Trzy prawa Keplera

Początkowo na Ziemi panowało przekonanie, nawet wręcz wiara w geocentryczny układ planet i gwiazd. Człowiek pewny swej wyższości nad resztą stworzeń i materii, uważał że wszystko "kręci się wokół Ziemi". Trudno było uwierzyć w fakt, który odkrył Kopernik - że to Słońce jest w centrum naszej galaktyki (układ heliocentryczny). Potwierdził on również, że planety obiegają Słońce po orbitach kołowych. To, że nie są to dokładnie okręgi, zaobserwował z kolei nadworny astronom cesarza Rudolfa II - Tychon Brache (1546-1601). W oparciu o jego badania, inny słynny fizyk i astronom Jan Kepler (1571-1630), dociekliwie szukał odpowiedzi "jaka krzywa tak naprawdę wyznacza tor orbit planet". Ostatecznie stwierdził, że musi to być elipsa i sformułował trzy prawa astronomiczne opisujące ruch planet wokół Słońca. W roku 1609 w dziele "Astronomia nova ..." ("Astronomia nowa…")opublikował pierwsze dwa, a treść uzupełnił w roku 1619 w "Harmonica Mundi" ("Harmonia świata").

Pierwsze prawo Keplera

Pierwsze prawo Keplera mówi, że planeta porusza się wokół Słońca po elipsie, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk orbity.

Drugie prawo Keplera

Drugie prawo Keplera mówi, że w jednakowych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola. Czyli w peryhelium (część orbity najbliżej Słońca), planeta porusza się szybciej niż w aphelium (część orbity najdalej położona od Słońca). Prędkość zakreślania przez promień wodzący planety fragmentu pola wewnątrz elipsy nazywamy prędkością polową.

Przykładowo: Ziemia obiega Słońce po elipsie, a jej prędkość liniowa zmienia się od 30,0 km/s do 29,3 km/s w zależności od odległości od Słońca.

Trzecie prawo Keplera

Trzecie prawo Keplera mówi, że rozważając ruch dwóch ciał po orbitach wokół Słońca, stosunek kwadratów ich okresów do sześcianów ich średniej odległości od Słońca jest stały:

T1/r1=T2/r2

gdzie:

T1, T2 - okresy obiegu dwóch planet wokół Słońca - czyli czas ich pełnych obrotów wokół Słońca.

r1, r2 - średnie odległości tych planet od Słońca

………………………………………….

Dopełnieniem oraz potwierdzeniem praw Keplera stało się w późniejszym czasie prawo powszechnego ciążenia Newtona. Dzięki niemu możemy wyznaczyć masy, promienie, okresy obiegu i odległość od Słońca ciał naszego układu planetarnego. A także zrozumieć dlaczego Księżyc krąży wokół swej planety, a planeta razem z Księżycem wokół Słońca.

Przyjmijmy:

MS - masa Słońca

FSp - siła oddziaływania grawitacyjnego Słońca na planetę

Mp - masa planety, krążącej wokół Słońca

T - okres planety - czas jej pełnego obrotu wokół Słońca

V - prędkość liniowa planety w ruchu wokół Słońca, równa stosunkowi długości orbity, do okresu planety:

V=2∙Π∙R/T

FpS - siła oddziaływania grawitacyjnego planety na Słońce

Fgr - siła grawitacyjna wzajemnego oddziaływania na siebie Słońca i planety

Fdośr - siła dośrodkowa w ruchu po okręgu

R - odległość planety od Słońca

G - stała grawitacyjna (G≈6,67 ∙10-11 [N∙m2/kg2])

Prawo powszechnego ciążenia stwierdza, że ciała (posiadające masę) te wzajemnie oddziałują na siebie siłami grawitacyjnymi:

|FSp| = |FpS| = Fgr|,

Gdzie:

Fgr = G∙(MS∙Mp)/R2

Ruch planety wokół Słońca możemy potraktować w przybliżeniu jako ruch po okręgu z siła dośrodkową, której funkcję w tym przypadku pełni właśnie siła grawitacyjna. Dlatego też możemy je porównać:

Fdośr = Fgr

Stosując odpowiednie ich wzory, otrzymujemy:

Mp∙V2/R = G∙(MS∙Mp)/R2

po podstawieniu wzoru na prędkość liniową planety (patrz wyżej) i przekształceniu wzoru, mamy:

4∙Π2R/T2=G∙MS/R2

a stąd możemy już otrzymać wyrażenie o stałej wartości, zgodne z trzecim prawem Keplera:

T2/R3=4∙Π2/G∙MS = constans

Ta2 / Tb2 = Ra3 / Rb3