Wyobraźmy sobie sytuacje, w której śrubka leży pod szafą. Jak zmierzyć jej długość? Każdy odpowie, że należy ją wyciągnąć spod szafy, wziąć linijkę, albo coś innego do pomiaru długości i ją po prostu zmierzyć. Ta banalna uwaga ma pewien sens, dzięki temu wiemy, iż przemieszczenie śrubki (czyli wyjęcie jej spod szafy w dowolnie inne miejsce) nie zmieni nam wyniku pomiaru długości. Ale musimy wiedzieć, że nie każdy pomiar ma taką własność. Chcąc znaleźć pozycję statku na morzu, czyli jego długość i szerokość geograficzną, zorientujemy się, że nie możemy zastosować podobnego sposobu, jak przy śrubce. Powyższe przykłady mówią o ciekawych stosunkach przestrzennych. Należą one do pola zainteresowań geometrii. Więc głównie chodzi o odpowiedz na pytanie, czy nie wystarczy dokonać przemieszczenia obiektu, który chcemy zbadać geometrycznie? A może Ra powinniśmy postąpić tak, że przemieszczamy, a innym razem inaczej? Skąd mamy wiedzieć kiedy przemieszczanie jest dozwolone a kiedy nie? Aby bardziej to skomplikować, zajmijmy się rozważeniem jeszcze dwóch innych przykładów. Aby dokonać pomiaru kątów wielokąta, możemy go dowolnie zmniejszać lub powiększać w zależności jak nam jest wygodniej dokonać pomiaru. Aby sprawdzić, czy skarpeta ma dziurę (dziura jest pojęciem z pola geometrii) możemy z nią robić cokolwiek, na przykład rozciągać, naciągać lub dokonywać innych deformacji, byleby nie doprowadzić do jej zniszczenia. Natomiast w wypadku śrubki, jej zdeformowanie mogłoby znacznie zaburzyć wynik pomiarów. Więc co możemy zrobić z przedmiotem, aby wyniki pomiarów nie były zafałszowane? Wydaje się, że ogólne odpowiedzenie na to pytanie nie jest możliwe. Chyba, że uznamy, że podane tutaj własności geometryczne: długość, rozwartość kąta, położenie czy posiadanie dziur nie należą do tej samej geometrii.

Podstawy geometrii

Aby badania można było nazwać nauką muszą spełnić kilka określonych warunków. Po pierwsze musi być konkretny przedmiot badania. To wiedzą wszyscy. Kolejnym warunkiem jest to, żeby były określone jednoznacznie metody badania, ponieważ ich dowolność mogłaby wpłynąć na niepoprawność wyników. Popatrzmy na taki przykład. Mamy tlen w temperaturze pokojowej, jest on gazem. To wiemy, ale jeśli wpuścimy do tego zbiornika, w którym jest tlen pewną ilość wodoru, jeżeli nie dostaniemy uszczerbku na zdrowiu, przekonamy się, że otrzymaliśmy ciecz. I tutaj jako wniosek dostajemy pewne ograniczenie metodologiczne dotyczące badania. Wiemy, że przy badaniach stanu skupienia, nie możemy być obojętni na inne czynniki, czy substancje.

Dyscyplina, która zajmuje się ustanawianiem przedmiotu badań oraz dopuszczalnych metod dla danej dziedziny nazywana jest podstawami dziedziny. Pytania, które zostały zadane we wstępie są z podstaw geometrii. Przedmiotem w naszych przypadkach są stosunki przestrzenne, natomiast jeśli chodzi o metody, to jeszcze nie odpowiedzieliśmy na to pytanie. Praca ta jest poświęcona wykazaniu, że właśnie ustalenie metod ma wpływ na ustalanie przedmiotu badania.

Program erlangeński

Na wykładzie inaugurującym rok akademicki w Niemczech na Uniwersytecie w Erlangen wybitny matematyk Felix Klein (żyjący w latach1849-1925) wykładał o geometrii. Dzisiaj stwierdzilibyśmy, że był on o podstawach geometrii. Konkretnie, jego wykład mówił jaki jest wpływ metod uprawiania geometrii na jej przedmiot. Zaproponował on rozbicie geometrii na kilka dyscyplin według zasady, że każda geometria jest wyznaczona przez zestaw metod. Na tym nie skończył, ponieważ podał również metodę jak budować takie zestawy. Jego propozycja została w późniejszym czasie powszechnie przyjęta i nazwana programem Kleina czy programem erlangeńskim. Co do zasady budowania zestawów dopuszczalnych, należy się umówić jakie przekształcenia danych obiektów są dopuszczalne a jakie nie. Aby nie dojść do sprzeczności należy przestrzegać kilku zasad:

1. Niewykonanie przekształceń (żadnych) jest zawsze dozwolone.

2. Jeśli dopuszczamy jakieś przekształcenie, musimy dopuścić również przekształcenie odwrotne do niego, alby móc wrócić do początkowego punktu.

3. Jeżeli dopuszczamy jakieś dwa przekształcenia, musimy dopuścić również przekształcenie polegające na wykonywaniu ich jedno po drugim.

Jakikolwiek zestaw przekształceń, który spełnia te zasady nazywa się grupą przekształceń. Stąd Klein zaproponował, by konkretna geometria, była wyznaczona przez wybraną grupę przekształceń dopuszczalnych.

Wniosek, który wypływa z wszystkich powyższych założeń, jest taki:

Jeżeli geometria A jest wyznaczona poprzez grupę A to obiektem badawczym geometrii A mogą zostać takie stosunki przestrzenne, które zostaną nie zmienione przez każde przekształcenie z grupy A. Takie stosunki przestrzenne są nazywane niezmiennikami grupy A. 

Stąd widzimy, że poprzez wybranie metod zostaje wyznaczony przedmiot badania.

Różne geometrie kleinowskie

Z przytoczonych zasad mamy, że istnieje taka grupa przekształceń, która jest najmniejsza. Jest nią ta, która nie dopuszcza żadnych przekształceń. Aby nie była inna od reszty grup przekształceń, brak przekształcenia będziemy oznaczać literą I oraz uważali go za przekształcenie tożsamościowe.

Dowolny stosunek przestrzenny jest uważany za niezmiennik tej grupy. Geometria I zajmuje się badaniem wszelkich stosunków przestrzennych, w szczególności położenia. Każda inna geometria nie może badać położenia, jedynie może badać jakie jest wzajemne położenie 2 obiektów. Geometrię I używają astronomowie, kartografowie, topografowie (tutaj znajduje się problem dotyczący położenia statku). Gdy zostaną dopuszczone wszelkie przekształcenia, które nie zmieniają odległości, czyli izometrię dostaniemy geometrię metryczną. Będzie ona mniej szczegółową geometrią, ponieważ niezmiennikami nie będą już położenie, czy orientacja kątów na płaszczyźnie. Tej geometrii używają inżynierowie budowlani, mechanicy, krawcy i inni.

Jeśli weźmiemy podobieństwa jako grupę przekształceń (czyli można zmieniać odległości w takim samym stosunku) dostaniemy geometrię, która była domeną matematyków takich jak Euklides czy Pitagoras. Ani odległość, ani pole nie będzie tutaj obiektem badań, ale kąty pozostaną.

Jeżeli zostaną dopuszczone wszystkie przekształcenia, które nie wykrzywiają prostych i zachowują ich równoległość czyli przekształcenia afiniczne, nie moglibyśmy badać rozwartości kątów. Ciekawym jest fakt, że wśród badanych obiektów zostałby środek odcinka.

Biorąc pod uwagę wszystkie przekształcenia, które nie rozrywają i nie sklejają obiektów (czyli homeomorfizmy) wyznaczą nam geometrię, którą nazywa się topologią (z naszych przykładów, będzie to skarpetka). Jeżeli weźmiemy wszystkie przekształcenia, które są wzajemnie jednoznaczne (czyli figury mogą być sklejane i rozrywane, ale punkty nie) wyznaczymy tym samym teorię mnogości (czyli teorię zbiorów).

Podane wyżej pojęcia można zobrazować w taki sposób: przekształcenia wszystkich powyższych grup pozwalają na nakładanie się pewnych figur, a innych nie. Te, na których można to zrobić są identyczne w odpowiedniej geometrii.

Możemy wymienić kilka podstawowych geometrii:

  • geometria położenia
  • geometria metryczna
  • geometria podobieństw
  • geometria afiniczna
  • topologia
  • teoria mnogości

Aby uniknąć nieporozumień, wyjaśnijmy kilka podstawowych zwrotów:

  • Różne geometrie nie oznaczają tylko tego co było powiedziane powyżej, ale także takim mianem określa się stosunki przestrzenne dotyczące różnych przestrzeni. W tym tekście mówiliśmy o geometriach w tej samej przestrzeni, konkretnie przestrzeni Euklidesa.
  • Powyższe przykłady geometrii zostały uszeregowane od bardzo szczegółowych do bardziej ogólnych. Ale nie da się wszystkich geometrii ustawić w takim porządku.