Macierze

Funkcja, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) dla 1im oraz 1jn przyporządkowuje jedną (dokładnie jedną) liczbę a_ij jest macierzą prostokątną o wymiarze m x n, co oznacza, że ma m wierszy i n kolumn.

Macierz kwadratowa to taka macierz, która ma liczbę kolumn równą liczbie wierszy, czyli dla takiej macierzy m = n.

Dwie macierze są równe jeśli m = m', n = n' oraz a_ij = b_ij dla danych macierzy A i B.

Sumą macierzy A i B jest macierz C, której wyrazy są równe: c_ij = a_ij + b_ij. Dodawać macierze można tylko, jeżeli mają ten sam wymiar, czyli macierze dla których m = m' i n = n'

Iloczynem macierzy A i liczby D jest macierz B, której wyrazy są równe: B = DA, czyli B = Da_ij.

Różnicą macierzy A i B jest macierz C = A+(- B), gdzie - B jest iloczynem macierzy i liczby -1.

Iloczyn macierzy A i macierzy B jest macierz C, dla której cij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_ipb_pj

Mnożenie można wykonywać jedynie, jeśli liczba kolumn w macierzy pierwszej równa jest liczbie wierszy w macierzy drugiej.

Stąd macierz C = AB posiada tyle wierszy ile ma macierz A oraz kolumn ile ma macierz B.

Na ogół mnożenie nie jest przemienne.

Macierz transponowana do macierzy A = a_ij jest macierz A^T = a_ji.

Macierz jednostkowa to macierz E kwadratowa stopnia n, której elementy a_ij = 0 jeżeli i j oraz 1 jeżeli i = j.

Macierzą diagonalną jest macierz kwadratowa, która posiada elementy niezerowe tylko na przekątnej.

Macierz kwadratowa stopnia n jest macierzą symetryczną jeśli A = A^T.

Minor M_ij stopnia n - 1 kwadratowej macierzy A, który odpowiada elementowi a_ij jest to wyznacznik macierzy stopnia n - 1, powstałej z macierzy A przez usunięcie wiersza o numerze i oraz kolumny o numerze j.

Wyznacznik macierzy A to suma iloczynów elementów w dowolnym wierszu przez ich algebraiczne dopełnienie przy ustalonym i oraz przy dowolnie j.

Macierz A jest osobliwa jeżeli ma wyznacznik różny od zero.

Macierz odwrotna do kwadratowej macierzy A to macierz A^-1, która spełnia warunek AA^-1 = A^-1A = E.

Dla macierzy osobliwej A istnieje macierz odwrotna A^-1, która jest określona wzorem A^-1 = Ct/detA,

gdzie Ct jest macierzą dopełnień algebraicznych.

Funkcja F(x) jest funkcja pierwotna dla funkcji f(x) na danym przedziale X,

jeśli dla każdego x, który należy do X:

F'(x)=f(x).

Jeżeli F(x) jest funkcja pierwotna dla funkcji f(x) na danym przedziale X

to funkcja G(x) = F(x) +c, gdzie c to dowolna stała,

jest również funkcją pierwotną dla funkcji f(x) na przedziale X

Dla każdego x, który należy do X

G'(x) = [F(x) +c]' = F'(x) + 0 = f(x), dla każdego x, który należy do X

G'(x) = f(x)

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) na przedziale X nazywa się całką nieoznaczoną dla funkcji f(x), na przedziale X. Oznaczenie:

f(x)dx = F(x) + c

Jeśli funkcje f(x) i g(x) - całkowalne na przedziale (a, b) to f(x) +g(x) również całkowalne na przedziale (a, b).

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Funkcje f(x) i g(x) na przedziale X mają pochodne ciągłe f'(x) i g'(X) wtedy:

 = f(x)g(x) -  na przedziale X

+ = f(x)g(x)

[f '(x) g(x) + f(x) g'(x)] dx = f(x) g(x)

[f(x) g(x)]'= f '(x) g(x) + f(x) g'(x)

Twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie

Jeśli funkcja t = h(x) ma pochodną h'(x), która jest ciągła na przedziale X oraz przekształca go w przedział T, a na przedziale T jest określona funkcja g(t), wtedy całka

g[h(x)] h'(x)dx = g(t) dt

przy czym po obliczeniu g(t) dt obowiązuje podstawienie t = h(x)

Jeśli funkcja jest ciągła oraz różniczkowalna i posiada w podanym punkcie ekstremum, to wtedy pochodna = 0

Jeśli funkcja jest ciągła oraz różniczkowalna to posiada w podanym punkcie ekstremum i może nie istnieć pochodna.

Jeśli funkcja jest ciągła, różniczkowalna i posiada punkt przegięcia to f ''(x) = 0

Funkcja jest wypukła ku górze, gdy dane otoczenie wykresu f ''(x) leży pod styczną f ''(x) < 0

Funkcja jest wypukła ku dołowi, gdy dane otoczenie wykresu f ''(x) leży nad styczną f''(x) > 0

Punkt x₀ jest punktem przegięcia funkcji f jeśli funkcja f jest ciągła w pewnym otoczeniu punktu x₀ oraz przy przejściu przez punkt x₀ zmienia się charakter wypukłości.

Mówimy że funkcja f, która jest ciągła w przedziale (a, b) jest wypukła w górę (analogicznie w dół) w przedziale (a, b) jeśli w każdym punkcie przedziału )(a, b) jest wypukła w górę (w dół).

Asymptoty:

Pionowa - istnieje w punktach nieciągłości, albo na końcach dziedziny

Ukośna - jest wykresem funkcji y = ax + b, której współczynniki liczymy w następujący sposób:

[f(x)/x] = a

[f(x) -a x] =b

Pozioma - jeśli współczynnik a= 0

Reguła De Hospitala:

Jeśli f(x)/g(x) w punkcie x₀ jest symbolem nieoznaczonym oraz f i g są określone, różniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu x₀, g'(x) 0 dla x należącego do tego otoczenia i istnieje granica właściwa f'(x)g'(x)

wtedy istnieje [f(x)/g(x)] oraz zachodzi f(x)/g(x) = f '(x)