Zdania w logice to zdania orzekające. Mogą być one fałszywe lub prawdziwe, czyli można określić ich wartość logiczną.

Przykłady:

Łódź to stolica Polski - jest zdaniem fałszywym

Kot to ssak - jest zdaniem prawdziwym

Zdania proste mogą być połączone funktorami zdaniotwórczymi:

(lub),

(i),

(jeżeli...to...),

~ (nieprawda, że...),

dzięki temu utworzymy zdanie złożone.

Zdania proste oznaczamy: p, q, r, s,

a. ~ p oznacza: nieprawda, że p - nazywamy go zaprzeczeniem (negacją zdania).

Negacja zamienia logiczną wartość zdania w przeciwną

Przykład:

zdanie: Dzisiaj jest środa(prawda)

negacja: Nieprawda, że jest dzisiaj środa. (fałsz).

b. pq (p i q) oznacza koniunkcję zdań p oraz q.

Koniunkcja jest prawdziwa, wtedy gdy obydwa zdania są prawdziwe. W przeciwnym przypadku jest fałszywa.

Przykład:

zdanie: Warszawa to stolica Polski (prawda). Warszawa jest położona nad Wisłą (prawda), jest zdanie: koniunkcja zdań: Warszawa to stolica Polski i jest ona położona nad Wisłą.

c. pq (p lub q) oznacza alternatywę zdań p i q.

Alternatywa 2 zdań jest prawdą, jeśli co najmniej jedno zdanie jest prawdą, a fałszem, jeśli oba zdania są fałszywe.

Przykład:

zdanie: Zakopane jest położone w górach (prawda). Zakopane jest położone nad morzem (fałsz)

alternatywa zdań: Zakopane jest położone w górach albo nad morzem (prawda).

d. pq (jeżeli p to q) oznacza implikację zdań p i q. Zdanie p jest nazywane poprzednikiem implikacji, a zdanie q nazywane jest jej następnikiem.

Implikacja jest fałszywa wtedy, jeśli poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

zdanie: Dzisiaj niedziela (fałsz). Nie pójdę do szkoły (prawda),

implikacja zdań: Jeśli dzisiaj niedziela - to nie pójdę do szkoły (prawda).

Kilka praw rachunku zdań

~~

Prawa de Morgana

~

~

Prawo podwójnego zaprzeczenia.

Prawa przemienności

Prawa łączności

Prawa rozdzielności

Prawa tautologii

Kwantyfikatory:

"dla każdego x", co oznaczamy symbolem  - jest to tak zwany kwantyfikator ogólny

"istnieje x, takie że" co oznaczamy symbolem - jest to tak zwany kwantyfikator szczegółowy

Przykłady:

x20 (dla każdej liczby rzeczywistej x - kwadrat tej liczby jest nieujemny).

x2=4 (istnieje taka liczba rzeczywista, której kwadrat równy jest 4)

tak na marginesie: istnieją dwie takie liczby x1= 2, x2= -2

Definicje oraz twierdzenia

Definicje istnieją w matematyce z racji tego, że niektóre pojęcia trzeba zdefiniować.

Pojęcia pierwotne to takie, których nie trzeba definiować, są nimi na przykład: liczba, punkt, zbiór.

Definicja towyrażenie, które opisuje znaczenie danego terminu za pomocą pojęć pierwotnych albo zdefiniowanych wcześniej.

Przykład:

Równoległobok to czworokąt, mający dwie pary równoległych boków.

Jeżeli definicje dotyczą tego samego pojęcia to nazywamy je równoważnymi.

Cała matematyka sformułowana jest w twierdzeniach.

Przybierają one przeważnie postać implikacji: pq, czyli wynikania, w którym zdanie p to założenia twierdzenia, natomiast q to teza.

Aksjomaty,czyli pewniki to twierdzenia, które przyjmuje się bez dowodu. Każde inne twierdzenie wymaga dowodu.

Dowód wprost, polega na tym, że wychodzimy z założeń twierdzenia, czyli traktujemy je jako prawdziwe, wyciągamy z nich kolejne wnioski, dochodząc do tego, że teza jest prawdziwa.

Przykład:

Twierdzenie:

Niech a, b, c dowolne liczby rzeczywiste, wtedy:

a > ba + c > b + c

Dowód:

a > ba - b > 0a + c - b - c > 0a + c - (b + c) > 0a + c > b + c.

co należało dowieść (c. n. d.)

Dowód nie wprost - uznajemy założenia twierdzenia jako prawdziwe oraz dołączamy hipotezę, która zaprzecza tezie twierdzenia. Teraz poprzez kolejne wnioski dochodzimy, że hipoteza jest fałszywa z tymi założeniami, albo, że zdanie, które z niej wynika jest fałszywe. Ponieważ uznajemy założenia twierdzenia jako prawdziwe oraz wnioskujemy, że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, stąd mamy, że teza twierdzenia jest prawdziwa.

Przykład:

Twierdzenie:

Liczba to liczba niewymierna.

Dowód:

Zakładamy, że liczba to liczba wymierna, stąd:

gdzie p i q to liczby całkowite.

Stąd mamy, że, =2, czyli, że p2=2q2,

zatem p * p=2q *q.

Jeżeli p i q rozłożyć na czynniki pierwsze, 2 musi występować w iloczynie p *p parzystą ilość razy (tyle samo razy w każdym p) lub nie występować wcale, natomiast w iloczynie 2 * q * q nieparzystą ilość razy.

Stąd oba iloczyny nie będą równe.

Z powyższego wynika, że nie jest wymierna wymierną. c. n. d.

Zdanie postaci pq nazywamy twierdzeniem prostym

zdanie qp nazywamy twierdzeniem odwrotnym,

zdanie ~p~q nazywamy twierdzeniem przeciwnym,

zdanie ~q~p nazywamy twierdzeniem przeciwstawnym albo kontrapozycją twierdzenia.

Twierdzenie proste oraz przeciwstawne są prawdziwe jednocześnie lub jednocześnie fałszywe.

Podobnie jest z twierdzeniem odwrotnym oraz twierdzeniem przeciwstawnym.

Wniosek:

Zamiast dowieść twierdzenie, możemy dowodzić jego kontrapozycję.