNYM

W polu magnetycznym wpływa na dipol moment siły M=pmxB oraz dipol na energię potencjalną U=-pm*B. Dipolem magnetycznym jest również ładunek q, który krąży po orbicie kołowej. Wówczas I=q*ν, gdzie ν-częstotliwość krążenia. pm=(q/2m)*K, K-kręt, q/2m-stała żyromagnetyczna cząstki. Kręt orbitalny elektronu Kl=h/2Π*sqrt(l(l+1)) l=1,2,3... - orbitalana liczba kwantowa. Zatem moment orbitalny także jest skwantowany. Kręt własny (spinowy) Ks=h/2Π*sqrt(s(s+1)) s=1/2 (dla elektronów, protonów i neutronów) - spinowa liczba kwantowa. Cząsteczki posiadają także własny (spinowy) moment magnetyczny. Naturalna atomowa jednostka momentu magnetycznego μB=(e/2m)*h/2Π=0.9*10-23 A*m2 - magneton Bohra. Wypadkowy kręt K elektronu, równy sumie pędu orbitalnego oraz spinowego, także jest kwantowany. Jeżeli j-liczba kwantowa to K=h/2Π*sqrt(j(j+1)). W molekułach oraz kryształach atomy wiążą się elektronami walencyjnymi przede wszystkim takimi metodami, że momenty spinowe oraz orbitalne się znoszą.

42. ZJAWISKA I PRAWA INDUKCJI. I RÓWNANIE MAXWELLA

Gdy zmienia się strumień indukcji φB przechodzący powierzchnię ograniczoną konturem zamkniętego, jednozwojowego obwodu elektrycznego w obwodzie tym indukuje się siła elektromotoryczna εind=-dφB/dt. Znak minus - reguła Lenza. W obwodzie elektrycznym indukuje się pole elektryczne. Iloczyn natężenia tego pola na niewielkim odcinku drogi dl obwodu pomnożona przez jego długość jest częścią siły elektromotorycznej indukującej się na tym odcinku, natomiast pełna wartość równa jest εind=o∫l εl*dl - całkowanie po całym zamkniętym obwodzie. Istota zjawiska indukcji elektromagnetycznej opiera się na tym, iż stale na około zmieniającego się w czasie strumienia indukuje się wirowe pole elektryczne. Ilościowo zależność pomiędzy nimi definiuje I równanie Maxwella które mówi, iż całka po dowolnym zamkniętym konturze l iloczynu składowej natężenia pola elektrycznego stycznej do konturu pomnożona przez niewielki element tego konturu jest równa ujemnej wartości szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego, który przechodzi przez powierzchnię ograniczoną tym konturem: o∫lEl*dl = dφB/dt = -S∫∫l δBn/δt*dS. Bn jest składową normalną do dS. Inaczej rotB= -δB/δt. Zjawisko indukcji jest także w czasie ruchu względem pola mag.

43. ZJAWISKA UWARUNKOWANE INDUKCJĄ ELEKTROMAGNETYCZNĄ (WYKORZYSTANIE)

Technologia prądów zmiennych (podstawa współczesnej energetyki, łączności oraz przetwarzania informacji) opiera się na zjawisku indukcji elektr. W szczególności podstawą działania transformatora. Indukcyjność cechuje zdolność obwodu do produkowania strumienia indukcji magnetycznej objętego tym obwodem. Mowa tu o strumieniu sprzężonym φBs z obwodem: φBs=L*J, gdzie J - prąd w obwodzie, L - indukcyjność zależna od geometrii obwodu oraz przenikalności magnetycznej materiału. Dla solenoidu L=μμ0Sz2/l, gdzie S, z, l są przekrojem poprzecznym, liczbą zwojów oraz długością solenoidu. Dla zmieniającego się prądu εind=-L*dJ/dt. Zewnętrzne źródło prądu powinno zrównoważyć tą siłę elektromotoryczną. Każdy obwód ma skończony opór R i indukcyjność L. Jeśli zatem momentalnie włączy się źródło prądu o sile εz, to równanie dla prądu w obwodzie oraz jego wynik w funkcji czasu są następujące: εzind=i*R; i=εz/R*(1-e-t*R/L). Zatem prąd powiększa się od 0 do wartości ustalonej wykładniczo ze stałą L/R. Jeśli pole magnetyczne od prądu z jednego obwodu przenika w drugi obwód to możemy tu mówić o strumieniu indukcji sprzężonym w obwodzie drugim wywołanym prądem obwodu pierwszego. Mówi się o indukcji wzajemnej L. Ogromną wartością L cechują się transformatory.

44. RÓWNANIA MAXWELLA

I równanie Maxwella definiuje zjawisko indukcji elektromagnetycznej mówi ono, iż całka po dowolnym zamkniętym konturze l iloczynu składowej natężenia pola elektrycznego stycznej do konturu pomnożona przez niewielki element tego konturu jest równa ujemnej wartości szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię ograniczoną tym konturem : ∫o{l}Eldl = dΦB / dt = - ∫∫{(S)l} (∂Bn / dt)*dS. II równanie Maxwella określa, iz pole mag. na około przerwy pomiędzy okładkami kondensatora jest identyczne jak na około przewodnika oraz jest ono definiowane następującym związkiem: ∫o{l}Hldl = S*(dDn / dt) = dΦe / dt = ∫∫{(S)l} (in + ∂Dn / dt)*dS. Następne dwa równania dotyczą wektorów indukcji. Równaniem III jest prawo Gaussa: ∫∫o{s]DndS = ∫∫∫{(V)S}(ρ)*dV. Równanie IV mówi, iż nie ma ładunków magnetycznych, czyli całka z wektora indukcji pola magnetycznego po powierzchni zamkniętej wynosi zero: ∫∫o{s]BndS = 0. Mówiąc inaczej, linie indukcji pola mag. są zamknięte. Równanie V oraz VI to zależności pomiędzy D i E oraz B i H: D = εε0*E , B = μμ0*H.

główne równania klas. teorii pola elektromagnet.:

1→→→+∂∂=prjtDHrot 2 BErot−=→→ 3div 4 ρ=→D0=→Bdiv

(E - pole elektr., H - pole magnet., B - indukcja magnet., D - indukcja elektr., →→=∂∂prjtD- gęstość prądu przesunięcia, j - gęstość prądu elektr., _ - gęstość ładunku elektr.; równania Maxwella definiują ścisły związek pomiędzy polem elektr. oraz magnet.: (1) pole magnet. uzależnione jest od powodującego je prądu elektr., (2) pole elektr. może być bezźródłowe oraz wyprodukowanie tylko przez zmienne w czasie pole magnet., (3) źródła pola elektr. są się w punktach, w których są ulokowane ładunki elektr., (4) pole magnet. jest iagle polem bezźródłowym. Pola elektr. oraz magnet. są 2 różnymi foemami pola elektromagnetycznego. Głównym wnioskiem jaki wynika z równań Maxwella to że jest fala elektromagnet. (wykryte eksperymentalne 1886 przez H. Hertza); na równaniach Maxwella opiera się cała nauka o elektryczności oraz dziedziny technologii powiązane z produkowaniem, przekazywaniem oraz zastosowaniem energii elektr. i fal elektromagnet.; napisane 1864 przez J.C. Maxwella.

45. WYSYŁANIE FALI PRZEZ PRZEMIESZCZAJĄCY SIĘ ŁADUNEK

Ładunki przemieszczające się ruchem zmiennym produkują fale elektromagnetyczną. Jeśli ładunek Q przemieszcza się z przyspieszeniem a to wg. rozwiązania równań Maxwella pomijając dodatkową składową blisko ładunku fala elektromagnetyczna w odległości R od ładunku ma kierunek oraz zwrot wektora r taki jak R. Z praktycznego punktu widzenia jest fala wysyłana przez drgający ładunek. Taki charakter posiadają promienie wysyłane przez drgający ładunek. Taki charakter ma prom. Wysyłane przez atomy oraz molekuły w formie promieniowania podczerwonego widzialnego , rentgenowskiego.

46. WYSYŁANIE FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ PRZEZ DIPOL ELEKTRYCZNY

O ile ładunki nie poruszające się produkują jedynie pole elektrostatyczne, natomiast przemieszczające się jednostajnie produkują dodatkowo pole magnetyczne, to przemieszczające się ruchem zmiennym produkują falę elektromagnetyczną. Stwierdzenia te ukryte są w równaniach Maxwella. Jeśli ładunek Q przemieszcza się z przyspieszeniem a, to w.g. rozwiązania równania Maxwella, pomijając dodatkową składową blisko ładunku, fala elektromagnetyczna w odległości r od ładunku posiada kierunek oraz zwrot wektora n taki jak r. Wartości natężenia pola elektrycznego wyrażona jest równaniem E(t) = [Q*n×(n×a)]/[4*π*ε0*c2*r(t')], czyli E(t) = [Q*a(t')*sinθ]/[4*π*ε0*c2*r(t')]. n - jest wektorem jednostkowym wektora położenia r. Wartość pola w momencie czasu t jest definiowana przez sytuację ładunku chwili wcześniejszej t'=t-r/c o czas r/c, jaki potrzebuje pole elektromagnetyczne, by przebyć odległość od ładunku do tego miejsca. Istotnym przypadkiem jest fala wysyłana przez drgający ładunek.

Pole magnetyczne wysyłana przez drgający z amplitudą l ładunek Q jest identyczne jak wysyłane przez drgający dipol pe=Q*l. Taki charakter jest w większej części przypadków promieniowanie wysyłanego przez atomy oraz molekuły w postaci promieniowania podczerwonego, widzialnego, rentgenowskiego, promieniowania gamma wysyłane przez wzbudzone jądra. Również anteny nadawcze fal radiowych. Amplituda natężenia pola elektrycznego fali równa się: E0=(pe2*sinθ)/(4*π*ε0*c2*r), i natężenie fali =(Eo*Ho)/2=(1/2)*Eo2*sqrt(eoo)=(pe24)/(32π2o*c3*r2)*sin2θ. Całkując po całej powierzchni kuli o promieniu r uzyskujemy moc P. wysyłania fali elektromagnetycznej przez drgający dipol: P=∫ {0, π}(*2π*r2*sinθ)*dθ=(pe24)/(12π*εo*c3).

47. OBWÓD ELEKTRYCZNY O STAŁYCH ROZŁOŻONYCH

Na ogół przyjmujemy, iż napięcia oraz prądy we wszystkich częściach obwodu elektrycznego są determinowane przez aktualna wartość siły elektromotorycznej zasilającej obwód. W istocie pole elektryczne od zacisków siły SEM przemieszczają się z prędkością światła wzdłuż obwodu. Dlatego napięcie oraz prąd w obwodzie, w odległości l od ogniwa, w momencie czasu t, są determinowane przez siły SEM w momencie czasu t-r/c. W przypadku siły SEM harmonicznej, zasilającej obwód stanowiący długą linie, utworzy się wzdłuż linii fala napięcia oraz prądu. Prąd przepłynie również, wtedy gdy obwód jest rozwarty na końcu. Wówczas, gdy długość obwodu jest dopasowana do długości fali, po odbiciu fali napięcia oraz prądu na rozwartym końcu powstają fale stojące. Jeżeli obwód zasila źródło zmienne o natężeniu Iosin(ωt), dopasowanym tak, iż długość ramienia l jest równa 1/4 dł. fali związanej z utworzą się ω, to w obwodzie powstaje stojąca fala prądu. Prąd jest w takim obwodzie równoważny drganiom dipola o wartości : pe=qef*λ/4 gdzie qef=∫{0,T/2}(Io*sin(ωt))dt=2Io/ω. Taki obwód wysyła fale elektromagnetyczną (jak dla dipola). Moc wysyłanej fali : P=π*Io2/(12π*εo*c) Jest to antena nadawcza nazywana dipolem.

48. ANTENY DIPOLOWE ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE

Antena dipolowa elektryczna - patrz podpunkt 57. Podstawową odmianą anteny nadawczej typu dipol jest wykorzystywanie jedynie jednego ramienia w formie masztu. Powierzchnia naszej planety jest dla pola elektromagnetycznego pow. ekwipotencjalną, zatem linie pola anteny układają się tak jakby pow. Naszej planety była zwierciadłem, pod którym jest odbicie anteny tworzącej pozorny obraz brakującej części obwodu.

Falę elektromagnetyczną wysyła również drgający dipol magnetyczny. Równanie na natężenie pola magnetycznego takiej fali jest: E0=(pm2*sinθ)/(4*π*c2*r). Moc takiego źródła w wersji technicznej (pętla o powierzchni S zasilana prądem zmiennym o natężeniu I0) jest równa: P=Io24*S2/(12π*εo*c5). Gdy promień r pętli jest taki, że λ=2π*r, wzór upraszcza się do wzoru P=π*Io2/(12π*εo*c).

49. SPÓJNE I NIESPÓJNE ŹRÓDŁA ŚWIATŁA

Światło wysyłane jest przez pojedyncze wzbudzone atomy, które przechodzą do stanów podstawowych. Przejścia te są niezależne od siebie, zatem światło wysyłane przez przeróżne atomy jest wzgl. siebie niespójne. Wzbudzone atomy sąsiadujące ze sobą posiadają warunki synchronizacji emisji, ale skuteczność tej synchr. Się zmniejsza wraz ze wzrostem odległości między nimi. Spójne są źródła o rozmiarach porównywalnych, ale mniejszych od długości fali świetlnej . Naturalne spójne źródła światła posiadają rozmiary ok. 1μm. Niezależnie od rozmiarów D źródła oraz jego niespójności fala w pkt. A ma zdefiniowanąfazę, która wynika z nałożenia się fal od całego źródła. W każdym momencie czasu faza w punktach sąsiadujących nie może być inna, natomiast różnica, która bierze się z różnicy faz promieni dochodzących od źródła. W szczególności max różnica faz promieni mierzona w różnicy dróg fal pomiędzy promieniami, które padają na ekran d w pkt. A i B wynosi : δr = Dsinδϕ = Dδϕ . Jeśli jest ona bardzo mała niż λ wówczas różnica faz w pkt. A oraz B jest znacznie mniejsza od 2π, zatem cały obszar d jest w przybliżeniu oświetlony spójnie. Pon. δϕ=d/L ostatecznie warunek na spójność ma jest następująca :Dd << λL. Przykładem światła spójnego jest laser. Jego właściwości to: -kąt ugięcia dyfrakcyjnego wiązki 1cm: =2D=5*10-5rad (dwukrotne rozszerzenie po 400m);-jeśli wiązkę lasera skupimy soczewką do średnicy 0,5 mm, to amplituda wzrośnie 40 razy (stosunek przekrojów poprzecznych) natomiast natężenie jak kwadrat amplitudy: 1600razy.<>

50. INTERFERENCJA NA CIENKICH WARSTWACH

a) bieg jednego promienia rozciągłego niespójnego źródła S (metoda prążków równego nachylenia). Promień ten pada na płytkę oraz częściowo odbija się w formie prom (1) natomiast częściowo załamuje się i następnie odbija od drugiej ściany płytki i wychodzi jako (2). Promienie te są spójne wzg. siebie (są z jednego intefer.). Warstwa D powinna być bardzo cienka; różnica dróg: δ=n(AB+BC) AD δ=2dncosβ Fala przy odbiciu od ośrodka gęstego zmienia fazę o Π.

b) to interferencja na cienkim klinie (metoda prążków o równej grubości). Promieni (1,2) z punkt. źródła światła po odbiciu interferują jako promienie (1',2') ale tylko na powierzchni klina <>

51. POMIAR DŁUGOŚCI FALI SIATKĄ INTERFERENCYJNĄ

Siatka interferencyjna - n źródeł punktowych położonych w równomiernych odległościach d w linii prostej {RYSUNEK} Największe wzmocnienie będzie w tych kierunkach, gdzie różnica dróg falowych pomiędzy dwoma źródłami jest wielokrotnością λ. Dlatego musi być spełniony warunek d*sin(ϕ)=n*λ. Rozważając interferencję dla pozostałych kątów trzeba założyć, że ϕ <<1 rad natomiast różnica dróg pomiędzy następnymi źródłami δ i różnica dróg fal δ pomiędzy skrajnymi źródłami δ=d* ϕ, δ=(N-1)*d*ϕ. Różnice faz następnych źródeł w stosunku do źródła pierwszego da się przedstawić na wykresie kołowym {RYSUNEK} δα=2Π*d*δϕ/λ=2Π/N Wartość kąta δϕ, gdzie następuje pierwsze całkowite wygaszenie δϕ =λ/(N*d). Kolejne wygaszenia są tylko dla kątów ϕ wynoszących 2δϕ 3δϕ .. aż dla kąta ϕ1=N δϕ będziemy mieć pierwsze maksimum interferencyjne. Równanie dla charakterystyki kierunkowej ma formę I/Imax=sin2(N*x)/(N2*x2). x=Π*d*sin(ϕ/λ) {RYSUNEK} W Przypadku złożenia bez interferencji wypadkowe natężenie wynosi N*I0. W przypadku interferencji wypadkowa amplituda jest sumą amplitud oraz jest wprost proporcjonalna do iloczynu N*sqrt(I0), natomiast wypadkowe natężenie jest fali jest równe N2*I0.

52. ZJAWISKO DYFRAKCJI I INTERFERENCJA W PRZYRZĄDACH OPTYCZNYCH

Luneta-promienie zostają skupione w płaszczyźnie ogniskowej F w pkt. Świetlnym, który byłby obrazem pkt. S1. Soczewka obiektywu ma skończoną średnicę D zatem promień ugina się tak jak na otworze o śr. D. Jesteśmy w stanie powiedzieć, iż rozmycie kątowe obrazu P1 pkt. S1 wynosi przynajmniej δϕ=1,22λ/D (ugięcie zerowego rzędu) Jeśli od innego źródła S2 biegnie promień pod kątem δϕ to tworzy się podobny obraz P2 punktu S2. Jeśli δϕ jest <= δϕ to obrazy zleją się (nie można rozróżnić źródeł S1 oraz S2). W lunecie można rozróżnić dwa źródła jeżeli ich odległość kątowa δϕ >=1,22λ/D. Jest to graniczna rozdzielczość kątowa lunety (i innych urządzeń optycznych). Przy powiększaniu średnicy obiektywu D rośnie się proporcjonalnie do D2 strumień światła a powierzchnia plamki jest odwr. proporcjonalna do D2 gdy jasność plamy jest proporcjonalna do D4 W przypadku mikroskopu ze wzgl. na potrzebę otrzymania znacznych powiększeń liniowych oraz zbierania jak najwięcej światła, odległość pom. przedmiotem a obiektywem są prawie równe ogniskowej (możliwie najmniejsza) natomiast średnica ob. bliska ogniskowej. Mały rozróżniany szczegół δx odpowiada sytuacji takiej δx/f=1,22λ/D więc: δx=λ Falą nie można "oglądać' przeszkód o rozmiarach porównywalnych oraz <λ. Przedmiot jaki oglądamy pod mikroskopem zbudowany się z kilku szczegółów, z których wszystkie w pewnymstopniu przepuszcza światło (albo odbijają). Gdyby te drobiny były rozłożone równomiernie, wówczas mamy swoistą siatkę dyfrakcyjną - trzeba by było jedynie znaleźć stałą siatki oraz geometrię rozkładu. Przedmiot ukazany na RYSUNEK oglądany jest przez soczewkę O. We właściwym miejscu utworzy się obraz rzecz. odwrócony (normalne dla mikroskopu). Wiązki interferencyjne "wychodzące" z przedmiotu (przedmiot to pewna "siatka dyfrakcyjna) skupiają się w płaszczyźnie ogniskowej soczewki-tworzą obraz interferencyjny, gdzie zawarta jest informacja o przedmiocie - można zdefiniować jego kształt oraz rozmiary. Obraz ten (interferencyjny) jest tak samo użyteczny jak oraz geometryczny (odpowiednio: odwzorowanie Abbego pierwszego i drugiego rodzaju).<>

53. PRAWA KIRCHOFA DLA PROMIENIOWANIA CIEPLNEGO

Wywodzi się od atomów, cząstek oraz całej budowy atomów w ciałach, jest wysyłane kosztem ich energii promieniowania cieplnego. Stąd też jego intensywność uzależniona jest od temperatury ciała. Rozważmy odizolowaną grupę ciał nie stykających się ze sobą, będących w równowadze cieplnej w temp. T. Wymiana ciepła następuje przez wysyłanie oraz pochłanianie promieniowania cieplnego. Prom. ciepln. wypełniające przestrzeń wokół ciała w równowadze posiada także przypisaną temp. T oraz nazywa się je równoważnym promieniowaniem. W równowadze ilość energii wysyłanej oraz absorbowanej jest ta sama. Warunek równowagi termodynamicznej (prawo Kirchoffa) E=a*I [ E - natężenie emisji (zdolność emisyjna) a - współczynnik absorpcji I - natężenie padającego prom. ]. Promieniowanie ciepl. Złożone jest z prom. o ciągłym rozkładzie oraz częstotliwości ν. Gęstość widmowa prom. ciepln. Ini oraz gęstość widmowa zdolności wysyłanej Eν definiowane jest : I=∫(0 ∞)Iνdν E=∫(0 ∞) Eν dν , stąd Eν=aν*Iν Wszelkie wielkości są fkc. temp. Ciało doskonale czarne to takie, dla którego aν=1; tzn. zdolność emisyjna takiego ciała jest równa natężeniu promieniowania zrównoważonego w danej temperaturze. Zdolność emisyjna jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej ciała (prawo Stefcia Boltzmanna); I=σ*T4 σ-stała Stefcia Boltzmanna. Emisja promieniowania to zasadnicza metoda utraty ciepła. Szybkość utraty ciepła przez promieniowanie: δQ/δT=a*S*σ(T04-T4) S - pow. ciała T0 - temp. otoczenia. WIEN wykazał, że między długością fali λm , odpowiadającą maksimum widma i temp. T jest zależność: λm*T=2.898*10-4K*m.

54. WZÓR STEFANA-BOLTZMANA

W 1879 roku Stefan ustalił eksperymentalnie, iż zdolność emisyjna ciał jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej ciała I=ó*T4. Piec lat później Boltzmann uzasadnił tą 

Zależność, nazwana została ona prawem Stefana-Boltzmaza, na gruncie termodynamiki. Ó=5.67*10-8W/(m2K4) - stała Stefana-Boltzmana.

55. HIPOTEZA FALOWA de BROGLIE'a

Mechanika ciał nie jest adekwatna do opisu świata mikrocząsteczek. Wskazaniami do prawidłowego rozwiązania były pewne analogie. Z optyki geometrycznej pamiętamy, iż promień świetlny przebywa drogę pomiędzy dwoma konkretnymi punktami po ściśle określonym torze, który spełnia prawo załamania światła. W poł. 18 wieku, kiedy to przeważał pogląd o korpuskularnej naturze światła, tor promienia świetlnego utożsamiany z torem cząstek świetlnych. Wówczas Fermat napisał zasadę dotyczącą toru promienia świetlnego pomiędzy jakimiś punktami w dwu ośrodkach przez które przechodzi promień ∫(1 2)nds=min; n-wsp. załamania. W obrazie falowym tory promieni są kierunkami rozchodzenia się fal, natomiast powierzchnie prostopadłe do nich są pow. równej fazy. Ponieważ n=c/v lub n=λ/λm , dlatego zasadę Fermata jesteśmy w stanie zapisać w następujący sposób min=∫(1 2) ds/ λm=∫(1 2)dt. Sto lat później Maupertuls napisał podobną zasadę wariacyjną w mechanice: ∫(1 2)pds= min(p-pęd ciała, ds-odcinek drogi). Wychodząc z równania fali świetlnej da się (przy warunku optyki geometrycznej λ dąży do zera) uzyskać równanie elikonału, które wyznacza tor promienia(elikonat-faza fali), np.dla fali płaskiej przedstawia się ona następująco (kx-ω*t). Ruch pkt. materialnego da się opisać równ. Hamiltona-Jacobiego, które to ma postać elikonału. Ale zamiast elikonału jest pewna funkcja S nazywana działaniem w przypadku ruchu jednowymiarowego równanie Hamiltona-Jacobiego: (1/2m)*(∂s/∂x)^2+V(x)=∂s/∂t, gdzie s=(px-Et). Przeszkodą w odkryciu falowej natury światła była niewielka dł. fal świetlnych. Jeśli skojarzy sobie związki pomiędzy λ,p,f oraz E dla fal świetlnych-fotonów i analogie pomiędzy nimi(faza(kx-ω*t) oraz działaniem (px-E) zauważymy pewne podobieństwo. W 1923 de Broglie napisał hipotezę fal natury(?). Wg niej ruch cząstek jest opisany falą, której dł. λ oraz częstotliwość f posiadają związek λ=h/p; h-stała Plancka, p-pęd; f=E/h. Hipoteza ta nie znalazła początku uznania wśród fizyków. Dopiero za sprawą prac teoretycznych Schrodingera oraz Heissenberga, którzy zdefiniowali (niezależnie mechaniki kwantowej), hipoteza stała się w 1919 Darisson oraz pozostali zaczęli analizy rozproszenia elektronów o energiach rzędu 100eV od powierzchni metali-metali polikrystalicznych. Eksperymenty pokazały, iż natężenia wiązki elektronów rozproszonych uzależnione jest od orientacji płytki, wart. prądu elektronów rozproszonych zależy w sposób oscylujący od kąta ϕ. Rozpoczęto badania na monokryształach. Dopiero w 1925 r. zwrócono uwagę na możliwość dyfrakcji wiązki elektronów na sieci kryształu tak samo jak promieni rtg. Darisson z Germerem dokonali eksperymentów. Wybrano kryształ niklu, który ma budowę kubiczną scentrowaną powierzchniowo. Kryształ wycięto oraz zorientowano tak, że wiązka elektronów pada prostopadle na płaszczyznę tzn. kierunek wiązki padającej pokrywał się z główną przekątną komórki elementarnej. Wyniki analiz: a)zależność natężenia prądu w funkcji nap. U dla kąta rozproszenia ϕ=500 i kąta azymutowego α=900 Maksimum odpowiada energii elektronów 51eV. Zatem dł. fali elektronów λ=h/p=h/sqrt(2mUe)=16,7nm. Rozwiązanie można wyjaśnić interpretując ugiętą wiązkę elektronów jako rezultat interferencji fali elektronów od rzędów atomów odległych o d. Warunkiem interferencji jest d*sinϕ=n. Układ maksimów można wyjaśnić: układ atomów odległych o d, przy obrotach wokół osi prostopadłej do płaszczyzny powtarza się co 60 stopni oraz stąd następne maksima. Ich rozdzielenie ma pliki mniejsze oraz większe -pełna symetria kryształu przy takich obrotach powtarza się dopiero co 120 stopni. Były także i inne doświadczenia, autorem jednego z nich był Polak-Szczeniawski.

56. FUNKCJA WŁASNA CZĄSTKI, JEJ WŁASNOŚCI

Równanie Schrodingera daje możliwość wyznaczenia funkcję falową jakiegoś stanu oraz w rezultacie wyznaczyć prawdopodobieństwo odnalezienia się cząsteczki konkretnych przestrzeni. W równaniu Schrodingera jest jako parametr-całkowita energia cząsteczki. W przypadku cząsteczki swobodnej o energii E przemieszczającej się z pędem p w kierunku osi X funkcja opisująca cząsteczkę, która ma postać: Ψ=A*exp[(i/h)*(px-Et)] gdzie i-jednostkowa liczba urojona, A-amplituda. Widzimy, że, λ=h/p można równanie Ψ=...jak wyżej zapisać Ψ=A*exp[i(kx-ω*t)]; (k=2π/λ -wektor falowy cząstki). Pamiętamy że, eiz=cos(z)-i*sin(z) można się w funkcji Ψ zauważyć prawdopodobieństwo z warunkiem fali, w ten sposób że: A-amplituda, exp[(1/h)(px-Et)] jest sumą czynników fali w formie harmonicznej (rzeczywistego oraz urojonego). Funkcja Ψ nazywana jest funkcją własną oraz definiuje stan kwantowy cząsteczki. Znaczenie jak również rola funkcji własnej w mechanice kwantowej jest taka sama jak fali harmonicznej płaskiej w ruchu falowym. Sens fizyczny funkcji Ψ: Otóż kwadrat modułu tej funkcji, tzn. |Ψ|2=ΨΨ* (Ψ*jest sprzężone do Ψ) jest gęstością prawdopodobieństwa bycia cząsteczki jakimś w danym miejscu tzn. |Ψ|2dxdy jest prawd. przebywania cząsteczki w objętości. Z warunku, iż cząsteczka gdzieś jest na pewno wynika warunek unormowania funkcji: ∫∫∫(-∞ +∞)ΨΨ*dxdydz=1. Jeżeli wiele takich samych cząstek definiuje jedna funkcja falowa, wtedy gęstość cząsteczek jest wprost proporcjonalna do ΨΨ*, np. foton. Gęstość energii promieniowania jest wprost proporcjonalna do gęstości fotonów. Tak więc, natężenie fali świetlnej wprost propor. do gęstości fotonów czyli do |Ψ|2. Promieniowanie da się także opisać falą elektromagnetyczną. Wówczas natężenie promieniowania można wyrazić przez kwadrat modułu fali. Czyli funkcja definiująca falę świetlną jest wprost proporcjonalna do funkcji własnej fotonu. RYSUNEK: {wygląda mniej więcej tak: ¦<¦>¦ pierwsza ścianka ze szczeliną S, za szczeliny wychodzą dwa promienie r z indeksem S1 dochodzi do szczeliny 1 w drugiej ściance, r z indeksem S2 do szczeliny 2; ze szczelin 1 i 2 wychodzą promienie odpowiednio r1, r2 i dochodzą do szczeliny p w trzeciej ściance.} Szczelina S jest źródłem cząsteczek o pewnej energii E oraz pędzie p wysyłanym we wszelkich kierunkach. Funkcja własna cząsteczki przechodzącej od szczeliny S do 1 wynosi: Ψ(S→ 1)=A*exp[(i/h)(p*rs1 -Et)]. Kwadrat modułu A2 jest prawdopodobieństwem takiego przejścia. Da się również zdefiniować amplitudę prawdopodobieństwa przejścia cząsteczki od S przez szczelinę 1 do P: Ψ(S→1→-P)=Ψ(S→1)Ψ(1→P) z prawdopodobieństwa |Ψ(S→1→P)|2=|Ψ(S→1)|2|Ψ(1→P)|2. Następna własność. Niech będzie szczelina 2. Tak samo można wyrazić amplitudę prawdopod. Ψ(S→2→P). Cała amplituda prawdopod. Równa jest Ψ(S→P)=Ψ(S→1→P)+ Ψ(S→2→P), a prawdopodobieństwo analogicznie. Jeśli stan cząsteczki jest sumą wielu podstanów, to funkcja własna cząsteczki nie jest równa sumie prawdopod. cząstkowych, ale jest równe kwadratowi modułu sum amplitud prawdopod.. W wyniku możemy posiadać efekty interferencyjne Ψ(S→1→-P)=A1'exp[(i/h)(p*rs1 -Et1')]*A1''exp[(i/h)(p*r1 -Et1'')] oraz Ψ(S→2→P)=A2'exp[(i/h)(p*rs2-Et2')]*A2''exp[(i/h)(p*r2 -Et2'')] Czasy t oraz amplitudy A są odstępami czasów a także amplitudami podczas przebywania przez cząsteczkę przeróżnych odcinków dróg: t1'+t1''=: t2'+t2''. Przyjmujemy :rs1= rs2= rs A1'A1''= A2'A2''=A; dlatego: Ψ(S→P)=A*exp(i/h)(p*rs-Et) *exp(i/h)p*r1*[1+exp(i/h)p*(r2-r1), a prawdopodobieństwo |Ψ(S→P)|2=A2*[2+exp(i/h)p*(r2-r1)+exp-(i/h)p*(r2-r1)], oznaczając p/h=2π/λ=k; r2-r1=δr po przekształceniach |Ψ(S→P)|2=2A2[1+cos(k*δr)=4A2 cos2(k*δr/2). Rozkład prawdopod. trafienia cząsteczki w przeróżne miejsca ekranu jest interferencyjny.

57. ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

Jedno z głównych twierdzeń mechaniki kwantowej; mówi, iż nie można z dowolną dokładnością zdefiniować równocześnie wartości par pewnych wielkości fiz. cechujących układ, do którego opisu wykorzystuje się mechanikę kwantową; parami takimi są np. położenie oraz pęd cząsteczki, energia E oraz czas t, gdzie energia ta została zmierzona; najmniejszy możliwy iloczyn niepewności w określeniu takich wielkości nie może być mniejszy aniżeli = h/2π, a więc δ xδp ≥ ( x - współrz. położenia, p - odpowiadająca jej składowa pędu, h - stała Plancka) oraz δEδ t ≥ ; zasada nieokreśloności Heisenberga jest wyrazem → dualizmu falowo-korpuskularnego.

Amplituda prawdopodobieństwa cząsteczki Ψ o energii E oraz pędzie p przemieszczającej się prostoliniowo wzdłuż osi OX wyrażona jest równaniem Ψ=A*exp[i(kx-ω*t)]. Ponieważ A jest wielkością stałą, to ΨΨ*=A2 w obszarze od -∞ do +∞ Położenie cząsteczki jest w przedziale od -∞ do +∞. Można sobie wyobrazić iż funkcja falowa Ψ definiująca realną cząsteczką powinna być zlokalizowana w przestrzeni tak samo jak możliwe umieszczenie cząsteczki jest bardziej albo mniej zlokalizowane. Na danym przykładzie cząsteczka przemieszcza się w kierunku osi X z prędkością V. Funkcja falowa ma formę jak na rysunku (2) a to jest paczka falowa. Ostatni wykres pokazuje gęstość prawdopodobieństwa bycia cząsteczki w jakimś miejscu. Sprawdzając koncepcję paczki falowej ze względu na prędkość uzyskujemy: Vfaz =ω/k=E/p. Jeśli E=p2/2m to Vfaz=V/2, gdy E=mc2 to Vfaz=c2/V. Prędkość grupowa paczki falowej równa jest Vgr=d ω/dk=dE/dp=V. Czyli rzeczywiście funkcje falowe realnych cząsteczek są paczkami falowymi. Biorąc pod uwagę związek pędu z wektorem falowym oraz częstotliwości z energią mamy δx*δpx>=h; δt*δE>=h. Zależności te nazywa się zasadami nieoznaczoności Heissenberga(1930). Dla trzech wymiarów posiadamy δy*δpy>=h; δz*δpz>=h; px py pz- składowe pędu. Im cząsteczka, a zatem również i funkcja własna lepiej umieszczona jest w przestrzeni tym składa się na nią szersze widmo pędów co oznacza, iż pęd cząstki ma konkretną nieoznaczoność. Również im czas trwania δt cząsteczki jest krótszy tym większe jest rozmycie (nieoznaczoność) energii cząsteczki. Zasady nieoznaczoności są zakodowane w prawa przyrody oraz zjawiska w świecie mikrocząsteczek Ważne przykłady działania zasad nieoznaczoności: a)związek pomiędzy czasem życia τ atomu w stanie wzbudzonym oraz rozmyciem δE wartości energii atomu w tym stanie τ*δE≅h. Takie samo rozmycie ma foton. Nieoznaczoność częstotliwości fotonu δτ=δE/h=1/τ. W stanie podstawowym atom jest w stanie przebywać praktycznie dowolnie długo tzn. τ jest dowolnie ogromne, zatem rozmycie energii poziomu podstawowego wynosi zero; b)cząsteczki elementarne nietrwałe, których czas życia równa się τ. Wówczas energia spoczynkowa cząsteczki krótko żyjącej ma naturalne rozmycie δE=δm0 c2 =h/τ, a zatem masa spoczynkowa cząsteczki krótko żyjącej ma naturalne rozmycie; c)próba pomiaru położenia oraz pędu cząsteczki z dokładnościami większymi od możliwych według zasad nieoznaczoności: elektrony przyspieszane nap. U(EK=e*U) oraz skolidowane otworem s w przesłonie są uformowane w wiązkę, która przesuwa się w kierunku osi Y. Składowa py =sqrt[2meU]. Jeśli elektron wylatuje ze szczeliny s posiada pewną składową pędu δpx , to jego tor tworzy kąt α z osią Y tak, że tgα=δ px/ py oraz elektron nie trafi w szczelinę o szer. δx przesłony ustawionej w odl. δL, jeśli tgα> δx/2L. Składowa powinna mieścić się w przedziale ±δpY *δx/2L. Powiększając L oraz pomniejszając δx zmniejszamy nieoznaczoność położenia elektronu. Jeśli na ekranie nastąpi rozbłysk to będzie spowodowany elektronem, który posiadał nieoznaczoność pędu δpx=δx*pY/2L. Elektron dolatując do szczeliny δx definiuje falę płaską z długością λ=h/py. W szczelinie δx funkcja falowa elektronu ulega ugięciu, a zatem i elektron ulega ugięciu. Kąt ugięcia równa się δϕ=λ/δx. Zaistniało rozmycie pędu: δpx=py * tgδϕ ≅ pY*λ/δx, gdyż λ= h/pY to δx* δpY ≅ h. Ogólnie zasada Heisenberga mówi: iloczyn nieokreśloności wartości dwu zmiennych sprzężonych nie może być co do rzędu wielkości mniejszy aniżeli stała Plancka. Energia oraz czas także są wielkościami kanonicznie sprzężonymi. A zatem dla nich również słuszny jest związek nieoznaczoności: δE*δt>=h/2 gdzie h to jednostkowa liczba urojona.

58. EFEKT TUNELOWY

Gdy cząsteczka pada na uskok potencjału wyższy od energii całkowitej cząsteczki to wg przewidywań mechaniki klasycznej cząsteczka odbije się, Wg mechaniki kwantowej równ. Schrodingera (prawa strona): (∂2ΨP /∂x2 )-q2ΨP =0, q=sqrt[2m(U-E)/h], natomiast rozwiązanie ogólne: ΨP=a*exp(qx)+b*exp(-qx). Składowa exp(qx) nie ma sensu fizycznego, ponieważ funkcja ΨP wzrastałaby do nieskończoności. Przyjmujemy zatem jako rozwiązanie: ΨP =b*exp(-qx), ΨL =A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) dla A=1. Z warunku ciągłości Ψ i ∂Ψ/∂x w miejscu x=0 posiadamy 1+B=b, i*k z ind. l*(1-B)=-bq. Rozwiązując układ uzyskujemy B=(1-i*sqrt(U/E-1))/(1+i*sqrt(U/E-1)), b=2/(1+i*sqrt(U/E-1)) B=1, czyli cząsteczka na pewno odbija się, ale i wnika do obszaru 'zakazanego', gdzie energia potencjalna jest znacznie większa od całkowitej. Fala odbita oraz padająca w obszarze L tworzy falę stojącą. Gdy cząsteczka nalatuje na barierę potencjału, to ponieważ energia E jest mniejsza od wysokości bariery, zatem wg praw mechaniki klasycznej cząsteczka powinna się odbić. Rozwiązania są takie same jak dla przypadku wyżej napisanego. Prawdopodobieństwo odnalezienia się cząsteczki w miejscu o współrzędnej x=a wynosi |b|2 *exp(-2qa). Ponieważ dalej energia cząsteczki jest większa od potencjalnej, cząsteczka jest w stanie swobodnie przemieszczać się w prawo. Tak więc wg mechaniki kwantowej cząsteczka może przenikać barierę energii potencjalnej większą od energii cząsteczki. Zjawisko to nazwane został efektem tunelowym(1928). Prawdopodobieństwo przeniknięcia C2 jest takie samo jak prawdopodobieństwu wniknięcia cząsteczki w barierę energii potencjalnej na głębokości a. W przybliżeniu C2≅exp(-2qa). Prąd prawdopodobieństwa cząsteczki, która pada powinna być równa sumie prądu prawd. przejścia oraz odbicia, natomiast prędkość cząsteczki jest po obydwu stronach bariery jednakowa. Dlatego B2+C2=1. Prawdop. przeniknięcia bariery potencjału przez cząsteczkę nazywa się współczynnikiem przeźroczystości T bariery jest istotną wielkością. W ogólnym przypadku bariera ma jakikolwiek kształt Wówczas możemy całą barierę pogrupować na wąskie prostokąty. Zgodnie z zasadami rachunku prawdop. prawdopodobieństwo T przeniknięcia całej bariery jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przeniknięcia następnych prostokątów. W granicy posiadamy wzór na współczynnik przeźroczystości bariery potencjału: lnT=(2/h)*∫(xa xb ) (sqrt(2m(U-E)dx).

59. CZĄSTECZKA W STANIE ZWIĄZANYM

główne wyniki mechaniki kwantowej odnoszące się czas do cząsteczki nie związanym tj. cząsteczki uwięzionej w dole energii potencjalnej. Jeśli mowa o cząsteczce w stanie związanym to mamy wówczas na myśli układ dwóch cząsteczek przyciągających się, gdzie cała energia jest mniejsza od sytuacji, gdy cząsteczki są oddzielone od siebie. Zachowanie takiego układu opisane jest masą zredukowaną przemieszczającą się w polu sił oddziaływania pomiędzy realnymi cząstkami. Centrum pola sił jest w środku masy cząstek realnych, natomiast samo pole powinno posiadać kształt dołu energii potencjalnej. Zatem wszystkie cząstki będą na ogół masą zredukowaną. Jeśli układem jest jądro oraz elektron krążący na około niego, to masą zredukowaną jest elektron, natomiast jądro jest w centrum siły. Jeśli układem są dwa takie same atomy przyciągające się oraz budujące cząsteczkę, wówczas masa zredukowana wynosi połowę masy jednego atomu oraz chwilowe położenia atomów wynoszą wtedy ±r/2; r- położenie masy zredukowanej od centrum siły. Bardzo prostym przypadkiem do obliczania jest tzw. nieskończona studnia potencjału. U=0 w 00. Cząsteczka nie może być zatem w obszarach x<0 i x>L tzn. Ψ=0. Natomiast w obszarze studni tzn. 02 Ψ/∂x2)+k2Ψ=0, k2=2mE/h2. Rozwiązanie ogólne: Ψ=A*exp(ikx)+b*exp(-ikx). Jak, że w miejscach x=0 x=L energia potencjalna dąży do nieskończoności, funkcja własna cząsteczki koniecznie musi wynosić zero. W tych miejscach nie ma wykorzystania warunku ciągłości pierwszej pochodnej funkcji Ψ. Mamy A+B=0. Stąd Ψ=2A*isin(kx). Rozwiązanie równania Schrodingera można poszukać także w formie przeróżnej od fal biegnących tzn. wyrazów typu exp(±ikx). Racjonalne jest rozwiązanie ogólne Ψ=A*sin(kx)+B*cos(kx) (A,B-dowolne stałe). Z warunku Ψ(x=0)=0 posiadamy szczególne rozwiązanie B=0 i Ψ=A*sin(kx). Gdy Ψ(x=L)=0 uzyskamy, iż wektor fazowy k nie może posiadać dowolnych wartości, natomiast tylko takie by kn =(π/L)*n tj, pęd: pn*L=(h/2)*n n=1,2,3..(n-liczba kwantowa). Jest to charakterystyczny warunek dla fali stojącej. Dozwolone stany kwantowe cząsteczki oraz jej funkcje własne są dyskretne Ψn =An *sin(kn *x). Z warunku unormowania ∫{0 L} Ψn2dx=1 uzyskujemy A=sqrt(2/L). Energie cząsteczki w dozwolonych stanach wynoszą En =(h22*n2)/2mL2. W przypadku prostokątnej studni potencjałów interesuje nas również rozwiązanie w formie fal biegnących. Mowa tu o sytuacji: molekuły gazu w pojemnikach o wymiarach L3 albo elektronu przewodnictwa w metalu. Model nie skończonej studni potencjału jest bardzo bliski, ale trudno w tych przypadkach pogodzić się z modelem fali stojącej. Rozwiązanie może mieć postać Ψn =An *exp(ixkn ). Warunki brzegowe definiuje się tak, aby rozwiązanie było w pełni okresowe. W fali biegnącej wszystko powtarza się w przestrzeni oraz odstępach λ i dlatego w studni powinna się mieścić całkowita wielokrotność długości fali kn =2π/L; pn*L=hn n=±1,±2... W przestrzeni pędów ilość dozwolonych stanów skwantowanych jest identyczna jak wyżej przedstawianych przypadków. Rozwiązanie dla fal biegnących w trzech wymiarach: Ψ=Ψxyz ,E=suma E z indeksami jak powyżej; p2 =h2 *k2 =suma p z indeksami jak powyżej.

60. GESTOŚĆ STANÓW KWANTOWYCH

Układ, który złożony jest z nie poruszającego jądra o ładunku Ze (liczba całkowita) oraz przemieszczającego się na około niego elektronu dla Z >1 nazywa się jonem wodoropodobnym, dla Z=1 stanowi on atom wodoru. Energia potencjalna elektronu U=(-2e2)/(4Πεor),gdzie r-odległość elektronu od jądra. Więc równanie Schrödingera ma następującą formę:∇2Ψ+{2m/h2 }*(E+2e2 /(4Πεor))Ψ=0. Pole, w którym przemieszcza się elektron jest polem centralnym. Posługując się sferycznym układem współrzędnych(r,ϑ,ϕ).Korzystając z operatora Laplace'a dla współrzędnych sferycznych uzyskujemy:1/r2*[d/dr](r2[dϕ/dr])+r/(r2sinϑ[d/dϑ])(sin[ϑ[dϕ/dϑ])+1/(r2sin2ϑ)*[d2ϕ/dϕ2]+2me/h2*(E+ 2e2/(4Πεor))r=0 równanie ma rozwiązanie jednoznaczne ,skończone oraz ciągłe dla : a.)E>0 ,gdy elektron przelatuje niedaleko jądra oraz oddala się później do ∞. b.) dla dyskretnych ujemnych wartości En=-moe42Z/(32Π2ε2oh2n2. Funkcje własne tegoż równania posiadają trzy parametry, które są liczbami całkowitymi(n,l,m).Opis n- liczba kwantowa główna n=1,2,3,...,∞ ,powiązana z energią na orbicie ; l-liczba kwantowa poboczna (azymutalna albo orbitalna)powiązana z momentem pędu na orbicie oraz forma elipsy l=0,1,2,...,n-1 ; m-magnetyczna liczba kwantowa m=-l,(-l+1),...,0,...,+l powiązana z rzutem momentu pędu na orbicie na kierunek pola magnetycznego. Wszystkie kombinacja dozwolonych liczb kwantowych n,l,m są zbiorem dozwolonych współrzędnych elektronu w atomie oraz definiuje konkretny stan kwantowy elektronu w atomie(atom wodoru może posiadać jedną oraz taką samą wartość energii będąc w wielu przeróżnych stanach; w atomie nie są w stanie być dwa elektrony o takich samych wszelkich czterech liczbach kwantowych). Elektron ma także własny moment pędu Ks ktry nazywa się momentem spinowym albo w skrócie spinem: Ks=hsqrt(1/2(1/2+1)). Wszystkie rodzaje cząstek posiadają swój specyficzny spin (s). Zatem czwartą liczbą kwantową, która określa stan elektronu w atomie jest spin s=±1/2 ,która powiązana jest z rzutem spinu elektronu na kierunek pola. Moment pędu orbitalny KL elektronu oraz spinowy Ks, który określa całkowity moment pędu Kj=KL+Ks. Okazuje się, iż Kj jest skwantowany wg zasady Kj=hsqrt(j(j+1)) ,j=l-1/2,l+1/2. Liczba kwantowa całkowitego momentu pędu (j) uzyskuje dla pewnego l dwie wartości ze względu na dwie przeróżne orientacje spinu. Ze wzoru na En wynika ,iż energia elektronu uzależniona jest jedynie od głównej liczby kwantowej n. Uwzględniając efekty relatywistyczne odkryto także, iż energia ta uzależniona jest także w niewielkim stopniu od liczby kwantowej j: En,j=En[1+(α2Z2/n)*(1/(j+1/2)-3/4n)] ,gdzie α to stała budowy subtelnej. Energie stanów kwantowych w atomach wieloelektronowych uzależnione są i to bardzo wyraźnie od l. Stany o takich samych energiach nazywa się zdegenerowanymi ,natomiast liczbę kilku stanów o takich samych wartościach -krotnością degradacji. Liczba wielu stanów odpowiadających konkretnemu n wynosi Σ(2l+1)=n2

W przestrzeni pędów jeden stan kwantowy zajmuje objętość: (deltap)3=(h/L)3=h3/V, gdzie V jest objętością. Można także uzyskać liczbę stanów kwantowych w jednostkowym przedziale energii, czyli gęstość widmowa stanów kwantowych . W przedziale pędów p, p+dp to jest w warstwie kulistej o objętości 4pi2*dp liczba stanów dN wynosi: dN=4pi2*dp/(deltap)3 zatem uwzględniając początkowe równanie oraz zmieniając p, dp na E,dE uzyskujemy: f(E)=dN/dE=2pi(2m)3/2E1/2V/h3. Da się także wyliczyć całkowitą liczbę stanów w przedziale od 0 do p lub E: N=(4/3)pi*p3V/h3=(4/3)pi(2mE)3/2V/h3.

61. BOZONY, FERMIONY, ZAKAZ PAULIEGO

BOZONY cząsteczki albo układy cząsteczek, które podlegają statystyce Bosego-Einsteina , tj. o spinie równym całkowitym wielokrotnościom ( = h/2π, h - stała Plancka); jądra o parzystej liczbie nukleonów, mezony, fotony.

FERMIONY cząsteczki albo układy cząsteczek podlegające statystyce Fermiego-Diraca tj. o spinie równym nieparzystej wielokrotności ( = h / 2π; h - stała Plancka): elektrony, neutrina, nukleony, hiperony, jądra atomów o nieparzystej liczbie nukleonów.

PAULIEGO ZASADA, zakaz Pauliego, główna zasada fizyki współcz., wg niej w układzie złożonym z takich samych cząsteczek o → spinie połówkowym nie może być 2 cząsteczek, które są w takim samym stanie kwantowym; w atomie nie może być więc 2 elektronów scharakteryzowanych takimi samymi liczbami → kwantowymi ; w związku z tym np. w najbliższej jądru powłoce (n = 1) mogą być jedynie 2 elektrony o przeciwnie skierowanych spinach; w miarę wzrostu liczby elektronów w atomie powinny one zajmować coraz wyższe poziomy energ., zapełniając dzięki temu następne powłoki (→ atom); zasada Pauliego wytłumaczyła prawidłowości w konstrukcji powłok elektronowych w atomie oraz wytłumaczyła strukturę subtelną oraz nadsubtelną widm atomowych.

62. ENEGRIA FERMIEGO.

Problemy fizyki klasycznej w próbach wytłumaczenia własności gazu elektronowego biorą się z tego, iż gaz elektronowy w metalu jest zwyrodniały, tzn. konieczne jest uwzględnienie własności kwantowych. Rozwiązanie kwantowe ruch elektronu przewodnictwa w metalu w najprostszej formie jest zagadnieniem cząsteczki swobodnej w studni potencjału. Jeden stan kwantowy zajmuje w przestrzeni pędów objętość h3/V, gdzie V jest objętością metalu. Stany o energii (ruchu) ε w przestrzeni pędów, tworzą powierzchnię kuli o promieniu (pędzie) p=(2*m*ε)1/2. Gdy uwzględnimy to, iż każdy stan jest dwa razy zdegenerowany z uwagi na spin elektronu, liczba stanów kwantowych elektronów, w przedziale energii dε będzie wynosić f(ε)*dε=(8πp2*dp)/(h3/v)=4πV(2m/h2)3/21/2*dε. Jako że elektron podlega zakazowi Paulego, nawet w zerze bezwzględnym będzie zajętych kilka najniższych stanów kwantowych, by wszelkie elektrony mogły się pomieścić. Jeśli w metalu jest N elektronów, to jest zajęta kula pędów o promieniu pF takim, by w jej objętości zmieściło się N/2 komórek h3/V. Czynnik dwa wynika ze spinu. W 0°K elektrony zajmują wszelkie najniższe stany, czyli N=24/3π*(pF)3*(V/h3), pF=(h/2)*(3N1/π)1/3, F0=(pF)2/(2m)=(ħ2/2m)*(3π2N1)2/3 są zajęte wszelkie stany aż do energii F0 nazywanej energią Fermiego. Ponieważ gęstości elektronów N1 w metalach są rzędu 1022 cm-3 wartość F0 to kilka eV. Odmiennie zatem, aniżeli w fizyce klasycznej , nawet w 0°K elektrony przewodnictwa posiadają duże energie ruchu. Cechując energię Fermiego bardzo prosto możemy stwierdzić, iż jest to konieczna energia ruchu wynikła z ciasnego upakowania elektronów. Istotnie średnia odległość pomiędzy elektronami, a zatem przedział położeń elektronu równa się N1-1/3, Z zasady nieokreśloności Heisenberga wynika p≥h*N11/3, albo energia ε≥h2 N12/3/2m≈4*F0. Obsadzenie stanów kwantowych przez elektrony definiuje statystyka Fermiego-Diraca. W temperaturach wyższych od 0°K występuje tylko niewielkie rozmycie rzędu kT energii widma obsadzonych stanów w okolicy energii Fermiego. Równanie na energię F, dla której statystyka jest równa ½, gdy kT jest znacznie mniejsze od F0; F= F0[1-(π2/12)*(kT/F0)2]. Tę energię także nazywamy energią Fermiego; odpowiada ona położeniu potencjału chemicznego, nazwanego w takich przypadkach poziomem Fermiego.

63. DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI.

1) prawa, które stanowią podstawę termodynamiki, definiuje się kilkoma metodami. I zasada termodynamiki jest prawem zachowania energii dla układów termodynamicznych; wg tego prawa, jeżeli nie ma transportu masy, przyrost energii wewn. δU układu w jakimkolwiek procesie jest równy sumie ilości ciepła Q, które doprowadzane jest do układu, i pracy A , jaka została wykonana nad układem podczas tego procesu: δ U = Q + A. We współcz. ujęciu termodynamiki I zasadę termodynamiki traktuje się jako postulat istnienia energii wewn.; z I zasady termodynamiki wynika niemożność skonstruowania → perpetuum mobile pierwszego rodzaju.

2) II zasada termodynamiki definiuje nieodwracalność procesów makroskopowych, które przebiegają ze skończoną prędkością. W zdefiniowaniu W. Thomsona (1851) zasada ta brzmi: jest niemożliwe pobieranie ciepła tylko z jednego źródła (termostatu) i zamiana go na pracę bez wprowadzania innych zmian w układzie oraz otoczeniu. We współcz. termodynamice II zasadę termodynamiki określa się jako prawo wzrostu → entropii : w układzie odosobnionym wszelkie procesy zachodzą tak, iż entropia układu rośnie; z II zasady termodynamiki można wyciągnąć wniosek, że nie możliwe jest skonstruowanie perpetuum mobile drugiego rodzaju.

3) III zasada termodynamiki, tzw. zasada Nernsta-Plancka mówi, iż entropia ciała zbliża się do zera, wówczas gdy temperatura tego ciała zbliża się do zera bezwzględnego; pierwotnie określona w 1906 przez W.H. Nernsta; ostateczną formę nadał jej 1912 M. Planck; wynika z niej, że nie możliwe jest osiągnięcia zera bezwzględnego.

Czasami do zasady termodynamiki zaliczyć można tzw. zerową zasadę termodynamiki, w myśl której dwa ciała, które znajdują się w równowadze cieplnej z trzecim ciałem są również w równowadze cieplnej pomiędzy sobą; z zasady tej wynika, iż warunkiem równowagi cieplnej układu fiz. jest równość temperatury wszelkich ciał, które należą do tego układu. IV zasada termodynamiki jest niejednokrotnie nazywana zasadą → Onsagera.

64. POMPA CIEPLNA.

POMPA CIEPLNA, pompa ciepła, pompa grzejna, maszyna do przenoszenia ciepła (tak samo jak w obiegu chłodniczym, → termodynamiczny obieg) ze źródła o niższej temperaturze (np. powietrza zewn., wody jeziora, gruntu) do ośrodka o wyższej temperaturze (np. mieszkania); wyróżnia się pompy cieplne sprężarkowe (które pobierają energię mech.) oraz absorpcyjne (pobierające ciepło); pompy cieplne wykorzystuje się do ogrzewania jednego ośrodka przy jednoczesnym chłodzeniu innego (np. w klimatyzacji, destylacji wody, ogrzewaniu mieszkań). Wykorzystanie pompy cieplnej daje możliwość zastosować → ciepło odpadowe. Pierwsze wiadomości na temat ewentualnego użycia pomp cieplnych do ogrzewania podał W. Thompson. Aktualnie na świecie używa się ponad kilkadziesiąt milionów pomp cieplnych.

65. STATYSTYCZNY OPIS RÓWNOWAGI TERMODYNAMICZNEJ

Jeśli posiadamy N molekuł, gdzie każda posiada stopni swobody oraz mieszczą się one w stanie równowagi termodynamicznej ponieważ liczba mikrostanów całego układu o energiach mniejszych od U=εiN wynosi Φ(U)=ϕiN ,U-energia wewn ukł. Liczba Φ(U) jest ogromna, jeżeli np. obraną osią jest skala energii układu to poziomy energii stanów kwantowych całego układu byłyby ułożone bardzo gęsto. Odległości pomiędzy tymi poziomami byłaby znacznie mniejsza od nieokreśloności dU energii wewnętrznej układu. Za liczbę stanów kwantowych Ω układu możemy wówczas przyjąć liczbę stanów kwantowych układu w przedziale naturalnego rozmycia energii układu dU: Ω(U)=(∂Φ/∂U)*δU=ϕiN-1(dϕ/dε)δU lub lnΩ(U)=iN*lnϕ; Jeśli W jest prawdopodobieństwem określonego stanu makroskopowego układu to jest ono równe W=Ω/Ωt ,gdzie odpowiadająca danemu stanowi liczba stanów kwantowych, natomiast Ωt -wszelkie ewentualne stany kwantowe jakiegoś układu w konkretnych warunkach. Stan równowagi termodynamicznej jest stanem dla którego W uzyskuje maksimum. Jeśli posiadamy dwa układy: układ A o energii U oraz układ A' o energii U' to układy razem utworzą nam układ A^ o energii U^=U+U' odizolowany od zewnętrznych wpływów tzn. U^ i Ωt + są wielkościami stałymi. Prawdopodobieństwo, iż układ A posiada energię U jest dane równaniem W(U)= Ω(u)^/Ωt^=const*Ω^(U), gdzie Ω^(U)-liczba stanów kwantowych całego układu A^. Równanie to da się przedstawić w uprostrzonej formie : lnW(U)=const+lnΩU)+lnΩ'(U^-U). Stanowi równowagi termodynamicznej odpowiada maksimum W: ∂(lnW)/∂U=0. Przekształcając (∂U=-∂U') [∂(lnΩ)/∂U]V =[∂(lnΩ')/∂U']V .Warunek stałej objętości wynika z faktu, iż układy są tylko w kontakcie cieplnym natomiast ich objętości są stałe. Wówczas Ω jest tylko funkcją U. Pochodna (∂(lnΩ)/∂U przy stałej objętości jest wielkością charakterystyczną dla układu oraz w równowadze termodynamicznej posiada taką samą wartość dla wszelkich podukładów kontaktujących się cieplnie. Zatem temperatura jest wielkością, której wartość zostaje taka sama we wszelkich częściach układu czyli [∂(lnΩ)/∂U]V=1/(kT); k-stała Boltzmana, kT=(ε-ε0)/α. Ostatnie równ. wyraża zasadę ekwipartycji energii.

66. ENTROPIA.

Właściwości: Jeżeli pewien układ pobiera w temp. T ilość ciepła delta Q to przyrost entropii układu równa jest dS=deltaQ/T, w jakimkolwiek procesie termodynamicznym przyrost entropii układu odosobnionego jest dodatni albo wynosi zero ds.>=0 przy czym znak nierówności odnosi się do procesów nieodwracalnych, natomiast znak równości do procesów odwracalnych, entropia układu, który złożony jest z kilku niezależnych części równ jest sumie entropii tych części.

Jesteśmy w stanie podjąć próbę obliczenia skończonej zmiany entropii układu deltaS=deltaQ/T przy skończonej wymianie ciepła, np. gazu w cyklu Carnota. Ciepło kest wymieniane tylko w procesach izotermicznych, zatem zmiana entropii w procesie 1 w 2 sprowadza się do zmiany deltaQ1/T1 w procesie 1 w 1' oraz tak samo jest z procesem 2 w 1. Całkowita zmiana entropii gazu po pełnym cyklu (odwracalnym ) wynosi : deltaS(1 w 2 w 1)=deltaS(1 w 2) +delatS(2 w 1)=deltaQ1/T1-deltaQ2/t2=0. Jeżeli w procesie kołowym zmiana entropii układu jest równa zeru, to entropia jest jednoznaczna funkcja stanu analogicznie jak inne funkcje termodynamiczne posiadające tę własność. Tak samo zatem do formy zapisu I zasady termodynamiki różniczkowy zapis zmiany entropii przedstawia się następująco: ds.=rozniczkaQ/T. W układzie odizolowanym, jeśli biegną pewne procesy termodynamiczne to są nieodwracalne, entropia wzrasta aż układ uzyska stan równowagi termodynamicznej procesy ukierunkowane zanikają entropia ma wartość największą. Ogólny wzór na zmianę entropii w zjawisku odwracalnym: dS=n*Cv*dT+T*(rozniczkap/rozniczkaT)v*dV.

67. ROZKŁAD KANONICZNY GIBBSA

Jeśli posiadamy dwa układy :układ A o energii U oraz układ A' o energii U' jak również dodatkowo założymy, iż układ A' jest znacznie większy od układu A. Prawdopodobieństwo, iż układ jest w stanie kwantowym j wynosi W(j).Oczywiście wówczas Ω=1.Natomiast U'=U^-Uj gdzie Uj jest energią układu A w stanie kwantowym j. Jako, że Uj<j)= lnΩ'(U^)-(∂lnΩ'/∂U')Uj=lnΩ'(U^)-Uj/(kT). lnΩ' (U') jest wielkością stałą zatem ostatecznie otrzymujemy W(j)=C*exp(-Uj/(kT))=(1/Z)*exp(-Uj/kt). Jest to tzw. rozkład kanoniczny Gibbsa (1901r) W(j) jest prawdopodobieństwem iż układ w stanie równowagi termodynamicznej jest w stanie kwantowym j. C-stała; T-temp. otoczenia, z którym układ kontaktuje się cieplnie. Rozkład kanoniczny Gibbsa odnosi się do układu makroskopowego gdyż zakładamy iż stany kwantowe kontaktujących się ze sobą układów A oraz A' są statystycznie niezależne. W dodatku zakładamy, iż układ A' jest znacznie większy od A.

68. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA BOLTZMANA

Ciekawym tematem jest również zagadnienie w jakich warunkach rozkład kanoniczny Gibbsa można odnieść do pojedynczej cząsteczki, gdy prawdopodobieństwo iż cząsteczka jest w wybranym stanie kwantowym j nie zależy od stanu kwantowego reszty układu, zatem od stanu innych cząsteczek w układzie. Tak jest gdy dozwolona liczba stanów kwantowych jakie posiada do dyspozycji jedna cząsteczka w układzie jest znacznie większa od liczby cząsteczek. Liczba stanów kwantowych uzależniona jest od przedziałów pędów δpX , δpY i δpZ cząstki wg wzoru δΩ=V(δpX+δpY+δpZ)/h3 gdzie h=6.6*10-34 Js jest stałą Plancka. Energia kinetyczna w przybliżeniu wynosi kT zatem pęd cząsteczki będzie wynosił sqrt(mkT),przedziały pędów δpX =δpY=δpZ są równe pędowi cząsteczki stad warunek aby liczba cząsteczek była znacznie mniejsza od liczby stanów kwantowych jednej cząsteczki N/V=N1<<((mkT)3/2)/h3 . Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich prawie aby substancji oraz ich stanów skupienia w warunkach ziemskich. Tak więc w przypadkach spełniających daną nierówność równanie na kanoniczny rozkład Gibbsa można wykorzystać ponieważ suma prawdopodobieństw W(j) po wszystkich dozwolonych stanach kwantowych musi wynosić 1. Równanie to możemy zapisać w formie: W(j)=(1/z)exp(-εj/(kT)); εj -energia cząsteczki w stanie kwantowym j, Z=Σ{j} exp(-εj /(kT))-suma stanów. Równanie to nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa Boltzmana(1877r).Jeśli w układzie posiadamy N cząsteczek to średnia liczba cząsteczek w stanie kwantowym j wynosi: nj=NW(j)=NZexp(-εj/(kT))=exp((kTlnN-kTlnZ-εj/(kT)); kTlnN-kTlnZ=μ jest potencjałem chemicznym cząsteczki. W rezultacie mamy nj=exp((μ-εj)/(kT)).Jest to tzw statystyka Boltzmana wzór na średnią liczbę cząsteczek w stanie kwantowym.

69.STATYSTYKI KWANTOWE

Statystyki to średnie obsadzenie stanów n=ni/gi, gdzie ni to liczba cząsteczek w stanach o energii ei, a gi to waga statyczna albo stopień zdegenerowania poziomu energii ei.

W rezultacie statystyka Fermiego-Diraca (F-D) definiująca fermiony ma następującą formę: nf=1/(e(e-ni)/kT+1). Statystyka ta odgrywa istotną role w zdefiniowaniu elektronów przewodnictwa w metalu oraz elektronów w atomie. W tej statystyce przyjęło się określać potencjał chemiczny poziomem Fermiego. Prosto podsumować, iż w zerze bezwzględnym obsadzenie stanów jest równe jeden dla wszelkich energii niższych od poziomu Fermiego cząsteczki oraz równe zero dla wyższych. Druga statystyka Bisego-Einstaina (B-E) definiująca bozony: nb=1/(e(e-ni)/kT-1). W tej statystyce potencjał chemiczny nie może być dodatni.. We wzorach n jest średnia liczba cząsteczek w jednym stanie kwantowym, którego energia równa się e.

Wszystkie układy fizyczne w stanie równowagi posiadają najniższą z możliwych energii. W atomie elektrony ułożone są na przeróżnych podpoziomach. Sprawę tę wytłumaczył Pauli. Zdefiniował on prawo (Zakaz Pauliego),które mówi, iż w atomie nie może być więcej aniżeli jeden elektron w jednym stanie kwantowym. Ogólnie to prawo uzyskujemy tzw. statystyki kwantowe. Cząsteczki elementarne podzielić na dwie grupy ze względu na wartość spinu. Cząsteczki ze spinem połówkowym s=1/2(elektron, proton, neutron) nazywa się fermionami. Cechą charakterystyczną tej grupy jest zasada, iż w układzie, w jednym stanie kwantowym mogą być co najwyżej jedna cząsteczka danego rodzaju. Cząsteczki ze spinem całkowitym tworzą drugą grupę (foton=1,mezon s=0). nazywa się je bozonami. Są w stanie one gromadzić się w jednym stanie kwantowym w jakiej chcą ilości oraz im więcej jest cząsteczek w jednym stanie tym większe jest prawdopodobieństwo przejścia do tego stanu pozostałych cząsteczek. Jeśli liczba cząsteczek jest znacznie mniejsza od liczby dozwolonych stanów kwantowych to i tak zajęcie pojedynczego stanu przez więcej aniżeli jedną cząsteczkę jest mało prawdopodobne. Gdy liczba cząsteczek jest porównywalne z liczbą dozwolonych stanów kwantowych mówimy wtedy o gazie zdegenerowanym, należy wtedy uwzględnić specjalne prawa jakimi rządzą się fermiony oraz bozony. Równania na średnią liczbę nj cząsteczek w pewnym stanie kwantowym j, czyli tzw. statystyki kwantowe (uzyskujemy je definiując entropię w zdefiniowanym wyżej przypadku oraz uwzględniając warunek maksimum entropii w równowadze termodynamicznej): a) fermiony (statystyka Fermiego-Diraca) nF=1/(exp((ε-μ)/(kT))+1);b)bozony (statystyka Bosego-Einsteina) nB=1/(exp((ε-μ)/(kT))-1); εj-energia cząsteczki ij-tym stanie kwantowym; F,μ-potencjał chemiczny cząsteczek(F-energia Fermiego).Gdy (ε-μ) są znacznie większe od kT jedynki w mianowniku możemy pominąć we wzorach i oba przechodzą w statystykę Boltzmana. μ powinno być wielkością ujemną albo co najwyżej =0.Gdy μ=0 zmiana liczby cząsteczek nie zmienia wartości potencjału termodynamicznego Gibbsa, który w równowadze termodynamicznej jest we wszelkich częściach układu jednakowy. Dlatego nie obowiązuje zasada zachowania liczby cząsteczek tego typu.

70.71. RUCH CIEPLNY. FLUKTUACJE CIEPLNE.

Fluktuacje cieplne. W 1827 biolog Brown odkrył pod mikroskopem ruchy mikroskopijnych obiektów zawieszonych w wodzie, które przypominały ruchy mikroskopijnych organizmów żywych. Dopiero Einstein oraz polski fizyk Smoluchowski wyjaśnił to zjawisko w 1905.Były to po prostu ruchy cieplne mikropyłku. Prawa tego ruchu są takie same jak pojedynczej molekuły gazowej. Pyłek taki bombardowany z przeróżnych stron molekułami gazu wykonują chaotyczne przesunięcia takie same jak pojedyncza molekuła. Jego średnia energia ruchu równa jest (3*K*t)/2,natomiast średni kwadrat przesunięcia x2=(k*T*t)/(3πηr).Wzór ten poprawnie definiuje wyniki obserwacji ruchów Browna. Ruchy B. są jednym z przykładów tzw. fluktuacji cieplnych nazywanych także szumami cieplnymi. Ograniczają one w sposób naturalny czułość urządzeń pomiarowych. Wszystkie urządzenia mechaniczne cechują się stałą sprężystości układu α. Ponieważ zmniejszanie sprężystości α układu posiada swoje granice z uwagi na górny zakres urządzenia oraz jego bezwładność czasową, czułość możemy powiększać przez obniżanie temperatury. W praktyce kłopot szumów cieplnych jest w miernikach elektronicznych, gdzie tylko szumy cieplne ograniczają czułość maszyn. Ich źródłem są drgania cieplne jonów w sieci krystalicznej oraz ruchy cieplne elektronów przewodnictwa w przewodach elektrycznych, oporach oraz innych fragmentach obwodów elektrycznych. Powoduje to utworzenie "szumowych" krótkotrwałych impulsów napięcia w kształcie "szpilek". Napięcie szumów można uważać za zbiór przebiegów harmonicznych

o wszelkich częstotliwościach od oscylatorów elektrycznych drgających cieplnie. Jako, że energia drgań cieplnych jest kT, identyczna energia jest przekazywana w jednostce czasu, natomiast jeśli układ elektryczny przenosi pasmo częstotliwości δv to tyle jest oscylatorów. Moc szumów cieplnych Psz wynosi Psz=K*t*δv. Jest również ruch cieplny rotacyjny. Molekuły dokonują chaotyczne obroty. Zależność na średnią wartość sinusa wypadkowego kąta obrotu υ w czasie t: sin2υ=(2/3 )*(1-e^(-6Drot*t)), Drot - wsp. dyfuzji w ruchu obrotowym. Gdy czas jest ogromny wówczas sin2υ=2/3. Dla 6Drotδt<<1 sin2υ<=1 i δυ2=4Drot*t. Jeśli molekuła jest dipolem elektrycznym, to zewnętrzne pole el. wymusza orientację dipoli w kierunku pola, natomiast to wiąże się z polaryzacją P ośrodka. Polaryzacja P jest wprost proporcjonalna do zgodnej orientacji wszelkich dipoli. Gdy polaryzacja równała się P, natomiast w czasie δt jest średnio obrót dipoli o kąt δυ to nowa wartość polaryzacji od wartości p. maleje do Pcos(δυ) czyli jego zmiana równa się dP=-P*(1-cos(δυ))=-2*Drot*P*δt; 2*Drot=1/τ; P=P0*e^(-t/τ). τ- czas relaksacji dipolowej a całe zjawisko nazywane jest relaksacją dipolową. Według wzoru Stokesa moment siły oporu Mop kulki o promieniu r kręcącej się z prędkością kątową σ w ośrodku o współczynnik lepkości η wynosi Mop=8Πηr3σ; Drot=kT/(8Πηr3); τ=(8Πηr3)/(2kT).

72. ENERGIA WIĄZANIA JĄDER ATOMOWYCH.

ENERGIA WIĄZANIA, energia, jaką należy dodać układowi fiz. (np. cząstce, jądru atom.), by podzielić go na poszczególne składniki. Wielkość e.w. pokazuje, jak silnie jest związany układ, a tym samym jak jest on trwały - uzależniona jest ona od typu sił powodujących wiązanie; e.w. atomów w cząstce (wiązanie chem., siły elektrostat.) jest stosunkowo niewielka, rzędu eV; e.w. nukleonów w jądrze atom. (siły jądr.) jest ogromna, rzędu MeV (od kilku MeV dla najlżejszych jąder, do ponad tysiąca MeV dla jąder ciężkich). E.w. układów fiz. decyduje o przebiegu procesów, gdzie one występują; np. e.w. poszczególnych jąder decyduje o przebiegu przeróżnych procesów jądr., zwł. procesów, na których opiera się aktualna (rozszczepienie jąder) oraz przyszła (synteza jąder) energetyka jądrowa. E.w. układu jest proporcjonalna do niedoboru _ masy _m tego układu oraz zgodnie z relatywistycznym związkiem pomiędzy masą a energią wyrażona jest następującym wzorem: E = _mc2 (c - prędkość światła w próżni).

73. SYTUACJA ENERGETYCZNA NUKLEONÓW W JĄDRZE.

W kropelce cieczy z uwagi na bliski zasięg sił Van der Waalsa przyciągania pomiędzy molekułami gęstość kropelek jest stała-niezależna od rozmiarów kropel i energia wiązania przypadająca na jedną molekułę również jest stała. Te cechy występują w jądrze. W oparciu o model kroplowy jądra, uwzględniający dodatkowe specjalne własności jądra zdefiniowano zależność EW/A od A. Najpierw zakładamy, iż EW/A jest równa stałej a1. Później będziemy wprowadzać poprawki. Na początek odejmujemy energię napięcia powierzchniowego a2*A-1/3, następnie odejmujemy energię odpychania elektrycznego protonów (a3*Z2)/A4/3. Następna poprawka opiera na tym, iż energia wiązania jest maksymalna, wtedy gdy liczba protonów jest równa liczbie neutronów, w innym przypadku energia jest mniejsza. Zatem musimy odjąć a4*((N-Z)/A)2. Końcowa poprawka uwzględnia prawidłowość, która przedstawia liczby stabilnych jąder w zależności od parzystych oraz nieparzystych wartości Z oraz N. Poprawka ma postać a5*δ/A ,gdzie δ=+1 gdy nieparzyste, nieparzyste δ=0 gdy nieparzyste, parzyste δ=-1 gdy parzyste, parzyste. Wartości stałych a1..a5 dobrano tak, by wzór dobrze definiował zależność empiryczną, a zatem w końcu otrzymujemy Ew/A [MeV]=14-13*1A-1/3-0.6(Z2)/A4/3-19((N-Z)/A)2-130δ/A. Można zobaczyć maksima tej zależności dla wartości Z oraz N wynoszących 2,8,20,28,50,82,126 są to tzw. liczby magiczne. Zauważyć można również, iż objętość jądra jest dołem energii potencjalnej dla nukleonów. Na zewnątrz protony są odpychane, neutrony nie. Wysokość Uc(R) zrasta razem ze wzrostem jądra. Wewnątrz jądra nukleony są w stanie przebywać w stanach kwantowych z konkretnymi skwantowanymi wartościami energii kinetycznej. Neutrony oraz protony w stanie podstawowym jądra zajmą wszelkie dostępne najniższe stany energetyczne aż do poziomu energii Fermiego Ef, której wartość jesteśmy w stanie wyrazić Ef=h2/(2*M)*((3/8)*N1/Π)2/3 gdzie M-masa neutronu lub protonu, N1-gęstość nukleonów N1=Z/((4/3)*P*r03*A) dla protonów i w miejsce Z jest N dla neutronów. Nukleony są w stanie znaleźć się w stanach o energii kinetycznej większej od Ef mówimy wtedy o wzbudzeniu energetycznym jądra.

Drugim modelem jądra atomowego jest model powłokowy. Występowanie liczb magicznych, tj. liczb protonów oraz neutronów, którym odpowiada ogromnie duża energia wiązania i kształt kuli przywodzą na myśl analogię z atomami gazów szlachetnych, gdzie są zamknięte powłoki elektronowe. Promieniowanie gamma jąder ma widmo liniowe, charakterystyczne dla konkretnego typu jąder. Dowodzi to występowania dyskretnych stanów wzbudzonych jąder. A zatem protony oraz neutrony w jądrze są w stanach kwantowych tak samo jak elektrony w atomie. Model powłokowy ruchu protonów oraz neutronów nie jest sprzeczny z modelem kroplowym.

74.75. MODEL ROZPADU ALFA JĄDRA ATOMOWEGO; CHARAKTERYSTYKA I WARUNKI ENERGETYCZNE ROZPADÓW BETA

W środowisku są jądra nietrwałe. Nazywa się je promieniotwórczymi jako, iż rozpadowi towarzyszy wysyłanie cząsteczek oraz możliwe promienie gamma. Iloczyn λ*δt gdzie λ-stała szybkość rozpadu, jest prawdopodobieństwem rozpadu w czasie dt pod warunkiem, że λ*δt<=1. Zależność N=N0*exp(-λ*t) definiuje ilość zostających radioaktywnych atomów po czasie t. Czas, w którym rozpada się połowa atomów nazywa się półokresem rozpadu oraz definiowane jest jako T1/2=ln(2/λ). Wielkością cechującą substancję jest tzw. radioaktywność, czyli szybkość rozpadów δN/δt gdzie δN-liczba rozpadów w czasie dt, jest ona równa δN/δt=λ*N. Jednostką radioaktywności jest 1Bq (bekerel). Rozpad promieniotwórczy jądra jest zdarzeniem losowym. Prawdopodobieństwo n rozpadów w czasie t jest zdefiniowane rozkładem Bernoulliego P(n,t)=(N0 nad n)*pn*(λ-p)^(N0-n) gdzie p=exp(-λ*t). Jeśli λ*t<=1 a tak jest bardzo często, to rozkład upraszcza się do rozkładu Poissona P(n,t)=(not(n)^n*exp(-not(n)))/n! (not(n)-n z kreską nad sobą) gdzie not(n)=No*λ*t jest średnią liczbą rozpadów w czasie t. Kwadrat średniego odchylenia standardowego rozpadów równa się δ2=not(n). Jeśli not(n)>=30 rozkład prawdopodobieństwa Poissona można zastąpić rozkładem Gaussa. Rozkład promieniotwórczy jądra jest wyrazem naturalnej tendencji uzyskania przez jądra minimalnej energii potencjalnej tj. maksymalnej energii wiązania.

ROZPAD ALFA: Są dwie metody rozpadu alfa . W rozpadzie alfa z jądra wysyłana jest cząsteczka złożona z dwóch protonów oraz dwóch neutronów 4 2 He (hel u góry cztery na dole dwa). Energia kinetyczna cząsteczki jest równa ułamkowi Mk/Mp całkowitej energii wyzwolonej w rozpadzie (Mk-max. końcowa, Mp-początkowa). Cząsteczka alfa w obszarze jądra jest pod działaniem sił przyciągania, zatem jest w obszarze dołu energii potencjalnej, natomiast całkowita energia cząsteczki Ealfa jest dodatnia. Przyjmujemy, iż cząsteczka jest zamknięta w pudle o wymiarach 2*R oraz przemieszcza się z prędkością v0 tak, iż odbija się od brzegów jądra, to przy każdym dojściu do brzegu jądra z prawdopodobieństwem równym przezroczystości bariery T=exp{(-2/h)*całka od R0 do Rx z (sqr(2*mj*[U(r)-E]) dr)} (h- przekreślone h) cząsteczka alfa jest w stanie wydostać się z jądra. Ponieważ próby takie powtarzają się w odstępach czasu 2*R0/v0, zatem całkowite prawdopodobieństwo ucieczki ząsteczki alfa z jądra w odstępie czasu dt jest T*v0*δt/(2*R0), natomiast z definicji wynosi ono λ*δt, więc λ=T*v0/(2*R0)+(8/h)*sqr(exp(2)*mj*(Z-2)*R)-(2*Π*exp(2)/h)*sqr(2*mj/Ealfa)*(Z-2) (h-przekreślone h). W pierwszym wyrazie po prawej stronie wielkość v0/(2*R0) mało się zmienia dla przeróżnych jąder oraz możemy przyjąć jej wartość stałą=1021 [1/s]. Drugi wyraz z uwagi na (Z-2) jest także mało zmienny oraz jego wartość przyjmujemy 75. Tak samo w trzecim wyrazie zmienność (Z-2) da się pominąć. Wyraz ten możemy zapisać 340/(E/Mev)1/2. Ostatecznie log(T1/2 s-1)=148/sqr(Ealfa/MeV)=53,6 (T1/2-T jedna druga).Jest to związek pomiędzy półokresem a energią cząsteczki alfa.

ROZPAD BETA. Ta metoda rozpadu jądra jest o wiele bardziej złożona. Polega na przemianie jądrowej jednego z nukleonów w jądrze, w tzw. oddziaływaniu słabym jądrowym. Rozpad ten jest możliwy trzema metodami : beta-, beta+, wychwyt K. W pierwszym z nich jeden z neutronów n rozpada się na proton p, elektron beta- oraz antuneutrino elektronowe νe (νe-wektor ). Można to napisać równaniem n-> p + beta- + νe. Cząsteczka beta- oraz antyneutrino wydostają się z jądra. Masa spoczynkowa neutrina jest=0, przemieszcza się ono z prędkością światła, nie ma ładunku elektrycznego. Oddziaływanie neutrina z pozostałymi cząsteczkami, albo ogólnie z materią jest bardzo słabe. Dlatego cząsteczka ta jest ogromnie przenikliwa oraz bardzo trudno ją zarejestrować. Oprócz neutrin elektronowych są jeszcze neutrina mezonowe. W rozpadzie beta- różnica energii atomu początkowego M(Z,N)*c2 oraz końcowego M(Z+1,N-1)*c2 jest rozdysponowana na energię kinetyczną elektronu beta- oraz energię neutrina. Łączna wartość tych energii jest energią rozpadu Ebeta. Atom końcowy posiada o jeden elektron więcej aniżeli atom początkowy, w związku z tym energia spoczynkowa utworzonego elektronu beta- jest uwzględniona w bilansie energii. Dlatego energetyczny warunek rozpadu beta- jest następujący c^2*(M(Z,N)-M(Z+1,N-1))=Ebeta. W rozpadzie beta+ proton rozpada się na neutron, pozyton oraz neutrino elektronowe p-> n + beta+ + νe. Warunek energetyczny w rozpadzie beta+ (są dodatkowo dwa elektrony, not(e) z atomu oraz beta+ z jądra) (not(e)-e z kreską nad sobą) c2*(M(Z,N)-M(Z-1,N+1))=2*m*c2 + Ebeta. Jeśli różnica mas jądra początkowego oraz końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu to rozpad jest niemożliwy. Trzeci z rozpadów, wychwyt K jest procesem konkurencyjnym w stosunku do beta+. Polega on na tym, iż jeden z elektronów powłoki K w atomie (rzadziej z powłoki L) jest wychwytywany przez proton w jądrze oraz przebiega reakcja e- + p ->n + ve. W rezultacie z jądra wydostaje się jedynie neutrino. W wychwycie K (również beta+) nowe jądro posiada liczbę atomową o jeden mniejszą od jądra wyjściowego. Jeśli różnica mas jądra początkowego oraz końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu, ewentualny jest tylko wychwyt K, bo w tym rozpadzie c2*(M(Z,N)-M(Z-a,N+1))=Ek. Jako, że w rozpadach beta- oraz beta+ jądro początkowe rozpada się na trzy elementy-jądro końcowe, cząsteczkę beta oraz neutrino, ze względu na zbilansowanie energii kinetycznych oraz pędów rozbiegających się cząsteczek widmo energii cząsteczki beta jest ciągłe od zera do Ebeta. W wychwycie K wysyłane jest jedynie neutrino bardzo trudno rejestrowane, na szczęście występuje wtórny efekt. Po wychwycie elektronu z powłoki K albo L następuje skok na zwolnione miejsce elektronu z wyższej powłoki oraz wysyłany jest kwant promieniowania rentgenowskiego charakterystycznego.

PROMIENIOTWÓRCZY ROZPAD, przemiana promieniotwórcza, promieniotwórczość, radioaktywność, samorzutna przemiana jądra atom., której towarzyszy wysyłanie promieniowania jądrowego. Wysyłaną cząsteczką promieniowania mogą być: foton (rozpad γ), elektron albo para elektron-pozyton (konwersja wewn.), elektron albo pozyton jak również antyneutrino albo neutrino (rozpad β), nukleon albo jądro (rozpad protonowy, rozpad α, rozpad egzotyczny, rozszczepienie). Jedynie w jednym z wcześniej opisanych przypadków cząsteczka (elektron konwersji wewnętrznej) jest wysyłana nie od razu z jądra, ale z powłoki elektronowej. W wyniku wysyłania z jądra AZX (A - liczba masowa równa jest liczbie nukleonów w jądrze, Z - liczba porządkowa równa jest liczbie protonów w jądrze) elektronu tworzy się jądro AZ+1X, pozytonu - jądro AZ-1X, wychwytu elektronu - także jądro AZ-1X, rozpadu protonowego - jądro A-1Z-1X, zaś rozpadu α - jądro A-4Z-2X. Rozpad promieniotwórczy może zachodzić na skutek oddziaływania słabego, elektromagnet. albo silnego. Rozpad promieniotwórczy jest procesem statystycznym. Jest określone prawdopodobieństwo wynoszące λ (λ stała rozpadu, charakterystyczna dla konkretnego jądra oraz stanu, gdzie się ono znajduje), iż jądro rozpadnie się w jednostkowym czasie. Doprowadza to do wykładniczego prawa rozpadu: N(t) = N0e- λt, gdzie N(t) i N0 - odpowiednio liczba jąder promieniotwórczych w chwili t i w chwili początkowej t = 0. Aktualnie jest znanych ponad 1800 przeróżnych nuklidów promieniotwórczych, w tym tylko ok. 50 następuje metodami naturalnymi w naszym środowisku (promieniotwórczość naturalna; → promieniotwórcze rodziny); pozostałe są produkowane sztucznie w reakcjach jądrowych. Promieniotwórczość naturalną wykrył 1896 A.H. Becquerel, który dowiódł, iż przeróżne związki uranu wywołują zaczernienie emulsji fot.; systematyczne analizy tego zjawiska podjęte przez M. Skłodowską-Curie oraz P. Curie doprowadziły do stwierdzenia promieniotwórczości toru i odkrycia 1898 nowych promieniotwórczych pierwiastków: polonu i radu. Dalsze prace nad promieniotwórczością doprowadziły do wyróżniania 3 składowych promieniowania: α, β oraz γ (E. Rutherford, P. Villard i in.) i ich identyfikacji (Becquerel, S.T. Meyer, E. von Schweidler, Rutherford, T. Royds), a następnie do stwierdzenia, iż zanik aktywności substancji promieniotwórczej w czasie ma charakter wykładniczy (Rutherford, F. Soddy). Sztuczną promieniotwórczość (β+) wykryli 1934 I. Joliot-Curie oraz F.J. Joliot-Curie.

76. REAKCJE JĄDROWE ROZSZCZEPIENIA

W roku 1939 odkryto zjawisko rozszczepienia jąder uranu bombardowanych neutronami. Rozszczepiają się pewne ciężkie izotopy po pochłonięciu neutronu. Rezultatem rozszczepienia są dwa fragmenty ze środka tablicy pierwiastków. Utworzone elementy są na ogół radioaktywne. Jako, że średnio energia wiązania jąder ze środka tablicy pierwiastków jest o 1 MeV/nukleon większa od jąder ciężkich wyzwolona jest energia rzędu 200 MeV. Mechanizm rozszczepienia: Jądro po pochłonięciu neutronu jest wzbudzone o około 5 albo więcej MeV. Wzbudzona kropelka materii jądrowej pulsuje. W procesie tym wydłużenie kształtu jądra dzięki efektowi tunelowemu może być tak ogromne , iż siły odpychania kulombowskiego pomiędzy dwoma elementami , na które można wówczas podzielić jądro , przewyższą siły przyciągania jądrowego, które są bliskiego zasięgu. W aktach rozszczepienia istotną okolicznością jest utworzenie się neutronów. Ta okoliczność powoduje reakcję lawinową , która jest podstawą wyzwalania energii jądrowej. Ciężkie jądra rozszczepiają się też samorzutnie. Mechanizm procesu jest analogiczny jak rozszczepienia pod wpływem neutronów, tylko prawdopodobieństwa są znacznie mniejsze, gdyż bariera energii potencjalnej w pierwszym etapie rozdzielenia elementów jest znacznie większa na skutek braku wzbudzenia.

77. WAŻNE NATURALNE RADIOIZOTOPY ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKA

Radioizotopy występujące naturalnie na naszej planecie albo posiadają tak długie półokresy rozpadu , iż nie rozpadły się całkowicie od początków naszego globu , albo są stale produkowane. Najważniejsze długożyciowe radioizotopy, które występują na naszej planecie to: (legenda:p[%]-procent zawartości izotopu w pierwiastku, k[10-6]-średnia koncentracja jakiegoś pierwiastka w litosferze, T1/2-półokres rozpadu , A1-radioaktywnośćwłaściwa, n-liczba rozpadów w szeregu, r- typ rozpadu, pr- produkty rozpadu);232Th p-100 k-11,2 T1/2-1,41*1010 A1-4,05 n-47 r- alfa, beta, gamma pr-208Pb+64He ; 238U p-99,27 k-3 T1/2-4,47*109 A1-12,4 n-14 r-alfa, beta, gamma pr-206Pb+84He ; 

235U p-0,72 k-3 T1/2-7,04*108 A1-0,06 n-11 r- alfa, beta, gamma pr-207Pb+74He ; 40K p-0,0118 k-2,4*109 T1/2-1,29*109 A1-0,03 n-47 r- alfa, beta, gamma pr-40Ar, 40Ca ; 

78. PODSTAWY FIZYCZNE PRACY REAKTORA

Opis ilościowy kinetyki reakcji reaktora na neutronach powolnych jest złożony, albowiem oprócz zależności czasowo-przestrzennej gęstości neutronów powolnych , jest zależność czasowo energetyczna spowalnianych neutronów prędkich ujmowane w tzw. równanie wieku. Te złożone równania dla stanu krytycznego ,tzn. k=1 stacjonarności w czasie przekształcają się w dwa nieskomplikowane równania: ∇2n+B2n=0 , k=k*(exp(-B2*τ)/1+L2B2) τ- wiek , L - długość dyfuzji neutronów ,B - parametr. Wynikiem równań jest przestrzenny rozkład gęstości neutronów termicznych. Przeróżne kształty reaktora definiują przeróżne równania, dzięki którym jesteśmy w stanie dojść do tzw. bilansu neutronów w reaktorze. Badane są tu wszelkie możliwe wariant reakcji gdzie występują neutrony.

79. KONSTRUKCJA REAKTORA ORAZ PARAMETRY PRACY

Główne elementy konstrukcji reaktora: paliwo, moderator, materiał chłodzący, reflektor, osłona betonowa, kanały do naświetlania. Podstawową częścią reaktora jest rdzeń reaktora, gdzie występuje paliwo - słabo wzbogacony w 235U uran, winno być w niewielkich rozmiarowo elementach, by utworzyły się neutrony prędkie nie miały okazji reagować z jądrami 238U oraz jak najszybciej znalazły się w moderatorze. W moderatorze winny przebywa drogę rzędu Lt i spowolnione powinny trafić na element paliwowy, by w reakcji z 235U wywołać rozszczepienie. Paliwo jest w postaci cienkich prętów położonych równolegle do płaszczyzny rdzenia w równych odległościach , w geometrii heksagonalnej. Odległość pomiędzy prętami jest kompromisem niezbędnej drogi spowalniania Lt oraz drogi pochłonięcia L. Moderator - woda - krąży w zamkniętym obiegu transportując ciepło do wymiennika ciepła. W następnym obwodzie, w wytwornicy pary , produkowana jest para, która napędza turbinę. Poza prętami paliwowymi są pręty regulacyjne oraz awaryjne z substancji mocno pochłaniających neutrony powolne. Bardzo często stosowane są substancje to kadm oraz ind.

80. ODPADY PROMIENIOTWÓRCZE

Radioizotopy wytwarzane w reaktorze z rozszczepień oraz reakcji z neutronami posiadają półokresy rozpadu od ms do 106 lat. Ich niebezpieczeństwo jest zróżnicowane. Według przyjętych zasad postępowania z odpadami promieniotwórczymi paliwo zużyte przechowuje się wstępnie w czasie od 1 do 3 lat niedaleko reaktora , by rozpadły się wszelkie krótkożyciowe radioizotopy. Ten etap nazywany jest się studzeniem odpadów. Po tym czasie transportuje się je do miejsca składowania albo przeróbki. W wyniku przeróbki odzyskuje się 239Pu, 233U , które jesteśmy w stanie jeszcze raz zastosować. Odpady promieniotwórcze przechowuje się w zwartej oraz stałej konsystencji w szczelnych komorach specyficznie konstruowanych albo adaptowanych. Od początku lat 90 prowadzi się analizy przeróżnych technik naświetlania odpadów promieniotwórczych, w celu przekształcenia ich w paliwo , albo w izotopy nieradioaktywne, krótko żyjące. Mimo wielu kłopotów z przechowywaniem oraz zabezpieczaniem odpadów promieniotwórczych , nie ma wątpliwości , iż energia jądrowa jest na aktualnym poziomie techniki bardzo częstą technologią wyrobu energii na ogromną skalę.