1. ŻYROSKOPOWE MOMENTY SIŁ

(efekt żyroskopowy w ruchu obrotowym). Kręcące się ciało o dostatecznie ogromnym momencie pędu K, na które wpływamy parą sił F, produkując moment siły M. W zgodzie z drugą zasadą dynamiki w niewielkim odstępie czasu dt dochodzi do przyrostu delta dK. Jako że przyrost dK jest niewielki oraz prostopadły względem K, to moment pędu po czasie dt wynosi K+dK jest praktycznie co do wielkości identyczny jak K jedynie obrócony o kąt dφ=dK/K. Znaczy to, iż oś obrotu ciała zrobiła obrót o kąt dφ w płaszczyźnie xy, chociaż wpływający moment siły dążył do obrotu osi ciała w płaszczyźnie yz. Szybkość kątowa Ω tego obrotu zwanego precesją równa się: Ω = dφ/dt=dK/(K*dt)=M*dt/(K*dt)=M/K. W rezultacie: M=ΩxK. Moment sił M równoważy moment sił reakcji bąka występujący przy precesji. Ten moment siły (-M) zwie się momentem sił żyroskopowych. Przykład: bąk dziecinny, stabilizacja jazdy na rowerze, stabilizatory na statkach, żyrokompasy itp.

2. ODDZIAŁYWANIA POTENCJALNE

Główne oddziaływania posiadają cechy: 1. Siła oddziaływania F pomiędzy 2 ciałami jest funkcją ich wzajemnej odległości r, F(r)=0 gdy r=_; 2. Praca sił po drodze zamkniętej równa jest zero. Cecha ta bierze się stąd, iż praca _L jaka została wykonana przy przesuwaniu ciała od dowolnego punktu 1 do dowolnego punktu 2 nie jest uzależniona od drogi przesuwania ale od położenia tych punktów. Praca wykonana przez siłę oddziaływania jest wykonana kosztem energii oddziaływania. Bierze się stąd wniosek, iż każdemu wzajemnemu położeniu ciał odpowiada jednoznacznie zdefiniowana energia oddziaływania U. Takiego typu energię zwie się potencjalną, natomiast samo oddziaływanie potencjalnym albo zachowawczym. Najistotniejsze oddziaływania potencjalne to grawitacyjne oraz kulombowskie oddziaływania od mas (ładunków) punktowych albo kulistych. Siła oddziaływania grawitacyjnego F=-(G*M*m/r2)*r/r. r/r definiuje kierunek wpływania siły (radialny). Znak (-) uwzględnia energię oddziaływania grawitacyjnego U(r)=-G*M*m/r. Siła oddziaływania elektrostatycznego F=Q*q/(4*π*ε0*r2)*r/r. Energia oddziaływania elektrostatycznego U(r)=Q*q/(4*π*ε0*r). Oddziaływania pomiędzy cząsteczkami w gazach oraz w cieczach, nazywane siłami Van der Waalsa definiujemy tzw. potencjałem 6-12: U(r)=4*ε*[(σ/r)12-(σ/r)6]. Składnik przyciągający -(σ/r)6 który przeważa na ogromnych odległościach. Składnik odpychający (σ/r)12 przeważający na niewielkich odległościach. Oddziaływania pomiędzy atomami w cząstkach oraz kryształach definiujemy bardzo często tzw. potencjałem Morse'a: U(r)=D*{[1-exp(-α*(r-a))]2-1}. Parametr D jest energią dysocjacji albo wiązania.

3. POLA POTENCJALNE Założenia: 1 z 2 ciał oddziaływujących nie porusza się w początku układu współrzędnych, bierzemy pod uwagę ciało 2. Jeśli przesunie się ono z punktu 1 o niewielki odcinek dl do położenia drugiego, to siła oddziaływania (pole sił) wykona pracę: dL=F*dl=Fl*dl=U(1)-U(2)=-dU, ale dU to różnica energii potencjalnej oddziaływania pomiędzy położeniami ciała w punktach drugim oraz pierwszym, natomiast Fl to składowa siła oddziaływania w kierunku przesunięcia dl. Zatem związek pomiędzy Fl oraz energią oddziaływania: Fl=-dU/dl. Jeśli zatem będziemy znać energię potencjalną oddziaływań U(r) we wszystkich punktach pola to przy pomocy wzorów będziemy w stanie wyliczyć siłę. Jeśli energia potencjalna oddziaływania zmierza do 0, kiedy ciała oddalają się od siebie do nieskończoności, da się zdefiniować związek pomiędzy wartością energii w jakimkolwiek punkcie pola oraz siłą oddziaływania. Przy przesuwaniu ciała od położenia R do nieskończoności siły pola wykonują pracę równą wartości energii potencjalnej w miejscu R, zatem: _ {R,_} Fr(r)*dr=U(R)-U(_)=U(R). Jako że wektor siły da się zapisać jako sumę składowych w formie: F=Fx*i+Fy*j+Fz*k otrzymujemy: F=((dU/dx)*i+(dU/dy)*j+(dU/dz)*k)=-grad U=-▼U. A działa w iloczynie skalarnym ▼ * A= div A (diwergencja) albo wektorowym ▼x A=rot A (rotacja). Gęstość linii sił jest miarą wartości sił w konkretnym miejscu. Linie sił są takimi siłami, iż wektor siły we wszystkich punktach pola jest styczny do linii siły która przechodzi przez jakiś punkt, natomiast gęstość linii jest proporcjonalna do wartości siły. Powierzchnie prostopadłe do linii sił są powierzchniami ekwipotencjalnymi (tzn. stałego potencjału), gdyż przy przesuwaniu ciał w kierunku prostopadłym do siły nie jest wykonywana praca przez siły oddziaływań, a zatem nie ulega zmianie energia potencjalna oddziaływania. Wzrost siły jest zatem w kierunku malenia energii potencjalnej.

Oddziaływania te definiuje się mianem pola sił. W przypadku oddziaływań podstawowych , do których zalicza się oddziaływania grawitacyjne oraz elektryczne, opis polowy oddziaływań jest bardzo konkretny. Trzeba zauważyć, iż w tych oddziaływaniach oraz siła oraz energia potencjalna cząsteczki w polu są wprost proporcjonalne do naboju C cząsteczki., raz jest nim masa cząsteczki, raz ładunek eklektyczny. Da się zatem zdefiniować natężenie E oraz potencjał V pola sił : E(r)=F(r)/C, V(r)=U(r)/C, E=grad V. Pole jest nie tylko pojęciem modelowym, ale realnością fizyczna. Masa ładunek elektryczny rzeczywiście zmieniają na około siebie przestrzeń, produkują pole, które w momencie ruchu zmiennego naboju odrywa się oraz egzystuje samodzielnie w postaci promieniowania grawitacyjnego elektromagnetycznego.

4. ZASADA WZGLĘDNOŚCI GALILEUSZA

(ZWG) napisana w 1632 r.: da się zobrazować następującym przykładem: wyobraźmy sobie , iż zamknęliśmy się w kajucie na statku, który pływa na spokojnej wodzie. Posiadamy ze sobą przeróżne rzeczy, urządzenia miernicze, rośliny, zwierzęta. Dokonując dowolnych eksperymentów, z ich obserwacji oraz pomiarów, jak również z zachowania się roślin oraz zwierząt nie uda nas się wywnioskować , czy statek stoi na wodzie czy spokojnie pływa. Wyrażając to naukowym językiem: we wszelkich układach odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostek zwanych układami inercjalnymi zjawiska przyrodnicze przebiegają w taki sam sposób. Jest tak ponieważ zjawiska fizyczne Definiuje fizyka przy pomocy określonych praw, muszą one przyjmować taką formę, by przy przejściu z 1 inercyjnego układu odniesienia do 2 miały identyczną formę. cechę tę nazywa się zasadą niezmienniczości praw fizyki względem dowolnego układu inercyjnego odniesienia (np. z obserwacji jakichkolwiek zjawisk oraz eksperymentów przeprowadzanych w kajucie nie da się wysnuć wniosku co do spoczynku albo ruchu jednostkowego statku). Przy konkretnym przekształceniu zdefiniowanego prawa fizycznego z 1 inercjalnego układu odniesienia do 2 nieodzowne jest posługiwanie się grupą zależności pomiędzy czasem oraz współrzędnymi w obu układach, nazywanych transformacją. Rozważa się 2 inercjalne prostokątne układy odniesienia x,y,z i x',y',z' takie, iż układ primowany przemieszcza się w kierunku dodatnich x względem układu nieprimowanego oraz odpowiednie osie są do siebie równoległe. (*ILUSTRACJA*) Założenia: czas zaczęto mierzyć w obu układach od momentu, kiedy początki układów O oraz O' mijały się oraz czasy i odległości mierzy się w obu układach identycznymi miarami. Wówczas dowolne zdarzenie zanotowane przez osobę obserwującą w układzie O jako zaistniałe w momencie czasu t oraz miejscu x,y,z zostanie zanotowane przez osobę obserwującą w układzie O' jako zaistniałe w momencie czasu oraz we współrzędnych: t'=t; x'=x-vt; y'=y; z'=z. Jest to tzw. transformacja Galileusza (przykład: niezmienniczość względem transformacji Galileusza prawa zachowania pędu dwóch zderzających się ciał o masach m1 oraz m2, przemieszczających się wzdłuż osi x. W układzie O mamy m1*v1p+m2*v2p=m1*v1k+m2*v2k, gdzie p oraz k-stany przed oraz po zderzeniu, gdzie v - szybkość w kierunku osi x. Ponieważ przy przejściu do układu primowanego pojawi się z obu stron równania dodatkowa szybkość układu zachodzi równoważność prawa zachowania pędu w układach O oraz O'). Niezmiennicze względem transformacji Galileusza są również pewne wielkości które tyczą się zjawisk albo zdarzeń np. siła, temperatura, zmiana energii itp. oraz odstęp czasu Δt pomiędzy 2 zdarzeniami i kwadrat odległości przestrzennej: ΔR2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=ΔR'2

5. TRANSFORMACJA LORENTZA-EINSTEINA

Lorentz w 1899 r. napisał całkowicie formalnie transformację, względem której prawa elektromagnetyzmu byłyby niezmiennicze. γ=sqrt(1-(v/c)2); t'=(t-v*x/c2)/γ; x'=(x-v*t)/γ; y'=y; z'=z; odwrotna: t=(t'+v*x'/c2)/ γ; x=(x'+v*t')/ γ; y=y'; z=z'. Wnioski jakie wynikały z transformacji L-E wykraczały poza pojęcia mechaniki klasycznej. W roku 1905 Albert Einstein napisał szczególną teorię względności (STW). Podstawowym jej założeniem zasada względności Galileusza rozciągnięta na zjawisko ruchu promienia świetlnego w próżni: we wszelkich układach inercjalnych prędkość światła w próżni jest identyczna. Jeśli 2 osoby obserwujące przemieszczają się względem siebie obserwują ruch tego samego promienia oraz obydwoje stwierdzą, iż biegnie on z identyczną prędkością, to kinematyka definiująca związki pomiędzy czasem oraz przestrzenią w ruchu ciał powinna być inna od poznanej w ramach mechaniki klasycznej.

6. CZASOPRZESTRZENNA ODLEGŁOŚĆ ZDARZEŃ

Przykład: osoba która znajduje się wewnątrz poruszającego się wagonu (ukł. O') zapala latarkę oraz obserwuje bieg promienia w kierunku jazdy oraz przeciwnym. Zauważy on, iż promienie jednocześnie dotrą do ścian wagonu. Wg osoby obserwującej w układzie O promienie przemieszczają się z taką samą prędkością w obie strony, ale przednia ściana ucieka, w czasie kiedy tylna przemieszcza się naprzeciw promieniowi. W związku z tym do tylnej ściany promień dotrze wcześniej. Zdarzenia równocześnie dla 1 obserwatora nie są jednoczesne dla 2. jako że pomiar czasy jest ściśle powiązany z pojęciem jednoczesności, wartości czasu danego zjawiska, mierzone przez 2 przemieszczających się względem siebie obserwatorów, są inne. A zatem czas biegnie inaczej w różnych układach inercjalnych. Fakt ten oraz dalsze rozważania dają zrozumieć kinematyczne zagadnienia STW. Niech osoby obserwujące O oraz O' obserwują bieg promieni latarki zapalonej w momencie czasu t1 w miejscu x1,y1,z1 w O oraz odpowiednich t1',x1',y1',z1' według O'. W momencie czasu t2 czoło fali jest powierzchnią kulistą, której dowolny punkt o współrzędnych x2,y2,z2 spełnia równanie: (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=c2*(t2-t1)2. Tak samo w O'. Zatem odległość czasoprzestrzenna Δs 2 zdarzeń (wcześniej t1,x1,y1,z1 i później t2,x2,y2,z2) definiuje równanie: Δs2=c2*(t2-t1)2-[(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2]. Więc OCZ dotyczących ruchu promienia świetlnego jest we wszelkich układach inercjalnych identyczna, wynosi zero. Einstein postulował, iż odległość czasoprzestrzenna 2 zdarzeń jest pojęciem istotnym dla dowolnych zjawisk oraz jest ona wielkością niezmienniczą, tzn. Δs2= Δs'2. Jest to 2 ważne założenie w podstawach STW. Wg transformacji Galileusza niezmiennicze są osobno odległości czasowe oraz przestrzenne, natomiast wg STW dopiero ich kombinacja w formie odległości czasoprzestrzennej jest niezmiennicza.

7. WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI KINEMATYCZNE (wg STW)

gdy uwzględnimy zasadę niezmienniczości OCZ oraz prędkości światła możemy wyprowadzić przeróżne zależności kinematyczne. Da się przede wszystkim uzyskać wzory na transformację L-E, a z niej biorą się 2 istotne efekty-relatywistyczne zmiany czasów oraz odległości. Efekt relatywistycznej zmiany czasów możemy rozważyć wykorzystując tylko zasady niezmienniczości OCZ. Obserwujemy 2 układy: primowany O' oraz nieprimowany O. Osoba obserwująca w układzie O' obserwuje zjawisko na obiekcie spoczywającym względem niego w miejscu o współrzędnej x1'. Osoba obserwująca w układzie O zanotuje (z zasady niezmienniczości OCZ !) Δs2=c22-(x2-x1)2. Współrzędne y,z można pominąć gdyż nie ulegają one zmianie. Jesteśmy w stanie również zauważyć, iż (x2-x1)/(t2-t1)=v, gdzie v jest prędkością obiektu względem układu O. W końcu uzyskujemy: τ = τ0/γ; τ0=t2'-t1'; τ =t2-t1. Jest to efekt relatywistycznego wydłużenia czasu, τ0 jest czasem własnym zjawiska zatem czasem notowanym w układzie, względem którego obiekt zostaje w spoczynku. W układzie, względem którego obiekt przemieszcza się, notowany czas jest dłuższy. Relatywistyczną zmianę długości przedyskutuję na podstawie transformacji L-E. W układzie O' spoczywa obiekt którego długość wynosi l0=x2'-x1'. obiekt ten przemieszcza się względem nieprimowanego z szybkością v. By zmierzyć długość obiektu w tym układzie musimy mieć 2 osoby obserwujące, które w tym samym czasie zanotują współrzędne końca oraz początku obiektu: x1'=(x1-vt1)/γ; x2`=(x2-vt2)/γ; t1=t1; l0=x2'-x1'; l=x2-x1; l=l0*γ. długość obiektu mierzoną w układzie, gdzie obiekt spoczywa jest długością własną obiektu. Z innych zależności da się uzyskać wzory na dodawanie szybkości: ux=(ux'+v)/(1+u'x*v/c2); uy=(uy'/(1+u'x*v/c2))* γ; uz jak uy; x-wzdłużna, y,z-prostopadłe. Przy dodawaniu szybkości nie da się uzyskać prędkości większej od c.

8. WAŻNE ZALEŻNOŚCI DYNAMICZNE (wg STW)

Prawa kinematyki szczególnej teorii względności nie są wystarczające do wprowadzenia praw dynamiki dla szybkości bliskich prędkości światła. Należało odgadnąć ważne prawidłowości dynamiki. Einstein postulował ze głównie w mechanice relatywistycznej winna dalej obowiązywać zasada zachowania pędu oraz energii. Z zasad tych oraz wcześniej poznanych równań kinematyki da się wywieść równania dynamiki. Dalej obowiązują zasady: zachowania pędu oraz energii. p=m*v, m=m0/γ, m0 - masa ciała w spoczynku. Masa ciała jest miarą całkowitej energii ciała E=m*c2 . Energia kinetyczna to różnica pomiędzy energią ciała w ruchu a spoczynku, zatem Ek = (m-m0)*c2. Istotne wyrażenie - czterowektor energii oraz pędu E2-p2*c2 niezmiennicze względem transformacji L-E. Siła F=dp/dt. okazało się, iż jeśli ciało jest w ruchu to przyspieszenie ciała nie jest równoległe do działającej wpływającej siły z wyjątkiem przypadków: a) F⊥v - F = a*m0/γ; b) F||v - F = a*m03 Dlatego mówi się nawet o masie poprzecznej oraz podłużnej ciała.

9. SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Gdy rozpatrujemy ruch ciał w układach nieinercjalnych (tzn. przemieszczających się ruchem zmiennym) dojdziemy do wniosku, iż jesteśmy w stanie wykorzystać zasady dynamiki Newtona dla układach inercjalnych pod warunkiem wprowadzenia dodatkowych sił tzw. sił bezwładności. <> Oi - układ inercjalny On - układ nieinercjalny. Rozpatrując ruch ciała przemieszczającego się bez tarcia w układ On, na które nie wpływają siły zewnętrzne zauważymy, iż według osoby obserwującej w układzie Oi ciało nie zmienia swego ruchu oraz przyspieszenia ciała ai=0, według osoby obserwującej w On przemieszcza się ono z przyspieszeniem an=-au. Ogólnie: w układzie nieinercjalnym oprócz sił przyłożonych bezpośrednio do ciała o masie m wpływa na nie dodatkowa siła (siła bezwładności) zdefiniowana równaniem Fb=-m*an Układy nieinercjalne przemieszczające się ruchem prostoliniowym nie potrzebuje głębszych wyjaśnień. <> Weźmy pod uwagę nieinercjalny układ On obracający się z szybkością kątową Ω względem ukł. inercjalnego Oi. Środki obu układów pokrywają się, natomiast wektor prędkości kątowej obrotu jest zgodny z osią zi. Niech będzie dany wektor r. Jeśli prędkość zmian tego wektora w układzie Oi oznaczymy przez (dr/dt)i natomiast w On (dr/dt)n to związek pomiędzy nimi jest taki (dr/dt)i=(dr/dt)n+Ωx r (1) Jeśli r będzie wektorem położenia ciała to (dr/dt)i=vi (szybkość ciała w Oi), a (dr/dt)n=vn (szybkość ciała w On) zatem vi=vn+Ωx r wykorzystując wzór (1) do wektora vi uzyskujemy (dvi/dt)i=(dvi/dt)n+Ωx vr =(dvn/dt)n+Ω x vn+Ω x (vn+Ω x r) ale (dvi/dt)i=ai i (dvn/dt)n=an zatem ai=an+2*Ωx vn+Ω x (Ω x r) gdzie ai oraz an są przyspieszeniami ciała w Oi i On. Wykorzystując zależność ai=an+au jesteśmy w stanie obliczyć przyspieszenie układu On au=2*Ω x v+Ω x (Ω x r) Stąd wzór na siłę bezwładności w układzie obracającym się Fb=-m*au=-(2m*Ω x v+m*Ω x (Ω x r) Pierwszy składnik nazywa się siłą Coriolisa, kolejny siłą odśrodkową.

SIŁA BEZWŁADNOŚCI, siła pozorna, siła pojawiająca się w nieinercjalnym → układzie odniesienia, nie związana z oddziaływaniem żadnych konkretnych ciał; przykładami sił bezwładności są: → siła Coriolisa oraz → siła odśrodkowa. Równanie ruchu punktu materialnego w nieinercjalnym układzie odniesienia pod wpływem wypadkowej sił rzeczywistych oraz sił bezwładności ma identyczną formę, jak równanie ruchu tego punktu w układzie inercjalnym pod wpływem sił rzeczywistych; siłę bezwładności wpływającą na punkt materialny da się przedstawić za pomocą wzoru: Fb = -m(au + ac), gdzie m - masa punktu materialnego, a u - przyspieszenie unoszenia, a c - przyspieszenie Coriolisa. Również wielkość wektorowa liczbowo równa iloczynowi masy m punktu materialnego oraz wartości bezwzględnej przyspieszenia | a|, skierowana przeciwnie do przyspieszenia; pojawia się w zasadzie → d'Alemberta.

10. MASA BEZWŁADNA ORAZ GRAWITACJA

Wprowadzone przez Newtona w zasadach dynamiki pojęcie masy jest miarą bezwładności ciała. Newton wykrył także 2 cechę ciał - wzajemne działanie na siebie siłami grawitacyjnymi. Przez analogię do oddziaływań elektrycznych trzeba mówić o ładunkach grawitacyjnych ciał. Chociaż eksperyment pokazał, iż miarą ładunku grawitacyjnego ciała może być jego masa to bezwładność ciała oraz zjawisko grawitacji są zupełnie różnymi cechami. Dlatego wyróżniono pojęcie masy bezwładnej oraz masy grawitacyjnej i zaczęto podejmować próby wyliczenia ewentualnej różnicy albo tożsamości tych wielkości (przez odkrycie różnic w ruchu ciał zrobionych z przeróżnych materiałów pod działaniem grawitacji naszej planety). Siła grawitacji Fg jest proporcjonalna do masy grawitacyjnej mg ciała. Fg=G*(M*mg)/r2 G - stała grawitacji M - masa naszej planety r - odległość ciała od środka naszej planety. Z 2 zasady dynamiki otrzymujemy a=Fg/mb=(G*M)/r2*mg/mb zatem, że przyspieszanie ciała uzależnione jest od stosunku masy bezwładnej oraz grawitacyjnej.

11. KONSEKWENCJE RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ ORAZ GRAWITACYJNEJ

Eksperymenty pokazały równoważność masy grawitacyjnej oraz bezwładnej (co stało się punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina). Jeśli masa grawitacyjna oraz bezwładna są tym samym to znaczy, iż osoba obserwująca w zamkniętej kabinie żadnymi doświadczeniami fizycznymi nie jest w stanie stwierdzić czy ciężkość ciał w kabinie bierze się od pola grawitacyjnego ogromnej masy czy też od siły bezwładności która jest spowodowana ruchem przyspieszonym kabiny. Fakt ten nazywa się lokalną równoważnością sił grawitacji oraz bezwładności. Dopiero analizy tych sił w ogromnym obszarze dały ustalić ich charakter poprzez zdefiniowanie charakterystyki przestrzennej (różnej w przypadku pola grawitacyjnego oraz nieinercjalnego układu odniesienia). W układzie swobodnie spadającym znoszą się siły bezwładności oraz grawitacji. Ruch ciał spełnia pierwszą zasadę dynamiki jest to układ inercjalny. Konsekwencją tego jest "spadek" promienia światła w polu grawitacyjnym. Jako że promień światła biegnie po najkrótszej drodze da się mówić o zakrzywieniu przestrzeni w polu grawitacyjnym. Promieniowi świetlnemu (fotonowi) da się przypisać masę mf =h*ν/c2 . Jeżeli tak to, kiedy spada w polu grawitacyjnym ulega zmianie się jego energia kinetyczna kosztem potencjalnej, a więc częstotliwość Δν/ν = g*l/c2. Taka też jest względna zmiana mierzonego czasu oraz da się mówić o zakrzywieniu czasoprzestrzeni.

12. PROCESY ODWRACALNE ORAZ NIEODWRACALNE

Zjawiskami odwracalnymi (niezmienniczymi względem inwersji czasu) są oddziaływania pomiędzy atomami, molekułami (mikroskopowe). W układach makroskopowych procesy nieodwracalne - pokazują kierunek biegu (strzałkę) czasu. Istotą nieodwracalności procesów jest przechodzenie układów do stanów o większym nieuporządkowaniu. Miarą nieuporządkowania jest ilość równoprawnych sposobów (stanów mikroskopowych) które realizują układ - stan makroskopowy układu. Na stan makroskopowy działa stan mikroskopowy, utożsamiany ze stanem kwantowym. Entropię określa się przy pomocy wzoru S=k*ln Ω ,gdzie k - stała Boltzmanna, Ω - ilość stanów kwantowych układu realizujących definiowany stan makro. W układzie odosobnionym procesy dążą do uzyskania stanu równowagi termodynamicznej - maksymalnej entropii.

13. ENTROPIA JAKO MIARA NIEPORZĄDKU

Jeśli ilość stanów kwantowych układu realizujących zdefiniowany stan makroskopowy oznaczymy przez omega to wielkość ta będzie mogła być miarą nieuporzadkowania. W praktyce za miarę nieuporządkowania przyjęta została entropia S, definiowana racjonalnie: S=k*ln(omega), gdzie k- stała Boltzmana. Codzienne można zaobserwować iż w układzie odosobnionym (taki który nie jest poddany działaniom zewnętrznym) procesy ukierunkowane (wyrównanie temperatury, ciśnień, hamowanie prędkości na skutek siły tarcia) odbywają się do d czasu uzyskania pewnego stanu zwanego stanem równowagi termodynamicznej. Da się zatem zdefiniować stwierdzenie, iż w układach odosobnionych kierunek procesów jest taki, iż wzrasta entropia, aż uzyska wartość największą oraz ten stan jest stanem równowagi termodynamicznej. Jeśli układ jest suma podukładów A oraz B to z elementarnych prawideł kombinatoryki można wywnioskować, iż omega układu jest równa iloczynowi omega a oraz omega b, zatem s=s(a)+s(b), zatem entropia jest wielkością addytywna. Na ogol ciekawi nas s oraz dyskutujemy jedynie zmiany entropii: deltaS=s2-s1=k*ln(omega1/omega2).. Zasada narastania entropii w układzie izolowanym aż do uzyskania równowagi cieplnej, zatem stanu zwanego śmiercią cieplna (gdyż wówczas znikają wszystkie procesy makroskopowe w układzie) jest sprawdzona w skali ziemi.

Jedna z → funkcji stanu termodynamicznego; miara stopnia nieuporządkowania układu makroskopowego; zmiana entropii układu w izotermicznym procesie odwracalnym ΔS = Q/T, gdzie Q - ilość ciepła pobrana przez układ, T - temperatura bezwzględna układu (w procesie nieodwracalnym Δ S > Q/T); w fizyce statyst. - miara liczby W mikroskopowych stanów układu izolowanego, które odpowiadają konkretnemu stanowi makroskopowemu tego układu: S = k ln W (k - stała Boltzmanna); zależność pomiędzy entropią układu.

14. ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII RUCHU CIEPLNEGO

Równanie stanu gazu doskonałego: pV=NkT=N/NA*R*T=M/Mmol*R*T=nRT, V-objętość, n- ilość moli gazu, N- ilość molekuł, R=NAk, gdzie R to stała Rydberga (stała gazowa). Zdefiniowanie tego równania towarzyszyło rozwojowi kinetyczno-molekularnej teorii gazu doskonałego według, której gaz jest zbiorem punktów materialnych-molekuł przemieszczających się ruchem chaotycznym, zderzających się pomiędzy sobą oraz ściankami pojemnika sprężyście. Ciśnienie gazu na ścianki jest wynikiem zmiany pędu ogromnej ilości molekuł odbijających się od ścianki : p=2/3Ni(mv2)/2=2/3NiEk (Ni-gęstość molekuł). Molekuły przemieszczają się z przeróżnymi szybkościami, więc v2 należy zastąpić wartością średnią v2; Ek=3/2kT ,zatem by podwyższyć o 1 stopień temperaturę 1 mola gazu doskonałego bez zmiany objętości to trzeba dostarczyć energię 3/2kNA=3/2R (Cv=3/2R) oraz ta wielkość musi być ciepłem molowym przy stałej objętości; warunek ten jest spełniony przez gazy jednoatomowe (dwuatomowe Cv=5/2R). Te spostrzeżenia to podstawy sformułowania zasady ekwipartycji energii. Traktowanie molekuł jako punktów materialnych jest ewentualne jedynie w momencie jeżeli chodzi o molekuły jednoatomowe. Jej położenie definiują 3 niezależne współrzędne oraz odpowiadają im 3 niezależne metody ruchu translacyjnego nazywane stopniami swobody molekuły. Z każdym z tych stopni powiązana jest energia ruchu cieplnego. Energia całkowita E=(it/2+ir/2+iosc)kT ,(it,ir,iosc-stopnie swobody ruchu translacyjnego, rotacyjnego oraz wibracyjnego). Ogólnie zasada ekwipartycji energii w ciele które jest w stanie równowagi termodynamicznej każdemu klasycznemu stopniowi swobody cząsteczki odpowiada energia średnio równa kT/2 ,T- temperatura ciała; stopień swobody nazywa się klasycznym jeśli odpowiadający mu ruch podlega prawom mechaniki klasycznej.

Atom gazu doskonałego posiada 3 stopnie swobody w przestrzeni. Cząsteczka 2 atomowa ma geometrie hauntli czyli posiada 2 dodatkowe stopnie swobody ruchu obrotowego na około osi prostopadłych do osi hautli oraz przechodzących przez środek. Sugeruje to że na jeden stopień swobody ruch postępowego albo obrotowego cząsteczki przypada średnio energia chaotycznego wynosząca kT/2. Na podstawie danych eksperymentalnych napisano prawo według którego ciepło molowe metali jest w przybliżeniu identyczne oraz wynosi ono 3R. Ponieważ atomy w metalach posiadają trzy stopnie swobody , ale ruch jest drgający oraz trzeba było przyjąć iż w przypadku drgań na jeden stopień swobody przypada energia drgań cieplnych kT. Te prawidłowości dotyczące średniej energii stopni swobody ruchu nazywa się zasadą ekwipartycji energii. Energia ta równa jest: E=(it/2+ir/2+iosc)kT ,(it,ir,iosc-stopnie swobody ruchu translacyjnego, rotacyjnego oraz wibracyjnego).

15. DRGANIA SWOBODNE TŁUMIONE

Jeśli pod działaniem siły zewnętrznej wychylenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły mówi się o występowaniu własnej siły sprężystej w układzie F=-kr. Ciało pod jej wpływem drga harmonicznie ω0=sqrt(k/M). Takie drgania zwane są swobodnymi (własnymi) nietłumionymi. Uwzględniając tarcie T=-fv, gdzie f - współczynnik tarcia. Z drugiej zasady dynamiki M*d2x/dt2 = -kx - f*dx/dt; Różniczkowe równanie drgań tłumionych swobodnych d2x/dt2 + Γ*dx/dt + ω02x = 0, gdzie Γ=f/M - stała tłumienia. Zależność położenia ciała x od czasu t: x=A*e-(Γ/2)*t sin(ω1*t+ϕ), gdzie ω1= ω02-(Γ/2)2. A i ϕ są stałymi brzegowymi. Dla ogromnego tłumienia mamy do czynienia z ruchem aperiodycznym - ciało bardzo wolno wraca do położenia równowagi. Γ/2 = ω0 to tłumienie krytyczne (bez drgań). Energia drgań E = 1/2k*A2 powraca 1/2M*ω02*A2; E = E0*e-Γ/t ; E0=k*A2/2= M*ω02*A2/2, gdzie A - amplituda. Czas, gdzie energia drgań będzie maleć e razy nazywa się średnim czasem życia, stałą czasową albo czasem relaksacji τ=1/Γ . Względna szybkość strat energii stała dE/dt=E/τ. Współczynnik dobroci Q=2Π*(energia układu / energia tracona w jednym okresie) = 2Π*E/(E*T/τ) =ω1*τ ≈ω0*τ.

16. DRGANIA WYMUSZONE TŁUMIONE

Jeśli w układzie drgającym pływa zewnętrzna siła harmoniczna F0*sin(ωt) wówczas posiadamy d2x/dt2 + Γ*dx/dt + ω02x = F0/M*sin(ωt). W rozwiązaniu pojawia się składnik stacjonarny który opisuje drgania harmoniczne wymuszone x = x0*sin(ωt+ϕ), ale x0 = F0/M/ sqrt((ω022)222) i tgϕ = Γ*ω/(ω202). Amplituda drgań wymuszonych x0 uzależniona jest od ω według zależności rezonansowej. Przy częstotliwości rezonansowej ωrez=sqrt(ω022/2) amplituda drgań xrez=F0/(M*ω0*Γ). Wówczas również praca oraz moc jakie są dostarczane do układu są ogromne. Średnia moc w 1 okresie drgań P=1/T*∫ {0,T} F*dx/dt*dt = F0/T*ω*x0*∫ {0,T} sin(ωt)*cos(ωt+ϕ)*dt = ½ * F02/(M*Γ)*Γ2ω2/((ω022)222). Gdy Γ << ω0 to Prez≈F02/(2M*Γ). Energia drgań E=1/2 *M*ω2 x02 = ½ F02/(M*Γ2)*Γ2ω2/((ω022)222). Gdy Γ << ω0 to Erez≈F02/(2M*Γ2). Przy częstotliwościach bliskich rezonansu (ω0+ω) ≈ 2ω. Wówczas Γ2ω2/((ω022)222) ≈ (Γ/2)2/((ω0-ω)+ (Γ/2)2). Przedział częstotliwości kątowych, gdzie moc oraz energia w układzie będą maleć do połowy wartości w rezonansie nazywa się szerokością rezonansu Δω = Γ.

17. REZONATORY

Układy drgające stosowane do generacji drgań zwane są się rezonatorami. Bardzo często są nimi układy o stałych rozłożonych (gdzie wszystkie elementy reprezentuje sobą bezwładność, tarcie oraz sprężystość). Rezonator jest ważną częścią wszystkich generatorów drgań. Charakterystyka rezonatora jest rozumiana jako zależność stosunku reakcji rezonatora do pobudzenia w funkcji częstotliwości sygnału pobudzającego. Rzeczywiste charakterystyki rezonatorów to krzywe rezonansowe Lorentza. Klasę generatora wyznacza względny błąd częstotliwości Δω00=Γ/ω0=1/(τ ω0)=1/Q.

18. DRGANIA SPRZĘŻONE, DRGANIA NORMALNE

Weźmy pod uwagę 2 takie same układy drgające - wahadła sprzężone oddziaływaniem sprężystym. Częstotliwość drgań bez sprzężenia ω0=sqrt(g/l), Ω=sqrt(k/M) - częstotliwość drgań pod wpływem siły sprężystej elementu sprzęgającego. Ψ1, Ψ2 - wychylenia mas z położenia równowagi. Równania ruchu d2Ψ1/dt2 = -ω021 + Ω2*( Ψ1 - Ψ2), d2Ψ2/dt2 = -ω022 + Ω2*( Ψ2 - Ψ1). Pierwsze wyrazy po prawej stronie równania są quasi-sprężystymi siłami (po podzieleniu przez M), kolejne wyrazy są siłami sprężyny. Równania nieuwikłane d2ΨΙ/dt2 = -ω02*ΨI , gdzie ΨΙ12; d2ΨΙΙ/dt2 = -(ω022)*ΨII , gdzie ΨΙΙ21; rozwiązania ΨΙ = AI*sin(ωIt+ϕI); ΨΙΙ = AII*sin(ωIIt+ϕII); ωI = ω0; ωII = sqrt(ω02 + Ω2) są drganiami prostymi, nazywa się drganiami normalnymi. Drgania pojedynczych wahadeł wynoszą Ψ1 =(ΨIII)/2, Ψ2 =(ΨIII)/2 są drganiami złożonymi z drgań prostych o przeróżnych częstotliwościach. Jeśli amplitudy AI oraz AII są takie same drgania są dudnieniami. Ogólnie w przypadku sprzężenia N takich samych elementów drgających drgania pojedynczego elementu są złożeniem N drgań o przeróżnych częstotliwościach. Da się wyróżnić N prostych drgań zwanych normalnymi. Drganiom normalnym odpowiadają możliwe fale stojące w układzie.

19. RÓWNANIE FALI, RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI

Fala - przekazywanie zaburzeń z jakiegokolwiek miejsca w ośrodku sprężystym do sąsiednich obszarów niezaburzonych. Za kierunek rozchodzenia się fali oraz współrzędną położenia w ośrodku przyjmuje się oś X, wielkość wytrąceń cząsteczek z położenia równowagi znaczy się przez Ψ. Kształt fali w t=0 a się definiować pewną funkcją f(x). Fala przemieszcza się w ośrodkach z zdefiniowaną szybkością v. W jakimkolwiek momencie czasu równanie fali jest następująca: Ψ =f(x-v*t). Równoważnym równaniem (definiującym identyczną falę) jest równanie: Ψ =g*[t-(x/v)], gdzie g jest odwróconą funkcją f. {RYSUNEK} Fale harmoniczne da się przestawić przy pomocy równania Ψ=A*sin[(2*Π/λ)*(x-v*t)]=A*sin(k*x-ω*t), gdzie k=(2*Π/λ) jest wektorem falowym (λ - długość fali). Kierunek oraz zwrot wektora falowego odpowiada kierunkowi oraz zwrotowi rozchodzącej się fali. W układzie trójwymiarowym w miejscu kx byłoby kr, gdzie r jest wektorem położenia. Natomiast ω=2Πv/λ=2Πν=2Π/T (ν częstotliwość T okres fali), jest zwana prędkością kątową fali albo częstotliwością kątową. v=ω/k

RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI:

δ2Ψ/δx2=1/v22Ψ/δt2 Dany związek definiuje dynamikę ruchu falowego oraz dlatego zwany jest różniczkowym równaniem ruchu falowego. Rozważając przykład fali sprężystej podłużnej w pręcie da się zapisać 2 równania. Pierwsze to druga zasada dynamiki dla konkretnego odcinka δx. ρSδx* δ2Ψ/δt2 = δF - wypadkowa siła wpływająca na odcinek δx pręta { ILUSTRACJA } II równanie to wzór na rozciąganie δΨ odcinka o długości δx na skutek siły F: δΨ/δx=F/(SE) gdzie E moduł Younga substancji. Przekształcając te równania uzyskamy równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest fala: δ2Ψ/δx2=ρ/E*δ2Ψ/δt2. Stała ρ/E jest odwrotnością kwadratu szybkości fali. uzyskując równanie fali tego typu da się powiedzieć, iż mamy do czynienia z falą. Można również wyprowadzić wzory: szybkość fal poprzecznych w strunie v=sqrt(T/τ) T siła naciągu, τ masa jednostki długości; prędkość fal w gazie v=sqrt(κp/ρ) κ=cp/cv współczynnik Poissona, p ciśnienie gazu. Przy wyprowadzaniu tych wzorów przyjmuje sił, iż ośrodek jest jednorodny.

20. ENERGIA FALI

Z ruchem fali poważany jest transport energii mimo, iż nie ma transportu masy. Bierzemy pod uwagę wycinek Δs powierzchni czoła fali w momencie czasu t, biegnącej w kierunku x. W ośrodku po lewej stronie czoła fali cząstki drgają. {ILUSTRACJA} Z ruchem tym powiązana jest energia drgań E Δs. Jest to energia drgań jak przypada na jednostkę objętości ośrodka. Miarą ilości energii transportowanej przez falę jest natężenie I fali, które jest stosunkiem energii ΔE, przeniesionej przez powierzchnię Δs prostopadłą do kierunku biegu fali w czasie Δt do tej powierzchni oraz czasu. jeśli przez Eρ będziemy oznaczać gęstość energii wówczas otrzymamy I= Eρv ; Eρ= ρω2A2/2 Zatem natężenie fali I=ρvω2A2/2=Zu02/2, gdzie Z - oporność falowa ośrodka, u0 - amplituda szybkości drgań. Istotną wielkością która cechuje źródło fali jest jego moc M, zatem prędkość emisji energii w czasie. Natężenie fali w odległości r od źródła jest równe mocy tego źródła do powierzchni przez którą fala przechodzi. I=M/(r2*ΔΩ), ΔΩ - kąt bryłowy. Kiedy źródło fali jest punktowe albo kuliste oraz wysyła falę izotropowo ΔΩ =4*Π. W ośrodkach rzeczywistych energia fali w pewnym stopniu jest wchłaniana oraz zamieniana na ciepło. Ubytek natężenia fali przy przejściu drogi dx będzie wynosił dI=-α*I*dx, po przekształceniu I=I0*exp(-α*x), α − współczynnik pochłaniania fali w ośrodku wprost proporcjonalny do kwadratu częstotliwości oraz odwrotności gęstości ośrodka.

21. DYFAKCJA

Jeśli w ośrodku rozchodzą się 2 albo więcej fal to wypadkowe drgania cząsteczek ośrodka (a zatem i fala wypadkowa) są sumą geometryczną składowych fal. Więc w ruchu falowym obowiązuje zasada superpozycji. Gdy będziemy rozważać przypadek superpozycji 2 fal harmonicznych przemieszczających się w identycznym kierunku, o wektorach falowych k oraz k+Δk niezbyt się od siebie różniących i częstotliwościach ω oraz ω+Δω, to w wyniku nałożenia się tych fal uzyskamy wypadkową falę Ψ=A*sin(k*x-ω*t)+A*sin[(k+Δk)*x-(ω+Δω)*t] = 2*A*cos((Δk/2)*x-(Δω/2)*t)*sin(k*x-ω*t). Wypadkowa fala posiada długość oraz częstotliwość identyczną co fale składowe, jedynie amplituda jest inna. Obwiednia amplitudy posiadają sam charakter fali przemieszczającej się z szybkością Δω/Δk. Szybkość tę nazywa się grupową oraz wyraża się ona wzorem vg=dω/dk. Transport energii w fali złożonej jest powiązany z szybkością grupową przemieszczania się jakby paczek falowych. Natomiast szybkość v=ω/k zwana szybkością fazową nie ma w przypadku fali złożonej ważnego znaczenia. {ILUSTRACJA} vg=v-dv/dλ*λ Wzór ten da się otrzymać przekształcając wzór na szybkość grupową. Ośrodki w których szybkość fazowa jest długości fali zwane są dyspersyjnymi.

22. PACZKA FALOWA

Każda fala rzeczywista w ścisłym sensie nie jest falą harmoniczną, bowiem jest skończona w czasie oraz w przestrzeni, natomiast funkcja harmoniczna jest definiowana dla argumentu +/-nieskończoność. {ILUSTRACJA } Fala skończona w czasie oraz przestrzeni to paczka falowa. Przemieszcza się ona z szybkością grupową. Każda fala rzeczywista która jest paczką falową jest superpozycją fal harmonicznych, da się to zapisać zależnościami: Ψt(x)=∫ {0,∞) c(k)*sin[k*x+ϕ(k)]dk lub Ψx(x)=∫ {0,∞) c(ω)*sin[ω*t+ϕ(ω)]dω, gdzie c(k), c(ω) gęstości widmowe amplitud, natomiast ϕ przesunięcie fazowe konkretnych fal. Widma fal harmonicznych składają się na paczkę falową są bardzo różne w zależności od formy paczki falowej. W przypadku konkretnej fali (z ILUSTRACJA) da się mówić o średniej długości fali λ0 albo okresie T0, czy częstotliwości ω0, ale w takim sensie, iż fala ta jest superpozycją fal harmonicznych o wektorach falowych z zakresu Δk, albo częstotliwościach z zakresu Δω. Zatem iż na te fale składa się pewne widmo fal harmonicznych. Wielkości Δk oraz Δω charakteryzują szerokość widma. {ILUSTRACJA} Długość fali jest tym dokładniej zdefiniowana, im więcej długości fal mieści się w paczce. Ilościowo da się to zapisać w następujący sposób: Δλ/λ00/Δx czyli Δλ/λ02 Δx =1. Uwzględniając , iż w sensie rachunku różniczkowego Δλ/λ02=|Δ(1/λ0)|, a Δ(2*Π/λ0)=Δk otrzymujemy ΔkΔx=2*Π. Tak samo uzyskujemy ΔωΔt=2*Π oraz ΔνΔt=1. Związki te posiadają charakter orientacyjny oraz poprawnie należałoby napisać ΔkΔx>=2*Π i ΔωΔt>=2*Π

23. ANALIZA FOURIEROWSKA FAL

Jeżeli posiadamy jakąkolwiek funkcję (falę) zdefiniowaną w czasie, to da się ją wyrazić jako sumę nieskończonego szeregu funkcji (fal) harmonicznych o częstotliwościach będących wielokrotnościami (harmonicznymi) częstotliwości podstawowej Ψ(t)=Σ{n=1,∞} An*sin(n*ω1t)+ Σ{n=1,∞} Bn*cos(n*ω1t) gdzie ω1=(2*Π)/T1 i An=(2/T1)*∫ {t0, t0+T1} Ψ(t)sin(n*ω1t) dt; Bn=(2/T1)*∫ {t0, t0+T1} Ψ(t)cos(n*ω1t) dt , gdzie t0 jest dowolnym momentem czasu. Jeśli okres czasu powtarzania T1 będzie się powiększać do ∞, uzyskamy przebieg który będzie odpowiadał paczce falowej. Wówczas odległość na skali częstotliwości pomiędzy kolejnymi składnikami sumy szeregów będzie malał do 0 oraz sumę tę trzeba będzie zastąpić całką. Mamy wówczas: Ψ(t)=∫ {0, ∞} [a(ω)*sin(ωt)+b(ω)*cos(ωt)]dω, przy czym a(ω)=(1/Π)* ∫ { −∞, ∞} Ψ(t)*sin(ωt)dt; b(ω)=(1/Π)* ∫ { −∞, ∞} Ψ(t)*cos(ωt)dt. Powyższy wzór da się również zapisać Ψ(t)= ∫ {0, ∞} c(ω)*sin[ωt+ϕ(ω)]dω, gdzie c(ω)=sqrt(a2(ω)+b2(ω)) i ϕ(ω)=arctg [c(ω)/b(ω)]. Całkowita energia fali jest wprost proporcjonalna do całki ∫ { −∞, ∞} Ψ2(t)dt. Spełniony jest związek ∫ { −∞, ∞} Ψ2(t)dt =(1/Π)* ∫ { 0, ∞}c2(ω)dω odzwierciedlający fakt, iż całkowita energia paczki falowej jest sumą energii fal, harmonicznych które składają się na tą paczkę. Wszystkie fale harmoniczne są drganiem, którego energia jest wprost proporcjonalna do kwadratu widmowej gęstości amplitudy c(ω).

24. NAKŁADANIE SIĘ FAL OD ŹRÓDEŁ PUNKTOWYCH

Siatka interferencyjna - n źródeł punktowych położonych w równomiernych odległościach d w linii prostej {ILUSTRACJA} Największe wzmocnienie będzie w tych kierunkach, dla których różnica dróg falowych pomiędzy 2 źródłami jest wielokrotnością λ. Więc powinien być spełniony warunek d*sin(ϕ)=n*λ. Rozważając nakładanie się fal dla innych kątów należy założyć, iż ϕ <<1 rad natomiast różnica dróg pomiędzy kolejnymi źródłami δ i różnica dróg fal Δ pomiędzy skrajnymi źródłami δ=d* ϕ, Δ=(N-1)*d*ϕ. Różnice faz następnych źródeł w stosunku do źródła pierwszego da się pokazać na wykresie kołowym {ILUSTRACJA} δα=2Π*d*δϕ/λ=2Π/N Wartość kąta δϕ, przy którym dochodzi do pierwszego zupełnego wygaszenia δϕ =λ/(N*d). Późniejsze wygaszenia dochodzi dla kątów ϕ równych 2δϕ 3δϕ .. aż dla kąta ϕ1=N δϕ będziemy posiadać I maksimum interferencyjne. Wzór dla charakterystyki kierunkowej ma formę I/Imax=sin2(N*x)/(N2*x2). x=Π*d*sin(ϕ/λ) {ILUSTRACJA} W Przypadku złożenia bez interferencji wypadkowe natężenie będzie wynosić N*I0. W przypadku interferencji wypadkowa amplituda jest sumą amplitud oraz jest wprost proporcjonalna do iloczynu N*sqrt(I0), natomiast wypadkowe natężenie jest fali wynosi N2*I0.

1 2

25. ZASADA HUYGHENSA

Zas. wszystkie punkty, do którego których front fali da się traktować jako punktowe źródło nowej fali, wypadkowy front fali w chwilę potem da się uważać za wynik nałożenia (nakładania się fal od owych źródeł. Tak więc ów otwór trzeba uważać jako płaskie kołowe źródło fali. Fala rozchodząca się za otworem jest definiowana charakterystyką kierunkową : {ILUSTRACJA} Zjawisko to zwane jest ugięciem (dyfrakcją) fali. {ILUSTRACJA } Pewne szczegóły ugiętej fali ukazane są na ilustracji drugiej Tak samo ma się rzecz z otworami o innych formach. Gdyby na drodze płaskiej fali ustawić przesłonę w formie krążka o średnicy D to fala też się ugnie. Kształt ugiętej fali powinien być taki, iż złożona z falą ugiętą na otworze powinna utworzyć falę jakby żadnej przeszkody nie było , zatem falę płaską. Musi to być złożenie z uwzględnieniem faz, zatem fale ugięte na dopełniających się przeszkodach są jakby falami dopełniającymi się. Przy pomocy zasady Huygensa da się łatwo przewidywać formę fali oraz jej rozchodzenie się. Przykładem mogą być konstrukcje geometryczne tłumaczące zasady odbicia oraz załamania.

26. UGIĘCIE FALI NA OBIEKTACH ROZCIĄGŁYCH

Ugięcie fali - zmiana kierunku rozchodzenia oraz zmiany formy powierzchni równej fazy na skutek przesłon oraz przegród na drodze fali. Szczelinę albo rozciągłe źródło o szerokości D da się traktować jako graniczny przypadek siatki interferencyjnej, gdzie N∞, d0 w taki sposób, iż (N-1)*d=D. Da się stwierdzić, iż w kierunku ϕ=0 pojawia się największe wzmocnienia, natomiast dla kąta δϕ=λ/D I pełne wygaszenie. Następnych wygaszeń możemy się spodziewać dla wielokrotności δϕ, kiedy różnica dróg fal od skrajów źródła jest wielokrotnością λ. Istotnym przypadkiem jest otwór kołowy (albo źródło płaskie kołowe). Przebieg charakterystyki kierunkowej jest taki sam do szczeliny, chociaż definiowany funkcją Bessela. Kąt δϕ posiada teraz inną wartość δϕ=1.22*λ/D. Metoda Fresnela analizy ugięcia. Bada się od razu nakładanie się fal w wybranym punkcie. Powierzchnię czoła fali podzielić można na strefy oraz w danym punkcie złożona jest amplituda od poszczególnych stref. Składane amplitudy tworzą spiralę Cornu. Badając falę płaską, da się na jej powierzchni określić koliste strefy Fresnela które się różnią o λ/2 odległością od środka. Przesłaniając jedynie parzyste albo nieparzyste pierścienie uzyskujemy soczewkę Fresnela.

27. ZASADY HOLOGRAFII

Aby zdefiniować powierzchnię falową trzeba podać amplitudę oraz przesunięcie fazowe dla wszystkich punktów powierzchni. W przybliżeniu Fraunhofera dalej propagującą falę pokazuje się jako superpozycję wiązek równoległych o amp. c(ϕ),ϕ - kąt rozchodzenia. Mierząc daleko od źródła wartości c(ϕ) a się dojść do wniosku, iż są one powiązane z amplitudą przekształceniem Fouriera.

Holografia stosuje fakt, iż fala ugięta na obrazie dyfrakcyjnym daje obraz przedmiotu, z którego zarejestrowano obraz dyfrakcyjny. Na kliszy holograficznej fazę fali ugiętej zapisuje się w ten sposób, iż oświetla się kliszę też falą odniesienia o zdefiniowanej fazie, oraz wypadkowe naświetlenie kliszy bierze się z nakładania się fali ugiętej oraz fali odniesienia. Wykorzystuje się odwrotne przekształcenie Fouriera.

28. CHARAKTERYSTYKI KIERUNKOWE NADAJNIKÓW ORAZ ODBIORNIKÓW

Jeśli fala od nadajnika ma być wysyłana równomiernie we wszelkich możliwych kierunkach , wówczas nadajnik powinien posiadać geometrię punktową, Często jednak chodzi o emitowanie fali w konkretnym kierunku. Często wykorzystuje się powierzchnię kolistą. Źródło w formie koła to głośnik, przykładem jest punktowe źródło w ognisku zwierciadła parabolicznego. {ILUSTRACJA} Jeśli źródło punktowe Z ulokuje się w ognisku zwierciadła parabolicznego to promienie odbite od powierzchni utworzą wiązkę równoległa, natomiast drogi promień jest taki sam po dotarciu do płaszczyzny S prostopadłej do osi zwierciadła. Powierzchnia S jest spójnym źródłem fali o formie koła. Odbiorniki (detektory) punktowe fal posiadają (niektóre) charakterystykę czułości izotropową. Jeśli złoży się takie odbiorniki w układ o geometrii siatki interferencyjnej a sygnały od nich będzie się sumować z uwzględnieniem fazy to charakterystyka kierunkowa takiego systemu jest taka sama jak układu nadawczego. Da się ogólnie powiedzieć, iż charakterystyki kierunkowe nadajnika oraz odbiornika o identycznej geometrii są takie same. Przykładami rozwiązań praktycznych, gdzie zagadnienie ostrej charakterystyki kierunkowej jest ważne to odbiorniki sygnałów kosmicznych. Np. radioanteny astronomiczne przy pomocy których ogląda się wszechświat w obrazie fal radiowych o długościach rzędu centymetra. Taka antena musi być wycelowana w konkretnym kierunku nieba tak, by odbierała sygnały które przechodzą jedynie z konkretnego kierunku. W związku z tym konieczna jest ogromna zdolność rozdzielcza kątowa. By uzyskać ogromną rozdzielczość kątową konstruuje się anteny o średnicach tu a nawet i więcej metrów. W ostatnim czasie synchronizuje się do wspólnego odbioru anteny takiego typu pomiędzy sobą pomiędzy obserwatorami odległymi od siebie o 100 kilometrów. Charakterystyka kierunkowa takiego układu jest iloczynem charakterystyki pojedynczego źródła (w tym przypadku zwierciadła parabolicznego) oraz geometrii układu źródeł - ogromna odległość d od siebie. ogromna wartość d (100 kilometrów) w stosunku do λ zapewnia niewielkie σϕ dla układu 2 źródeł w 1 wymiarze. Z kolei charakterystyka paraboliczna zapewnia rozsądna rozdzielczość w pozostałych kierunkach.

29. OPÓR FALOWY OŚRODKA

W ruchu falowym z punktu widzenia opisu fali ważna jest fala wychyleń Ψ oraz szybkość drgań u. Wykorzystując równania opisujące te wielkości i δF/S=δp, δ2Ψ/δt2=δu/δt, otrzymujemy ρδu/δt=δp/δx. Więc p=-u0*ρv*cos(kx-ωt)= -u0*Z*cos(kx-ωt)=Z*u, gdzie u0 - amp. szybkość drgań, Z - opór falowy ośrodka. Natężenie fali I=u*p=u2*Z=p2/Z. Dla fali harmonicznej natężenie fali jest przeróżne w przeróżnych momentach czasu. Mówi się zatem o skutecznych wartościach ciśnienia oraz prędkości drgań I=usk*psk. Dla fal elektromagnetycznych odpowiednikiem fali prędkości jest fala natężeń pola magnetycznego, natomiast ciśnień - fala natężeń pola elektrycznego. Opór Z=sqrt((μ*μ0)/(ε*ε0)). Opór falowy dla próżni dla fali elektromagnetycznej wynosi 377 Ω. W linii długiej opór falowy Z=sqrt(L1/C1).

30. FALA NA GRANICY DWÓCH OŚRODKÓW

Kiedy fala padnie na granicę pomiędzy 2 ośrodkami to w części się odbija natomiast w części przejdzie do 2 ośrodka, przy czym dojdzie do tzw. załamanie fali zdefiniowanego zależnością (sinα/sinβ=v1/v2. Kiedy fala pada prostopadle na granicę pomiędzy ośrodkami, to z zasady zachowania energii I=Io+Ip, Io natężenie fali odbitej, Ip natężenie fali przechodzącej. Oporność falowa ośrodka odpowiednio Z1, Z2. Z ciągłości amplitudy wychyleń, prędkości oraz ciśnień na granicy 2 ośrodków (na granicy wypadkowe wychyleń oraz prędkości cząsteczek i ciśnienia powinny być identyczne w obu ośrodkach) posiadamy: (1) Ψ+Ψo=Ψp, (2) u+uo=up, (3) p+po=pp. Indeksy o oraz p tyczą się fali odbitej oraz przechodzącej. Równania (1) oraz (2) są sobie równoważne. Można zapisać: Ao/A=R=(Z1-Z2)/(Z1+Z22), natomiast dalej Io=R2*I=((Z1-Z2)2/(Z1+Z2)2)*I i Ip=(1-R2)*I=(4*Z1Z2/(Z1+Z2))*I gdzie R jest współczynnikiem odbicia fali. Tak zatem los fali na granicy 2 ośrodków uzależniony jest od względnej wartości ich oporności falowych. W przypadku kiedy Z1=Z2, mamy do czynienia z dopasowaniem ośrodków. Fala w całości przejdzie do ośrodka 2, kiedy opory falowe różnią się, fala w części odbije się, natomiast w części przejdzie Przy czym kiedy Z1>Z2, R>0 , tzn. faza fali odbitej jest zgodna z fazą fali padającej w miejscu odbicia amplituda drgań jest sumą fali padającej oraz odbitej. W przeciwnym wypadku, tzn. kiedy Z12 (ośrodek od którego fala odbija się posiada gęstość większą w stosunku do ośrodka w którym fala się porusza) oraz R<0 faza fali odbitej jest przeciwna do fazy fali padającej, wypadkowe drgania cząsteczek ośrodka są różnicą amplitudy fali padającej oraz odbitej. Kiedy dodatkowo Z1 oraz Z2 bardzo się różnią, wówczas odbicie jest całkowite. Wówczas na granicy pojawiają się drgania największe (strzałki) albo 0 (węzły). Dopasowanie falowe ośrodków albo przeciwnie niedopasowanie jest zawsze ważnym warunkiem skutecznego zastosowania zjawisk falowych. W przypadku źródeł fal dąży się do dopasowania oporu falowego źródła oraz ośrodka, gdzie fala powinna się rozchodzić, by fala była skutecznie wysyłana do ośrodka. Ale np. w radiolokacji (radary) , defektoskopii ultradźwiękowej pożądana jest wyraźna różnica pomiędzy oporem falowym ośrodka oraz obiektu mającego być wykrytym. 2 ośrodki o dowolnie różniących się oporach falowych da się dopasować, jeśli opór pomiędzy nimi będzie maleć w sposób ciągły według zależności wykładniczej.

31. FALA STOJĄCA

Jeśli fala w całości się odbije się na granicy 2 ośrodków, to w rezultacie nakładania się fali padającej Ψ oraz odbitej Ψo uzyskamy fale stojącą. Ψs= Ψ + Ψo =2*A*cos(k*x)*sin(ω*t). Fala stojąca nie jest już właściwie falą, albowiem funkcja definiującą drgania ośrodka nie jest funkcją argumentu (k*x-ω*t). Są to właściwie stacjonarne drgania w czasie (czynnik (sin(ωt)), ale amplituda drgań jest funkcją położenia (czynnik 2*A*cos(k*x)). jeśli opór falowy ośrodka, gdzie fala pada jest większy od oporu falowego, do którego fala wchodzi to na granicy utworzy się strzałka, w przeciwnym wypadku utworzy się węzeł. Jeśli ośrodek , gdzie fala jest stojąca jest ograniczony z obu stron zapewniającymi całkowite odbicie to fala stojąca jest ograniczona z 2 stron Takie układy nazywa się rezonatorami: {ILUSTRACJA } W rezonatorze mogą być fale stojące jedynie takie, gdzie długości fal λn są dopasowane do wymiarów rezonatora L. Dla jednowymiarowych drgań n*(λn/2)=L , gdzie n jest naturalne, albo (λn/2)*(n-1/2)=L. A zatem i dozwolone częstości drgań rezonatora utworzą dyskretny ciąg νn=v/λn=(n*v)/(2*L) albo νn =(v*(n+1/2))/(2*L). W ogólnym przypadku rezonator jest obiektem trójwymiarowym oraz taki sam charakter posiadają fale stojące.

32. NATĘŻENIE, INDUKCJA ORAZ POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO

Na ulokowany w polu elektrycznym ładunek q wpływa siła F. Tę cechę pola definiuje wektor natężenia pola elektr. określany w taki o to sposób E=F/q. Kolejną wielkością która opisuje pole elektryczne jest potencjał. Różnicę potencjałów elektr. definiujemy jako VA-VB = WAB/q gdzie WAB-praca jaką się wykona przy przesunięciu ładunku q z punktu A do B. Na ogół jako punkt A przyjmowany jest pkt. w nieskończoności oraz potencjał w tym punkcie VA przyjmowany jest że wynosi 0. Daje to możliwość to na zdefiniowanie potencjału elektr. w jakimś punkcie. V=W/q gdzie W-praca jest zrobiona by przenieść ładunek q z nieskończoności do jakiegoś punktu. Gdy podstawimy WAB=∫{A,B}Fdl=- ∫{A,B}qEdl zatem VA=- ∫{∞,A} Edl. Indukcja pola elektr. Zjawiskiem indukcji elektrostat. nazywa się zjawisko rozdziału ładunków elektrycznych w przewodnikach. Indukcyjne wartości pola elektr. definiuje wektor indukcji D pola elektr. Określenie tego wektora jest związane z wielkością indukowanego ładunku Dn=Δqind/ΔS=σind , gdzie Dn-składowa normalna wektora indukcji do płytki o powierzchni ΔS gdzie której indukuje się ładunek Δqind , σind -gęstość powierzchniowa ładunku na pow. ΔS Chociaż wektory E oraz D są określone niezależnie od siebie to eksperymentalnie zdefiniowano związek pomiędzy; w próżni D=ε0*E.

33. PRAWO GAUSSA ORAZ JEGO WYKORZYSTANIE

Jeśli jakikolwiek ładunek Q będzie zamknięty w środku przewodzącej powierzchni jakiegoś kształtu to całkowity ładunek zaindukowany przez pole elektryczne (wyprodukowane przez Q) na zewnątrz tej powierzchni jest równy ładunkowi Q. Ponieważ zaindukowany ładunek qind jest równy sumie ładunków Δqind zaindukowanych na niewielkich kawałkach ΔS całej powierzchni a z kolei Δqind=Dn*ΔS da się zapisać qind=∫∫S DndS =Q. Weźmy na przykład ładunek punktowy Q. Produkuje on pole kulisto-symetryczne. Jeśli zatem jako powierzchnię Gaussa S obierzemy powierzchnie kulistą o promieniu r ze środkiem w środku ładunku to składowa Dn=D oraz jest stała na całej powierzchni, zatem z prawa Gaussa ∫∫S DndS =D*4Π*r2=Q skąd D=Q/(4Π*r2) i E=Q/(4Πε0*r2). Skąd wielkość siły wpływającej na ładunek q w odległości r od Q: F=(Q*q)/(4Π*ε0*r2); jest to prawo Coulomba.

34. ENERGIA POLA ELEKTRYCZNEGO

Przy opisywaniu energii pola elektrycznego dobrze jest wprowadzić kondensator, zatem element złożony z 2 okładek, na których da się gromadzić się ładunek elektryczny. Napięcie pomiędzy okładkami jest powiązane z ładunkiem stałą - pojemnością. C=Q/V. Wielkość ta jest uzależniona od geometrii okładek oraz materiału pomiędzy nimi. W procesie ładowania kondensatora wykonywana jest praca. Jeżeli ładunek wynosi q, napięcie q/C to w procesie przeniesienia pomiędzy okładkami następnej porcji ładunku dq praca będzie wynosiła dq*q/C. Stąd całkowita praca przy ładowaniu do ładunku Q: L=1/c*∫ {0,Q} q*dq=Q2/(2*C)=C*V2/2. Wykonana praca jest równa energii potencjalnej nagromadzonej w kondensatorze. Przypisujemy energię zgromadzoną w kondensatorze polu elektrycznemu, zatem równanie na gęstość energii pola elektrycznego Eρ=E*D/2. Energia ładunku elektrycznego Q nagromadzonego w jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R. Gęstość ładunku 3Q/(4ΠR3). Ładunki doprowadza się porcjami dq oraz wzrasta promień r, tak aby gęstość stała. Wówczas (r/R)3=q/Q, a potencjał na powierzchni kulki q/(4Πe0r) = (Q*q2)1/3/(4Πe0R). W końcu energia rozważanego układu równa pracy wykonanej w procesie gromadzenia ładunku (Q*q2)1/3/(4Πe0R) * ∫{0,Q) q2/3dq = 3/5 Q2/(4Πε0R). Takim wzorem oszacować można energię elektryczną jądra.

35. DIPOL ELEKTRYCZNY

Dipolem elektr. pe definiujemy ukł. 2 równych przeciwnego znaku ładunków q oddalonych od siebie o l. Miarą dipola jest jego moment elektryczny pe=q*l. Układ dwóch takich samych co do wartości, ale przeciwnego znaku ładunków elektr. (+Q i -Q) będących się w pewnej odległości l od siebie (np. cząstka o rozsuniętym ładunku elektr., tzw. spolaryzowana); wielkością charakteryzującą dipol elektryczny jest dipolowy moment elektryczny, zdefiniowany jako wektor skierowany od ładunku ujemnego do dodatniego o wartości μ = Q l. Zmiana w czasie elektr. momentu dipolowego - np. na skutek ruchu ładunków elektr. - powoduje wysyłanie fal elektromagnet., zatem emisję tzw. promieniowania dipolowego ; źródłem takiego promieniowania jest także każdy prostoliniowy odcinek przewodnika, gdzie pojawiają się drgania elektryczne.

36. DIPOL ELEKTRYCZNY W POLU ELEKTRYCZNYM

Jeśli weźmiemy pod uwagę siły wpływające na dipol elektr. w polu elektr. jednorodnym to zaobserwujemy, iż wpływa na niego moment siły M=F*l*sinϕ=E*pe*sinϕ <> zapisując wektorowo M=pe x E Moment siły M usiłuje ustawić dipol w kierunku pola. Towarzyszy temu wykonanie pracy ΔL przez pole elektr. ΔL=- ∫{ ϕ1, ϕ2}M*dϕ. Praca ta odbywa się kosztem energii potencjalnej U dipola w polu, zatem U(ϕ2)-U('ϕ1)= -ΔL = ∫{ ϕ1, ϕ2} peEsinϕ∗dϕ = pe*E*(cosϕ2-cos ϕ1). Przyjmuje się, iż U(ϕ=Π/2)=0 wzór na energię potencjalną dipola elektr. w polu elektr. U=-pe*E. Jak można zauważyć w przypadku jednorodnego pola wypadkowa siła wpływająca na dipol jest wynosi 0. W polu niejednorodnym posiadając swobodę ruchów dipol ustawia się wzdłuż linii pola elektr. Dipol produkuje swoje własne pole. Potencjał jest sumą potencjałów od 2 ładunków V(r)=V(r+)+V(r-)=q/(4Πε0)*(1/r+-1/r-)=q/(4Πε0)*(r--r+)/(r-r+). Dla |r|>>|l| V(r)=(pe*r)/(4Πε0*r3). Natężenie pola elektrycznego dipola w przybliżeniu E(r)=pe/(4Πε0*r3).

37. NATĘŻENIE ORAZ INDUKCJA POLA MAGNETYCZNEGO

Oddziaływania magnetyczne przekazywane są przez pole magnetyczne. Pole magnetyczne nie oddziałuje na poruszające się ładunki elektryczne. Nie produkują one pola magnetycznego. Aby powstało pole magnetyczne powinien przemieszczać się ładunek elektryczny; ładunek powinien się przemieszczać, aby wpływało na niego pole magnetyczne. Pole magnetyczne definiują 2 wektory - indukcji B oraz natężenia H. Wektor B definiuje cechy dynamiczne pola oraz jest definiowany przez zależność na siłę F wpływającą na przewodnik o długości L w którym przepływa prąd I. F=I*LxB. (siła ta jest sumą sił wpływających na konkretne elektrony, które przemieszczają się w przewodniku FL=qvxB; jest to siła Lorenza). Wektor natężenia pola definiuje cechy magnetyczne pola. Jest on definiowany przez związek z natężeniami prądu elektrycznego, produkującego dane pole. Linie pola magnetycznego są liniami zamkniętymi. Kierunek oraz zwrot definiuje reguła śruby prawoskrętnej.

38. WZÓR AMPERA

Ilościowa zależność pomiędzy prądem a natężeniem wytworzonego pola magnetycznego to prawo Ampera. Przyjmując dowolny zamknięty kontur l jaki otacza przewodnik z prądem o natężeniu I oraz oznaczając przez Hl składową styczną natężenia pola magnetycznego na odcinku dl tego konturu, mamy ∫ο (Hl dl)=I. Całkowania dokonuje się po całym zamkniętym konturze l. Związek między wektorami H oraz B: B=μ0*H i został ustalony empirycznie. Pole magnetyczne: 1. Dookoła przewodnika z prądem H=I/(2ΠR) 2.Solenoid; pole jest wówczas wewnątrz solenoidu oraz jest ono jednorodne H=Jn/l (J - natężenie prądu w solenoidzie, n - liczba zwojów, l-długość) {ILUSTRACJA}. Kierunek linii pola z reguły śruby prawoskrętnej.

39. RUCH CZĄSTEK NAŁADOWANYCH W POLU MAGNETYCZNYM

Jeśli naładowana ruchoma cząsteczka będzie znajdować się w polu magnetycznym, to będzie na nią wpływać magnetyczny składnik siły Lorenza. Ruch ładunku w polu magnet. uzależniony jest od wartości szybkości i położenia wektorów v oraz B. 1.v=0 v v<>0 i kąt(v,B) = 0 v 180 pole nie oddziałuje na ładunek. 2.v<>0 oraz v prostopadle do B F=qvB. Siła Lorenza jest siłą dośrodkową. Pod wpływem tej siły szybkości ulega zmianie kierunek, ale nie ulega zmianie wartości szybkość - ładunek przemieszcza się ruchem jednostajnym po okręgu. qvB=(Ul*v2)/r r=(Ul*v)/q*B 3.v<>0 i kąt(v,B)= tu ILUSTRACJA. Złożeniem ruchów względem osi OB oraz Ovy jest ruch pospiralny; OB-nie wpływa żadna siła; OVy-siła dośrodkowa powoduje ruch po okręgu Vy=Vc*sin(alfa).

40. DIPOL MAGNETYCZNY

Elementarnym modelem dipola elektrycznego jest pętla z prądem. Wartość dipola definiuje jego moment magnetyczny pm=I*S*n, gdzie I-natężenie prądu w pętli. Układ fizyczny produkujący w przestrzeni takie pole magnet. jak dwa blisko siebie ułożone, przeciwnego znaku masy magnet. (ładunki magnet.; umowne odpowiedniki ładunku elektr. w magnesie trwałym); dipole magnetyczne złożone z mas magnet. w naszym otoczeniu nie pojawiają się, w skali mikroskopowej dipolami magnetycznymi są cząsteczki elementarne o niezerowym → spinie, w skali makroskopowej - magnesy sztabkowe, koliste obwody prądu elektr.; wielkością określają dipol magnetyczny jest dipolowy moment magnetyczny.

41. DIPOL MAGNETYCZNY W POLU MAGNETYCZNYM

W polu magnetycznym wpływa na dipol moment siły M=pmxB i dipol na energię potencjalną U=-pm*B. Dipolem magnetycznym jest również ładunek q który krąży po orbicie kołowej. Wówczas I=q*ν, gdzie v -częstotliwość krążenia. pm=(q/2m)*K, K-kręt, q/2m-stała żyromagnetyczna cząstki. Kręt orbitalny elektronu Kl=h/2Π*sqrt(l(l+1)) l=1,2,3... - orbitalna liczba kwantowa. Zatem moment orbitalny również jest skwantowany. Kręt własny (spinowy) Ks=h/2Π*sqrt(s(s+1)) s=1/2 (dla elektronów, protonów oraz neutronów) - spinowa liczba kwantowa. Cząstki posiadają także własny (spinowy) moment magnetyczny. Naturalna atomowa jednostka momentu magnetycznego μB=(e/2m)*h/2Π=0.9*10-23 A*m2 - magneton Bohra. Wypadkowy kręt K elektronu, równy sumie pędu orbitalnego oraz spinowego, też jest kwantowany. Jeżeli j - liczba kwantowa to K=h/2Π*sqrt(j(j+1)). W molekułach oraz kryształach atomy wiążą się elektronami walencyjnymi na ogół tak, iż momenty spinowe oraz orbitalne znoszą się.

42. ZJAWISKA ORAZ PRAWA INDUKCJI. I RÓWNANIE MAXWELLA

Kiedy ulega zmianie strumień indukcji φB który przenika przez powierzchnię ograniczoną konturem zamkniętego, jednozwojowego obwodu elektrycznego w obwodzie tym indukuje się siła elektromotoryczna εind=-dφB/dt. Znak minus - reguła Lenza. W obwodzie elektrycznym indukuje się pole elektryczne. Iloczyn natężenia tego pola na niewielkim odcinku drogi dl obwodu razy jego długość jest częścią siły elektromotorycznej indukującej się na tym odcinku, natomiast pełna wartość równa jest εind=o∫l εl*dl - całkowanie po całym zamkniętym obwodzie. Istota zjawiska indukcji elektromagnetycznej opiera się na tym, iż cały czas na około zmieniającego się w czasie strumienia indukuje się wirowe pole elektryczne. Ilościowo związek pomiędzy nimi definiuje I równanie Maxwella które mówi, iż całka po dowolnym zamkniętym konturze l iloczynu składowej natężenia pola elektrycznego stycznej do konturu razy niewielki element tego konturu jest równa ujemnej wartości szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego jaki przechodzi przez powierzchnię ograniczoną tym konturem: o∫lEl*dl = dφB/dt = -S∫∫l δBn/δt*dS. Bn jest składową normalną do dS. Inaczej rotB= -δB/δt. Zjawisko indukcji pojawia się także w czasie ruchu względem pola mag.

43. ZJAWISKA UWARUNKOWANE INDUKCJĄ ELEKTROMAGNETYCZNĄ (WYKORZYSTANIE)

Technika prądów zmiennych (podstawa współczesnej energetyki, łączności oraz przetwarzania wiadomości) opiera się na zjawisku indukcji elektrycznej. W szczególności podstawą działania transformatora. Indukcyjność cechuje zdolność obwodu do produkowania strumienia indukcji magnetycznej objętego tym obwodem. Mówi się o strumieniu sprzężonym φBs z obwodem: φBs=L*J, gdzie J - prąd w obwodzie, L - indukcyjność zależna od geometrii obwodu oraz przenikalności magnetycznej materiału. Dla solenoidu L=μμ0Sz2/l, gdzie S, z, l są przekrojem poprzecznym, ilością zwojów oraz długością solenoidu. Dla zmieniającego się prądu εind=-L*dJ/dt. Zewnętrzne źródło prądu powinno zrównoważyć ową siłę elektromotoryczną. Wszystkie obwody posiadają skończony opór R oraz indukcyjność L. Jeśli zatem momentalnie włączy się źródło prądu o sile εz, wówczas równanie dla prądu w obwodzie oraz jego rozwiązanie w funkcji czasu będą wyglądać w następujący sposób: εzind=i*R; i=εz/R*(1-e-t*R/L). Zatem prąd będzie się zwiększał od zera do wartości ustalonej wykładniczo ze stałą L/R. Jeśli pole magnetyczne od prądu z jednego obwodu wnika inny obwód to można mówić o strumieniu indukcji sprzężonym w obwodzie drugim wywołanym prądem obwodu pierwszego. Mówi się o indukcji wzajemnej L. Ogromną wartością L cechują się transformatory.

44. RÓWNANIA MAXWELLA

I równanie Maxwella definiuje zjawisko indukcji elektromagnetycznej oraz informuje nas, iż całka po dowolnym zamkniętym konturze l iloczynu składowej natężenia pola elektrycznego stycznej do konturu razy niewielki element tego konturu jest równa ujemnej wartości szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego jaki przechodzi przez powierzchnię ograniczoną tym konturem : ∫o{l}Eldl = dΦB / dt = - ∫∫{(S)l} (∂Bn / dt)*dS. II równanie Maxwella informuje nas, iż pole mag. Na około przerwy pomiędzy okładkami kondensatora jest identyczne jak na około przewodnika oraz jest definiowane związkiem: ∫o{l}Hldl = S*(dDn / dt) = dΦe / dt = ∫∫{(S)l} (in + ∂Dn / dt)*dS. Następne 2 równania tyczą się wektorów indukcji. Równaniem III jest prawo Gaussa: ∫∫o{s]DndS = ∫∫∫{(V)S}(ρ)*dV. Równanie czwarte informuje nas, iż nie ma ładunków magnetycznych, zatem całka z wektora indukcji pola magnetycznego po powierzchni zamkniętej jest wynosi 0: ∫∫o{s]BndS = 0. Mówiąc inaczej, linie indukcji pola mag. są zamknięte. Równanie piąte oraz szóste to związki pomiędzy D oraz E i B oraz H: D = εε0*E , B = μμ0*H.

podstawowe równania klas. teorii pola elektromagnetycznego:

1→→→+∂∂=jtDHrot 2 tBErot∂∂−=→→ 3div 4 ρ=→D0=→Bdiv

(E - pole elektr., H - pole magnet., B - indukcja magnet., D - indukcja elektr., →→=∂∂prjtD- gęstość prądu przesunięcia, j - gęstość prądu elektr., _ - gęstość ładunku elektr.; równania Maxwella pokazują ścisły związek pomiędzy polem elektr. oraz magnet.: (1) pole magnet. uzależnione jest od wywołującego je prądu elektr., (2) pole elektr. może być bezźródłowe oraz wyprodukowane jedynie przez zmienne w czasie pole magnet., (3) źródła pola elektr. znajdują się w punktach, gdzie są ulokowane ładunki elektr., (4) pole magnet. jest cały czas polem bezźródłowym. Pola elektr. oraz magnet. są dwoma różnymi formami pola elektromagnetycznego. Głównym wnioskiem jaki wynika z równań Maxwella jest występowanie fal elektromagnet. (wykryte eksperymentalnie 1886 przez H. Hertza); na równaniach Maxwella opiera się cała nauka o elektryczności i dziedziny techniki powiązane z produkowaniem, przekazywaniem oraz stosowaniem energii elektr. oraz fal elektromagnet.; definiowane 1864 przez J.C. Maxwella.

45. EMISJA FALI PRZEZ PRZEMIESZCZAJĄCY SIĘ ŁADUNEK

Ładunki przemieszczające się ruchem zmiennym produkują fale elektromagnetyczną. Jeśli ładunek Q przemieszcza się z przyspieszeniem a to według rozwiązania równań Maxwella pomijamy dodatkową składową blisko ładunku fala elektromagnetyczna w odległości R od ładunku ma kierunek oraz zwrot wektora r taki jak R. Z praktycznego punktu widzenia jest fala wysyłana przez drgający ładunek. Taki charakter posiadają promienie wysyłane przez drgający ładunek. Taki charakter posiada prom. wysyłany przez atomy oraz molekuły w postaci promieniowania podczerwonego widzialnego , rentgenowskiego.

46. EMISJA FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ PRZEZ DIPOL ELEKTRYCZNY

O ile ładunki które spoczywają produkują jedynie pole elektrostatyczne, natomiast przemieszczające się jednostajnie produkują dodatkowo pole magnetyczne, to przemieszczające się ruchem zmiennym produkują falę elektromagnetyczną. Stwierdzenia te odkryte są w równaniach Maxwella. Jeśli ładunek Q przemieszcza się z przyspieszeniem a, to wg rozwiązania równania Maxwella, pomijając dodatkową składową blisko ładunku, fala elektromagnetyczna w odległości r od ładunku ma kierunek oraz zwrot wektora n taki jak r. Wartości natężenia pola elektrycznego mona pokazać na podstawie wzoru E(t) = [Q*n×(n×a)]/[4*π*ε0*c2*r(t')], czyli E(t) = [Q*a(t')*sinθ]/[4*π*ε0*c2*r(t')]. n - jest wektorem jednostkowym wektora położenia r. Wartość pola w momencie czasu t jest zdefiniowana przez sytuację ładunku chwili wcześniejszej t'=t-r/c o czas r/c, jaki konieczny jest polu elektromagnetycznemu, by przebyć odległość od ładunku do tego miejsca. Istotnym przypadkiem jest fala wysyłana przez drgający ładunek.

Pole magnetyczne wysyłane przez drgający z amplitudą l ładunek Q jest identyczne jak wysyłane przez drgający dipol pe=Q*l. Taki charakter posiada większa część przypadków promieniowania wysyłanego przez atomy oraz molekuły w postaci promieniowania podczerwonego, widzialnego, rentgenowskiego, promieniowania gamma wysyłane przez wzbudzone jądra. Również anteny nadawcze fal radiowych. Amplituda natężenia pola elektrycznego fali równa się: E0=(pe2*sinθ)/(4*π*ε0*c2*r), i natężenie fali =(Eo*Ho)/2=(1/2)*Eo2*sqrt(eoo)=(pe24)/(32π2o*c3*r2)*sin2θ. Całkując po całej powierzchni kuli o promieniu r uzyskujemy moc P. emisji fali elektromagnetycznej przez drgający dipol: P=∫ {0, π}(*2π*r2*sinθ)*dθ=(pe24)/(12π*εo*c3).

47. OBWÓD ELEKTRYCZNY O STAŁYCH ROZŁOŻONYCH

Na ogół przyjmuje się, iż napięcia oraz prądy we wszystkich częściach obwodu elektrycznego są determinowane przez aktualną wartość siły elektromotorycznej która zasila obwód. W istocie pole elektryczne od zacisków siły SEM przemieszcza się z prędkością światła wzdłuż obwodu. Dlatego napięcie oraz prąd w obwodzie, w odległości l od ogniwa, w momencie czasu t, są determinowane przez siły SEM w momencie czasu t-r/c. W przypadku siły SEM harmonicznej, która zasila obwód stanowiący długą linie, tworzy się wzdłuż linii fala napięcia oraz prądu. Prąd przepływa również, kiedy obwód jest rozwarty na końcu. Wówczas, kiedy długość obwodu jest dopasowana do długości fali, po odbiciu fali napięcia oraz prądu na rozwartym końcu tworzą fale stojące. Jeśli obwód zasila źródło zmienne o natężeniu Iosin(ωt), dopasowanym tak, iż długość ramienia l wynosi 1/4 dł. fali powiązanej z częstotliwością ω, wówczas w obwodzie tworzy się stojąca fala prądu. Prąd jest w takim obwodzie równoważny drganiom dipola o wartości : pe=qef*λ/4 gdzie qef=∫{0,T/2}(Io*sin(ωt))dt=2Io/ω. Taki obwód wysyła fale elektromagnetyczną (jak dla dipola). Moc wysyłanej fali : P=π*Io2/(12π*εo*c) Jest to antena nadawcza nazywana dipolem.

48. ANTENY DIPOLOWE ELEKTRYCZNE ORAZ MAGNETYCZNE

Antena dipolowa elektryczna - patrz końcówka p. 57. Typową odmianą anteny nadawczej typu dipol jest wykorzystywana jedynie jednego ramienia w formie masztu. Powierzchnia naszej planety jest dla pola elektromagnetycznego pow. ekwipotencjalną, zatem linie pola anteny układają się tak jakby pow. Naszej planety była zwierciadłem, gdzie jest odbicie anteny tworzącej pozorny obraz brakującej części obwodu.

Falę elektromagnetyczną wysyła również drgający dipol magnetyczny. Wzór na natężenie pola magnetycznego takiej fali jest następujący: E0=(pm2*sinθ)/(4*π*c2*r). Moc takiego źródła w wersji technicznej (pętla o powierzchni S zasilana prądem zmiennym o natężeniu I0) równa się: P=Io24*S2/(12π*εo*c5). Kiedy promień r pętli jest taki, iż λ=2π*r, wzór upraszcza się do wzoru P=π*Io2/(12π*εo*c).

49. SPÓJNE ORAZ NIESPÓJNE ŹRÓDŁA ŚWIATŁA

Światło wysyłane jest przez pojedyncze wzbudzone atomy jakie pochodzą do stanów podstawowych. Przejścia te są niezależne od siebie, zatem światło wysyłane przez przeróżne atomy jest wzgl. siebie niespójne. Wzbudzone atomy które sąsiadują ze sobą posiadają warunki synchronizacji emisji, ale skuteczność tej synchr. będzie maleć razem ze wzrostem odległości między nimi. Spójne są źródła o rozmiarach porównywalnych, ale mniejszych od długości fali świetlnej . Naturalne spójne źródła światła posiadają rozmiary prawie 1μm. Niezależnie od rozmiarów D źródła oraz jego niespójności fala w pkt. A ma zdefiniowaną fazę która wynika z nałożenia się fal od całego źródła. We wszystkich momentach czasu faza w punktach które sąsiadują ze sobą nie może być radykalnie inna, natomiast różnica jaka bierze się z różnicy faz promieni które dochodzą od źródła. W szczególności max różnica faz promieni mierzona w różnicy dróg fal pomiędzy promieniami jakie padają na ekran d w pkt. A oraz B wynosi : δr = Dsinδϕ = Dδϕ Jeśli jest ona dużo mniejsza od λ to oraz różnica faz w pkt. A oraz B jest dużo mniejsza od 2π, a zatem cały obszar d jest w przybliżeniu oświetlony spójnie. Pon. δϕ=d/L ostatecznie warunek na spójność będzie wyglądał w następujący sposób: Dd << λL. Przykładem światła spójnego jest laser. Jego cechy to: -kąt ugięcia dyfrakcyjnego wiązki 1cm: =2D=5*10-5rad (dwukrotne rozszerzenie po 400m);-jeśli wiązkę lasera skupimy soczewką do średnicy 0,5 mm, to amplituda wzrośnie nam czterdzieści razy (stosunek przekrojów poprzecznych) natomiast natężenie jak kwadrat amplitudy: 1600razy.<>

50. NAKŁADANIE SIĘ FAL NA CIENKICH WARSTWACH

a) to bieg jednego promienia rozciągłego niespójnego źródła S (sposób prążków równego nachylenia). Promień ten padnie na płytkę oraz częściowo odbija się w formie prom (1) natomiast częściowo załamie się oraz odbije się od 2 ściany płytki oraz wychodzi jako (2). Promienie te są spójne wzg. siebie (są z jednego intefer.). Warstwa D powinna być bardzo cieniutka; różnica dróg: Δ=n(AB+BC) AD Δ=2dncosβ Fala przy odbiciu od ośrodka gęstego zmienia fazę o Π.

b) to interferencja na cieniutkim klinie (sposób prążków o równej grubości). Promieni (1,2) z punkt. źródła światła po odbiciu nakładają się jako promienie (1',2') ale jedynie na powierzchni klina <>

51. POMIAR DŁUGOŚCI FALI SIATKĄ INTERFERENCYJNĄ

Siatka interferencyjna - n źródeł punktowych położonych w równomiernych odległościach d w linii prostej {ILUSTRACJA} Największe wzmocnienie będzie w tych kierunkach, dla których różnica dróg falowych pomiędzy 2 źródłami jest wielokrotnością λ. Dlatego powinien być spełniony warunek d*sin(ϕ)=n*λ. Rozważając nakładanie się fal dla innych kątów trzeba założyć iż ϕ <<1 rad natomiast różnica dróg pomiędzy następnymi źródłami δ i różnica dróg fal Δ pomiędzy skrajnymi źródłami δ=d* ϕ, Δ=(N-1)*d*ϕ. Różnice faz kolejnych źródeł w stosunku do źródła pierwszego a się pokazać na wykresie kołowym {ILUSTRACJA} δα=2Π*d*δϕ/λ=2Π/N Wartość kąta δϕ, przy którym dochodzi do pierwszego zupełnego wygaszenie δϕ =λ/(N*d). Później wygaszenia następują dla kątów ϕ wynoszących 2δϕ 3δϕ .. aż dla kąta ϕ1=N δϕ będziemy posiadać I maksimum interferencyjne. Wzór dla charakterystyki kierunkowej ma formę I/Imax=sin2(N*x)/(N2*x2). x=Π*d*sin(ϕ/λ) {RYSUNEK} W Przypadku złożenia bez nakładania się fal wypadkowe natężenie wynosi N*I0. W przypadku nakładania się fal wypadkowa amplituda jest sumą amplitud oraz jest wprost proporcjonalna do iloczynu N*sqrt(I0), natomiast wypadkowe natężenie jest fali wynosi wówczas N2*I0.

52. ZJAWISKO DYFRAKCJI ORAZ INTERFERENCJA W URZĄDZENIACH OPTYCZNYCH

Luneta-promienie zostają skupione w płaszczyźnie ogniskowej F w pkt. świetlnym który byłby obrazem pkt. S1. Soczewka obiektywu posiada skończoną średnicę D zatem promień ugina się tak jak na otworze o śr. D. Możemy wówczas mówić iż rozmycie kątowe obrazu P1 pkt. S1 jest równe co najmniej δϕ=1,22λ/D (ugięcie 0 rzędu) Jeśli od innego źródła S2 biegnie promień pod kątem Δϕ to utworzy się zbliżony obraz P2 punktu S2. Jeśli Δϕ jest <= δϕ to obrazy zleją się (nie będziemy w stanie rozróżnić źródeł S1 oraz S2). Lunetą da się wyróżnić 2 źródła jeżeli ich odległość kątowa Δϕ >=1,22λ/D. Jest to graniczna rozdzielczość kątowa lunety (oraz innych urządzeń optycznych). Przy powiększaniu średnicy obiektywu D powiększa się proporcjonalnie do D2 strumień światła natomiast powierzchnia plamki jest odwr. proporcjonalna do D2 kiedy jasność plamki jest proporcjonalna do D4 W przypadku mikroskopu ze wzgl. na konieczność pozyskiwania większych powiększeń liniowych oraz zbierania jak największej ilości światła, odległość pom. przedmiotem a obiektywem są prawie równe ogniskowej (możliwie minimalna) a średnica ob. bliska ogniskowej. Najmniejszy rozróżniany szczegół δx odpowiada sytuacji kiedy δx/f=1,22λ/D więc: δx=λ Falą nie jest w stanie "oglądać' przeszkód o rozmiarach porównywalnych i <λ. Przedmiot oglądany pod mikroskopem złożony jest z kilku szczegółów, z których wszystkie w jakimś stopniu przepuszczają światło (albo odbijają). Gdyby te drobiny były rozłożone równomiernie, to będziemy mieć swoistą siatkę dyfrakcyjną - należałoby jedynie odnaleźć stałą siatki oraz geometrię rozkładu. Przedmiot ukazany na ILUSTRACJI oglądany jest przez soczewkę O. We właściwym miejscu utworzy się obraz rzecz. odwrócony (normalne dla mikroskopu. Wiązki interferencyjne "które wychodzą" z przedmiotu (przedmiot to jakaś "siatka dyfrakcyjna) skupiają się w płaszczyźnie ogniskowej soczewki-tworzą obraz interferencyjny, gdzie zawarta jest wiadomość o przedmiocie - da się definiować jego formę oraz rozmiar. Obraz ten (interferencyjny) jest tak samo użyteczny jak i geometryczny (odpowiednio: odwzorowanie Abbego I oraz II rodzaju).<>

53. PRAWA KIRCHOFA DLA PROMIENIOWANIA CIEPLNEGO

Bierze się ono od atomów, cząstek oraz całych struktur atomów w ciałach, jest wysyłane kosztem ich energii promieniowania cieplnego. Dlatego też jego intensywność uzależniona jest od temperatury ciała. Weźmy pod uwagę odizolowaną grupę ciał, które się ze sobą nie stykają, znajdują się w dodatku one w równowadze cieplnej w temp. T. Wymiana ciepła dochodzi przez wysyłanie oraz wchłoniecie promieniowania cieplnego. Prom. cieplne, które wypełnia przestrzeń na około ciała w równowadze posiada również przypisaną temp. T oraz zwane jest ono równoważnym promieniowaniem. W równowadze ilość energii wysyłanej oraz absorbowanej jest identyczna. Warunek równowagi termodynamicznej (prawo Kirchoffa) E=a*I [E - natężenie emisji (zdolność emisyjna) a - współczynnik absorpcji I - natężenie padającego prom.]. Promieniowanie cieplne złożone jest z prom. o ciągłym rozkładzie oraz częstotliwości ν. Gęstość widmowa prom. cieplnego Ini oraz gęstość widmowa zdolności emisyjnej Eν wyrażone są następującą zależnością : I=∫(0 ∞)Iνdν E=∫(0 ∞) Eν dν , stąd Eν=aν*Iν Wszelkie wielkości są fkc. temp. Ciało doskonale czarne to takie, gdzie aν=1; tzn. zdolność emisyjna takiego ciała jest równa natężeniu promieniowania zrównoważonego w konkretnej temperaturze. Zdolność emisyjna jest wprost proporcjonalna do 4 potęgi temperatury bezwzględnej ciała (prawo Boltzmanna); I=σ*T4 σ-stała Boltzmanna. Wysyłanie promieniowania to zasadnicza metoda utraty ciepła. Prędkość utraty ciepła przez promieniowanie wyraża się wzorem: ΔQ/ΔT=a*S*σ(T04-T4) S - pow. ciała T0 - temp. otoczenia. WIEN pokazał, iż pomiędzy długością fali λm , która odpowiada maksimum widma oraz temp. T jest następująca zależność: λm*T=2.898*10-4K*m.

54. WZÓR STEFANA-BOLTZMANA

w 1879 roku Stefan pokazał eksperymentalnie, iż zdolność emisyjna ciał jest wprost proporcjonalna do 4 potęgi temperatury bezwzględnej ciała I=ó*T4. 5 lat po tym eksperymencie Boltzmann uzasadnił tą zależność nazwano ją prawem Stefana-Boltzmaza, na gruncie termodynamiki. Ó=5.67*10-8W/(m2K4) - stała Stefana-Boltzmana.

55. HIPOTEZA FALOWA de BROGLIE'a

Mechanika ciał nie jest adekwatna do opisu świata mikrocząsteczek. Wskazaniami do dobrego rozwiązania były pewne analogie. Z optyki geometrycznej zdajemy sobie sprawę, iż promień świetlny pokonuje drogę pomiędzy 2 zdefiniowanymi punktami po konkretnym torze, który spełnia prawo załamania światła. W połowie osiemnastego wieku, kiedy to przeważał pogląd o korpuskularnej naturze światła, tor promienia świetlnego utożsamiany z torem cząsteczek świetlnych. Wówczas Fermat zdefiniował zasadę która tyczyła się toru promienia świetlnego pomiędzy jakimikolwiek punktami w 2 ośrodkach przez które przechodzi promień ∫(1 2)nds=min; n- współczynnik załamania. W obrazie falowym tory promieni są kierunkami rozchodzenia się fal, natomiast powierzchnie prostopadłe do nich są pow. równej fazy. Jako że n=c/v lub n=λ/λm , w związku z tym zasadę Fermata możemy zapisać w następujący sposób min=∫(1 2) ds/ λm=∫(1 2)dt. 100 lat po tym zdarzeniu Maupertuls zdefiniował bardzo zbliżoną zasadę wariacyjną w mechanice: ∫(1 2)pds= min(p- pęd ciała, ds- fragment drogi). Gdy wyjdziemy z równania fali świetlnej będziemy mogli (przy warunku optyki geometrycznej λ dąży do 0) uzyskać równanie elikonału, które wyznacza tor promienia (elikonat - faza fali), np. dla fali płaskiej ma formę (kx-ω*t). Ruch pkt. materialnego da się zdefiniować równanie Hamiltona-Jacobiego, które to ma formę elikonału. Ale zamiast elikonału pojawia się tu pewna funkcja S nazywana działaniem w przypadku ruchu jednowymiarowego równanie Hamiltona-Jacobiego: (1/2m)*(∂s/∂x)^2+V(x)=∂s/∂t, gdzie s=(px-Et). Przeszkodą w wykryciu falowej natury światła jest niewielka dł. fal świetlnych. Jeśli skojarzy sobie związki pomiędzy λ,p,f i E dla fal świetlnych-fotonów i analogie pomiędzy alikonałem (faza(kx-ω*t) oraz działaniem (px-E) możemy dostrzec pewne podobieństwa. W 1923 de Broglie zdefiniował hipotezę fal natury(?). Na podstawie niej ruch cząstek jest zdefiniowany falą, której dł. λ oraz częstotliwość f posiadają związek λ=h/p; h - stała Plancka, p - pęd; f=E/h. Idea ta nie odnalazła na początku uznania pośród fizyków. Dopiero za sprawą prac teoretycznych Schrodingera oraz Heissenberga, gdzie oni je zdefiniowali (niezależnie mechaniki kwantowej, hipoteza stała się godna uznania. W 1919 Darisson oraz inni zaczęli analizy rozproszenia elektronów o energiach rzędu stu eV od powierzchni metali-metali polikrystalicznych. Eksperymenty pokazały, iż natężenia wiązki elektronów rozproszonych uzależnione jest od orientacji płytki, wart. prądu elektronów rozproszonych uzależniony jest w sposób oscylujący od kąta ϕ. Zaczęto analizy na monokryształach. W 1925 r. zwrócono uwagę na dyfrakcję wiązki elektronów na sieci kryształu tak samo jak promieni rtg. Darisson z Germerem dokonali eksperymentów. Obrano sobie do doświadczeń kryształ niklu, który posiada budowę kubiczną scentrowaną powierzchniowo. Kryształ wycięto oraz zorientowano tak, iż wiązka elektronów będzie padała prostopadle na płaszczyznę tzn. kierunek wiązki która pada będzie pokrywać się z podstawową przekątną komórki elementarnej. Wyniki pomiarów: a)zależność natężenia prądu w funkcji nap. U dla kąta rozproszenia ϕ=500 oraz kąta azymutowego α=900 Maksimum odpowiada energii elektronów 51eV. Zatem długość fali elektronów λ=h/p=h/sqrt(2mUe)=16,7nm. Wyniki da się wytłumaczyć interpretując ugiętą wiązkę elektronów jako rezultat nakładania się fali elektronów od rzędów atomów odległych o d. Warunkiem nakładania się fal jest d*sinϕ=n. Układ maksimów da się wytłumaczyć: układ atomów które są odległe o d, przy obrotach na około osi prostopadłej do płaszczyzny (z ilustracji którego nie ma) powtarza się co sześćdziesiąt stopni oraz stąd biorą się następne maksima. Ich rozdzielenie posiada (?) pliki niższe oraz wyższe-pełna symetria kryształu przy takich obrotach powtarza się dopiero co sto dwadzieścia stopni. Przeprowadzane były również inne doświadczenia, autorem jednego z nich był Polak - Szczeniawski.

56. FUNKCJA WŁASNA CZĄSTKI, JEJ CECHY

Równanie Schrodingera daje możliwość wyznaczyć funkcję falową jakiegoś stanu oraz w rezultacie zdefiniować prawdopodobieństwo odnalezienia się cząsteczki w konkretnych (?) przestrzeni. W równaniu Schrodingera pojawia się jako parametr-całkowita energia cząsteczki. Jeżeli chodzi cząsteczki swobodne o energii E przemieszczającej się z pędem p w kierunku osi X funkcja definiująca cząsteczkę posiada formę: Ψ=A*exp[(i/h)*(px-Et)] gdzie i-jednostkowa liczba urojona, A-amplituda. Gdy wiemy iż, λ=h/p da się zapisać równanie Ψ=...jak wyżej napisać Ψ=A*exp[i(kx-ω*t)]; (k=2π/λ -wektor falowy cząstki). Gdy wiemy iż, eiz=cos(z)-i*sin(z) da się wyrazić się w funkcji Ψ możemy dopatrzyć się podobieństwa z warunkiem fali, w ten sposób iż: A-amplituda, exp[(1/h)(px-Et)] jest sumą czynników fali postaci harmonicznej (rzeczywistego oraz urojonego). Funkcja Ψ nazywana jest funkcją własną oraz definiuje stan kwantowy cząsteczki. Znaczenie oraz rola funkcji własnej w mechanice kwantowej jest taka sama jak fali harmonicznej płaskiej w ruchu falowym. Sens fizyczny funkcji Ψ: Więc kwadrat modułu tej funkcji, tzn. |Ψ|2=ΨΨ* (Ψ*jest sprzężone do Ψ) jest gęstością prawdopodobieństwa odnajdowania się cząsteczki w jakimś miejscu tzn. |Ψ|2dxdy jest prawd. przebywania cząsteczki w objętości. Z warunku, iż cząsteczka gdzieś jest na pewno bierze się warunek unormowania funkcji: ∫∫∫(-∞ +∞)ΨΨ*dxdydz=1. Jeśli kilka takich samych identycznych cząsteczek definiuje 1 funkcja falowa, wówczas gęstość cząsteczek jest wprost proporcjonalna do ΨΨ*, np. foton. Gęstość energii promieniowania jest wprost proporcjonalna do gęstości fotonów. Zatem ,natężenie fali świetlnej wprost propor. do gęstości fotonów zatem do |Ψ|2. Promieniowanie da się również opisać falą elektromagnetyczną. Wówczas natężenie promieniowania przedstawia się przez kwadrat modułu fali. Zatem funkcja definiująca falę świetlną jest wprost proporcjonalna do funkcji własnej fotonu. ILUSTRACJA: {wygląda to prawie tak: ¦<¦>¦ 1 ścianka ze szczeliną S, za szczeliny wydostają się 2 promienie r z indeksem S1 dojdzie do szczeliny pierwszej w 2 ściance, r z indeksem S2 do szczeliny drugiej; ze szczelin pierwej oraz drugiej wydostają się promienie odpowiednio r1, r2 oraz dochodzą one do szczeliny p w 3 ściance.} Szczelina S jest źródłem cząsteczek o zdefiniowanej energii E oraz pędzie p wysyłanych we wszelkich możliwych stronach. Funkcja własna cząsteczki która przechodzi od szczeliny S do szczeliny pierwszej jest równa: Ψ(S→ 1)=A*exp[(i/h)(p*rs1 -Et)]. Kwadrat modułu A2 jest prawdopodobieństwem tego przejścia. Jesteśmy w stanie również zdefiniować prawdopodobieństwa przejścia cząsteczki od S przez szczelinę pierwszą do P: Ψ(S→1→-P)=Ψ(S→1)Ψ(1→P) z prawdopodobieństwa |Ψ(S→1→P)|2=|Ψ(S→1)|2|Ψ(1→P)|2. A teraz 2 cecha. Niech będzie szczelina druga. Tak samo da się wyrazić amplitudę prawdopodobieństwem Ψ(S→2→P). Cała amplituda prawdopodobieństwa będzie równa Ψ(S→P)=Ψ(S→1→P)+ Ψ(S→2→P), natomiast prawdopodobieństwo tak samo. Jeśli stan cząsteczki jest sumą paru podstanów, wówczas funkcja własna cząsteczki nie jest równa sumie prawdopodobieństw cząstkowych, ale jest równe kwadratowi modułu sum amplitud prawdopodobieństw. W rezultacie jesteśmy w stanie posiadać efekty interferencyjne Ψ(S→1→-P)=A1'exp[(i/h)(p*rs1 -Et1')]*A1''exp[(i/h)(p*r1 -Et1'')] i Ψ(S→2→P)=A2'exp[(i/h)(p*rs2-Et2')]*A2''exp[(i/h)(p*r2 -Et2'')] Czasy t oraz amplitudy A są odstępami czasów oraz amplitudami w trakcie przebywania przez cząsteczkę przeróżnych odcinków dróg: t1'+t1''=: t2'+t2''. Zakładamy :rs1= rs2= rs A1'A1''= A2'A2''=A; w związku z tym,: Ψ(S→P)=A*exp(i/h)(p*rs-Et) *exp(i/h)p*r1*[1+exp(i/h)p*(r2-r1), natomiast prawdopodobieństwo |Ψ(S→P)|2=A2*[2+exp(i/h)p*(r2-r1)+exp-(i/h)p*(r2-r1)], oznaczając p/h=2π/λ=k; r2-r1=Δr po przekształceniach |Ψ(S→P)|2=2A2[1+cos(k*Δr)=4A2 cos2(k*Δr/2). Rozkład prawdopodobieństw trafienia cząsteczki w przeróżne miejsca ekranu jest interferencyjny.

57. ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

Jest to jedno z głównych twierdzeń mechaniki kwantowej; mówi ono, iż nie da się z jakąkolwiek dokładnością definiować równocześnie wartości par pewnych wielkości fizycznych charakteryzujących układ, do którego opisu wykorzystuje się mechanikę kwantową; parami takimi są np. położenie oraz pęd cząsteczki, energia E oraz czas t, gdzie energia ta została zmierzona; najmniejszy możliwy iloczyn niepewności w wyznaczaniu takich cech nie może być mniejszy aniżeli = h/2π, a zatem Δ xΔp ≥ ( x - współrzędne położenia, p - odpowiadająca jej składowa pędu, h - stała Plancka) oraz ΔEΔ t ≥ ; zasada nieokreśloności Heisenberga jest wyrazem → dualizmu falowo-korpuskularnego.

Amplituda prawdopodobieństwa cząsteczki Ψ o energii E oraz pędzie p przemieszczającej się prostoliniowo wzdłuż osi OX wyraża się taką o to zależnością Ψ=A*exp[i(kx-ω*t)]. Jako że A jest wielkością stałą, to ΨΨ*=A2 w obszarze od -∞ do +∞ Ułożenie cząsteczki jest w przedziale od -∞ do +∞ Można sobie wyobrazić iż funkcja falowa Ψ która definiuje realną cząsteczkę powinna być zlokalizowana w przestrzeni tak samo jak możliwe ułożenie cząsteczki jest więcej albo mniej zlokalizowane. Na konkretnym przykładzie cząsteczka przemieszcza się w kierunku osi X z szybkością V. Funkcja falowa ma formę taką jak na ilustracji (2) a to jest paczka falowa. Ostatni wykres pokazuje gęstość prawdopodobieństwa bycia cząsteczki w konkretnym miejscu. Gdy sprawdzimy koncepcję paczki falowej ze względu na szybkość otrzymamy: Vfaz =ω/k=E/p. Jeżeli E=p2/2m to Vfaz=V/2, gdy E=mc2 to Vfaz=c2/V. Szybkość grupowa paczki falowej równa jest Vgr=d ω/dk=dE/dp=V. Zatem rzeczywiście funkcje falowe realnych cząsteczek są paczkami falowymi. Gdy uwzględnimy związek pędu z wektorem falowym oraz częstotliwości z energią otrzymamy Δx*Δpx>=h; Δt*ΔE>=h. Zależności te nazywane są zasadami nieoznaczoności Heissenberga(1930). Dla 3 wymiarów posiadamy Δy*Δpy>=h; Δz*Δpz>=h; px py pz- składowe pędu. Im cząsteczka, a zatem także i funkcja własna lepiej zlokalizowana w przestrzeni tym składa się na nią coraz to szersze widmo pędów co znaczy ,iż pęd cząstki posiada zdefiniowaną nieoznaczoność. Również im czas trwania Δt cząsteczki jest krótszy tym większe jest rozmycie (nieoznaczoność) energii cząsteczki. Zasady nieoznaczoności są zakodowane w prawa przyrody oraz zjawiska w świecie mikrocząsteczek istotniejsze przykłady działania zasad nieoznaczoności to: a)związek pomiędzy czasem życia τ atomu w stanie wzbudzonym oraz rozmyciem ΔE wartości energii atomu w tym stanie τ*ΔE≅h. Identyczne rozmycie posiada foton. Nieoznaczoność częstotliwości fotonu Δτ=ΔE/h=1/τ. W stanie podstawowym atom jest w stanie przebywać jak tylko chce długo tzn. τ jest dowolnie duże, zatem rozmycie energii poziomu podstawowego wynosi 0; b)cząsteczki elementarne nietrwałe, gdzie czas życia równy jest τ. Wówczas energia spoczynkowa cząsteczki krótko żyjącej posiada naturalne rozmycie ΔE=Δm0 c2 =h/τ, a zatem masa spoczynkowa cząsteczki krótko funkcjonującej posiada naturalne rozmycie; c)próba pomiaru ułożenia oraz pędu cząsteczki z dokładnościami większymi od możliwych według zasad nieoznaczoności: elektrony przyspieszane nap. U(EK=e*U) oraz skolidowane otworem s w przesłonie są uformowane w wiązkę, która przemieszcza się w kierunku osi Y. Składowa py =sqrt[2meU]. Jeśli elektron wyleci ze szczeliny s posiada jakąś składową pędu Δpx , to jego tor utworzy kąt α z osią Y tak, iż tgα=Δ px/ py i elektron nie jest w stanie trafić w szczelinę o szer. Δx przesłony ustawionej w odległości ΔL, jeśli tgα> Δx/2L. Składowa Δpxmusi mieścić się w przedziale ±ΔpY *Δx/2L. Gdy będziemy zwiększać L oraz pomniejszać Δx zmniejszymy również nieoznaczoność ułożenia elektronu. jeśli na ekranie dojdzie do rozbłysku to będzie on spowodowany elektronem, który posiadał nieoznaczoność pędu Δpx=Δx*pY/2L. Elektron doleci do szczeliny Δx zdefiniuje falę płaską z długością λ=h/py. W szczelinie Δx funkcja falowa elektronu ulegnie ugięciu, a zatem i elektron ulega ugięciu. Kąt ugięcia równy będzie Δϕ=λ/Δx. Zaistniało rozmycie pędu: Δpx=py * tgΔϕ ≅ pY*λ/Δx, gdyż λ= h/pY to Δx* ΔpY ≅ h. Ogólnie twierdzenie Heisenberga informuje nas, iż: iloczyn nieokreśloności wartości 2 zmiennych sprzężonych nie może być co do rzędu wielkości mniejszy aniżeli stała Plancka. Energia oraz czas także są wielkościami kanonicznie sprzężonymi. A zatem dla nich również słuszny jest związek nieoznaczoności: ΔE*Δt>=h/2 gdzie h to jednostkowa liczba urojona.

58. EFEKT TUNELOWY

Kiedy cząsteczka padnie na uskok potencjału większy niż energia całkowita cząsteczki to według przewidywań mechaniki klasycznej cząsteczka zostanie odbita, natomiast według mechaniki kwantowej równanie Schrodingera (prawa strona): (∂2ΨP /∂x2 )-q2ΨP =0, q=sqrt[2m(U-E)/h], natomiast rozwiązanie ogólne: ΨP=a*exp(qx)+b*exp(-qx). Składowa exp(qx) nie ma sensu fizycznego, albowiem funkcja ΨP wzrastałaby do nieskończoności. Przyjmuje się zatem jako rozwiązanie: ΨP =b*exp(-qx), ΨL =A*exp(ikx)+B*exp(-ikx) dla A=1. Z warunku ciągłości Ψ i ∂Ψ/∂x w miejscu x=0 posiadamy 1+B=b, i*k z ind. l*(1-B)=-bq. Gdy rozwiążemy układ uzyskamy B=(1-i*sqrt(U/E-1))/(1+i*sqrt(U/E-1)), b=2/(1+i*sqrt(U/E-1)) B=1, zatem cząsteczka na 100% się odbije, ale także i wniknie do obszaru 'zakazanego', gdzie energia potencjalna jest większa od całkowitej. Fala odbita oraz padająca w obszarze L utworzy falę stojącą. Kiedy cząsteczka nalatuje na barierę potencjału, to jako że energia E jest mniejsza od wysokości bariery, zatem na podstawie praw mechaniki klasycznej cząsteczka powinna się odbić. Rozwiązania są identyczne jak dla przypadku powyżej omawianego. Prawdopodobieństwo odnalezienia się cząsteczki w miejscu o współrzędnej x=a jest równe |b|2 *exp(-2qa). Jako że dalej energia cząsteczki jest większa od potencjalnej, cząsteczka jest w stanie swobodnie przemieszczać się w prawo. Zatem według mechaniki kwantowej cząsteczka może przeniknąć przez barierę energii potencjalnej większej od energii cząsteczki. Zjawisko to nazywa się efektem tunelowym(1928). Prawdopodobieństwo przenikania C2 jest równe prawdopodobieństwu przeniknięcia cząsteczki w barierę energii potencjalnej na głębokości a. W przybliżeniu C2≅exp(-2qa). Prąd prawdopodobieństwa cząsteczki która pada powinien być równy sumie prądu prawd. przejścia oraz odbicia, natomiast szybkość cząsteczki jest po 2 stronach bariery identyczna. W związku z tym B2+C2=1. Prawdopodobieństwo wniknięcia bariery potencjału przez cząsteczkę zwane jest współczynnikiem przeźroczystości T bariery jest istotną wielkością. W ogólnym przypadku bariera posiada jakikolwiek kształt Wówczas jesteśmy w stanie całą barierę dzielić na wąskie prostokąty. W zgodzie z zasadami rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo T przenikania całej bariery jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przenikania kolejnych prostokątów. W granicy posiadamy wzór na współczynnik przeźroczystości bariery potencjału: lnT=(2/h)*∫(xa xb ) (sqrt(2m(U-E)dx).

59. CZĄSTKA W STANIE ZWIĄZANYM

Główne pomiary mechaniki kwantowej które tyczą się cząsteczki w stanie związanym czyli cząsteczki uwięzionej w dole energii potencjalnej. Jeśli mowa o cząsteczce w stanie związanym to wówczas mamy na myśli układ 2 cząsteczek które przeciągają się, których w sumie energia jest mniejsza od sytuacji, kiedy cząsteczki są oddzielone od siebie. Zachowanie tego układu definiuje się masą zredukowaną przemieszczającą się w polu sił oddziaływania pomiędzy realnymi cząsteczkami. Centrum pola sił jest we wnętrzu masy cząsteczek realnych, natomiast samo pole powinno posiadać kształt dołu energii potencjalnej. Zatem wszystkie cząsteczki będą na ogół masą zredukowaną. Jeśli układem jest jądro oraz elektron który krąży na około niego, to masą zredukowaną jest elektron, natomiast jądro jest w centrum siły. Jeśli układem są 2 takie same atomy które w dodatku się przyciągają oraz tworzą cząsteczkę, to masa zredukowana wynosi połowę masy 1 atomu oraz chwilowe położenia atomów wynosi ±r/2; r- położenie masy zredukowanej od centrum siły. Bardzo prostym przypadkiem do przeliczenia jest tzw. nieskończona studnia potencjału. U=0 w 0<0 i L>0. Cząsteczka nie jest zatem w stanie przebywać w obszarze x<0 i x>L tzn. Ψ=0. Za to w obszarze studni tzn. 02 Ψ/∂x2)+k2Ψ=0, k2=2mE/h2. Rozwiązanie ogólne: Ψ=A*exp(ikx)+b*exp(-ikx). Jako że w miejscach x=0 x=L energia potencjalna będzie dążyć do nieskończoności, funkcja własna cząsteczki powinna wynosić 0. W tych miejscach nie ma wykorzystania warunek ciągłości 1 pochodnej funkcji Ψ. Wówczas otrzymujemy A+B=0. Stąd Ψ=2A*isin(kx). Rozwiązanie równania Schrodingera można szukać w formie przeróżnej od fal biegnących tzn. wyrazów typu exp(±ikx). Racjonalne jest rozwiązanie ogólne Ψ=A*sin(kx)+B*cos(kx) (A,B-dowolne stałe). Z warunku Ψ(x=0)=0 otrzymujemy szczególne rozwiązanie B=0 i Ψ=A*sin(kx). Gdy Ψ(x=L)=0 uzyskujemy, iż wektor fazowy k nie jest w stanie mieć jakichkolwiek wartości, natomiast jedynie takie by kn =(π/L)*n tj., pęd: pn*L=(h/2)*n n=1,2,3...(n-liczba kwantowa). Jest to charakterystyczny warunek dla fali stojącej. Jakiekolwiek stany kwantowe cząsteczki oraz jej funkcje własne są dyskretne Ψn =An *sin(kn *x). Z warunku unormowania ∫{0 L} Ψn2dx=1 uzyskujemy A=sqrt(2/L). Energie cząsteczki w dozwolonych stanach wynoszą En =(h22*n2)/2mL2 . W przypadku prostokątnej studni potencjałów dla nas interesujące jest rozwiązanie w formie fal biegnących. Mowa tu o sytuacji : molekuły gazu w pojemniku o wymiarach L3 albo elektronu przewodnictwa w metalu. Model nie skończonej studni potencjału jest bardzo bliski, ale trudno w tych momencie pogodzić się z modelem fali stojącej. Rozwiązanie zatem może mieć następującą formę Ψn =An *exp(ixkn ). Warunki brzegowe definiuje się tak, aby rozwiązanie było w pełni okresowe. W fali biegnącej wszystko powtarza się w przestrzeni oraz odstępach λ oraz w związku z tym w studni powinna się mieścić całkowita wielokrotność długości fali kn =2π/L; pn*L=hn n=±1,±2... W przestrzeni pędów ilość dozwolonych stanów skwantowanych jest identyczna jak wyżej podanych przypadków. Rozwiązanie dla fal biegnących w 3 wymiarach: Ψ=Ψxyz ,E=suma E z indeksami jak powyżej; p2 =h2 *k2 =suma p z indeksami jak powyżej.

60. GESTOŚĆ STANÓW KWANTOWYCH

Układ który składa się z nie poruszającego się jądra o ładunku Ze (ilość całkowita) oraz przemieszczającego się na około niego elektronu dla Z >1 nazywa się jonem wodoropodobnym, dla Z=1 stanowi on atom wodoru. Energia potencjalna elektronu U=(-2e2)/(4Πεor),gdzie r-odległość elektronu od jądra. Więc równanie Schrödingera będzie wyglądało w następujący sposób :∇2Ψ+{2m/h2 }*(E+2e2 /(4Πεor))Ψ=0. Pole, gdzie przemieszcza się elektron jest polem centralnym. Gdy będziemy posługiwać się sferycznym układem współrzędnych(r,ϑ,ϕ).Gdy natomiast skorzystamy z operatora Laplace'a dla współrzędnych sferycznych uzyskamy: 1/r2*[d/dr](r2[dϕ/dr])+r/(r2sinϑ[d/dϑ])(sin[ϑ[dϕ/dϑ])+1/(r2sin2ϑ)*[d2ϕ/dϕ2]+2me/h2*(E+2e2/(4Πεor))r=0 równanie posiada rozwiązanie jednoznaczne ,skończone oraz ciągłe dla : a.)E>0 ,kiedy elektron przeleci niedaleko jądra oraz oddali się znowu do ∞. b.)dla dyskretnych ujemnych wartości En=-moe42Z/(32Π2ε2oh2n2. Funkcje własne tego równania posiadają 3 parametry które są liczbami całkowitymi(n,l,m).Opis n-liczba kwantowa główna n=1,2,3,...,∞ ,powiązana z energią na orbicie ; l-liczba kwantowa poboczna (azymutalna albo orbitalna) powiązana z momentem pędu na orbicie oraz formą elipsy l=0,1,2,...,n-1 ; m-magnetyczna liczba kwantowa m=-l,(-l+1),...,0,...,+l powiązana z rzutem momentu pędu na orbicie na kierunek pola magnetycznego. Wszystkie kombinacje dozwolonych liczb kwantowych n,l,m są zbiorem jakichkolwiek współrzędnych elektronu w atomie oraz definiuje dozwolony stan kwantowy elektronu w atomie(atom wodoru jest w stanie posiadać 1 oraz taką samą wartość energii gdy znajduje się w paru przeróżnych stanach; w atomie nie są w stanie być 2 elektrony o takich samych wszelkich 4 liczbach kwantowych). Elektron ma również swój moment pędu Ks który nazywa się momentem spinowym albo krótko spinem: Ks=hsqrt(1/2(1/2+1)). Wszystkie typy cząstek posiadają swoje charakterystyczny spin (s). Zatem 4 liczbą kwantową definiują stany elektronu w atomie jest spin s=±1/2 ,który powiązany jest z rzutem spinu elektronu na kierunek pola. Moment pędu orbitalny KL elektronu oraz spinowy Ks definiują całkowity moment pędu Kj=KL+Ks. Okazało się również, że Kj jest skwantowany wg zasady Kj=hsqrt(j(j+1)) ,j=l-1/2,l+1/2. Liczba kwantowa całkowitego momentu pędu (j) przyjmuje dla pewnego l 2 wartości ze względu na 2 różne orientacje spinu. Ze wzoru na En możemy zauważyć ,iż energia elektronu uzależniona jest jedynie od głównej liczby kwantowej n. Gdy uwzględnimy efekty relatywistyczne okaże się ,iż energia ta uzależniona jest również w niewielkim stopniu od liczby kwantowej j: En,j=En[1+(α2Z2/n)*(1/(j+1/2)-3/4n)] ,gdzie α to stała struktury subtelnej. Energie stanów kwantowych w atomach wieloelektronowych uzależnione są i to bardzo wyraźnie od l. Stany o takich samych energiach nazywa się zdegenerowanymi ,natomiast liczbę przeróżnych stanów o takich samych wartościach -krotnością degradacji. Ilość przeróżnych stanów odpowiada danemu n równa Σ(2l+1)=n2 .

W przestrzeni pędów 1 stan kwantowy będzie zajmował objętość: (deltap)3=(h/L)3=h3/V, gdzie V jest objętością. Da się teraz wyliczyć ilość stanów kwantowych w jednostkowym przedziale energii, zatem gęstość widmową stanów kwantowych . W przedziale pędów p, p+dp to jest w warstwie kulistej o objętości 4pi2*dp ilość stanów dN wynosi : dN=4pi2*dp/(deltap)3 zatem po uwzględnieniu początkowego wzoru i po zmianie p, dp na E,dE otrzymamy: f(E)=dN/dE=2pi(2m)3/2E1/2V/h3. Da się zatem wyliczyć całkowitą ilość stanów w przedziale od zera do p albo E: N=(4/3)pi*p3V/h3=(4/3)pi(2mE)3/2V/h3.

61. BOZONY, FERMIONY, ZAKAZ PAULIEGO

BOZONY są to cząsteczki albo układy cząsteczek które podlegają statystyce Bosego-Einsteina , czyli o spinie równym całkowitym wielokrotnościom ( = h/2π, h - stała Plancka); jądra o parzystej liczbie nukleonów, mezony, fotony.

FERMIONY są to cząsteczki albo układy cząsteczek które podlegają statystyce Fermiego-Diraca czyli o spinie równym nieparzystej wielokrotności (=h / 2π; h - stała Plancka): elektrony, neutrina, nukleony, hiperony, jądra atomów o nieparzystej liczbie nukleonów.

PAULIEGO ZASADA, zakaz Pauliego, główna zasada fizyki współczesnej, na podstawie której w układzie który jest złożony z takich samych cząsteczek o → spinie połówkowym nie może być dwóch cząsteczek które będą się znajdowały w identycznym stanie kwantowym; w atomie nie może być zatem dwóch elektronów scharakteryzowanych takimi samymi liczbami → kwantowymi ; w związku z tym np. w najbliższej jądru powłoce (n = 1) mogą być jedynie dwa elektrony o przeciwnie skierowanych spinach; w miarę powiększania się ilości elektronów w atomie powinny one posiadać coraz to wyższe poziomy energ., dzięki temu będą zapełnione kolejne powłoki (→ atom); zasada Pauliego definiuje prawidłowości w konstrukcji powłok elektronowych w atomie oraz tłumaczy budowę subtelną oraz nadsubtelną widm atomowych.

62. ENEGRIA FERMIEGO.

Trudności fizyki klasycznej w próbach wytłumaczenia cech gazu elektronowego biorą się z faktu, iż gaz elektronowy w metalu jest zwyrodniały, czyli trzeba cech kwantowych. Rozwiązanie kwantowe ruch elektronu przewodnictwa w metalu w bardzo prostej postaci jest zagadnieniem cząsteczki swobodnej w studni potencjału. 1 stan kwantowy będzie zajmował w przestrzeni pędów objętość h3/V, gdzie V jest objętością metalu. Stany o energii (ruchu) ε w przestrzeni pędów, utworzą powierzchnię kuli o promieniu (pędzie) p=(2*m*ε)1/2. Gdy oczywiście uwzględnimy, iż wszystkie stany są 2 razy zdegenerowany z uwagi na spin elektronu, ilość stanów kwantowych elektronów, w przedziale energii dε będzie równa f(ε)*dε=(8πp2*dp)/(h3/v)=4πV(2m/h2)3/21/2*dε. Jako, że elektron podlega zakazowi Pauliego, nawet w 0 bezwzględnym będzie zajętych kilka niższych stanów kwantowych, by wszelkie elektrony były w stanie się mieścić. Jeśli w metalu jest N elektronów, to jest zajęta kula pędów o promieniu pF takim, by w jej objętości mogło się zmieścić N/2 komórek h3/V. Czynnik 2 bierze się ze spinu. W temperaturze zero K elektrony zajmują wszelkie najniższe stany, zatem N=24/3π*(pF)3*(V/h3), pF=(h/2)*(3N1/π)1/3, F0=(pF)2/(2m)=(ħ2/2m)*(3π2N1)2/3 są zajęte wszelkie stany aż do energii F0 zwanej energią Fermiego. Jako że gęstości elektronów N1 w metalach są rzędu 1022 cm-3 wartość F0 to kilka eV. Całkiem inaczej zatem aniżeli w fizyce klasycznej , nawet w temperaturze zera K elektrony przewodnictwa posiadają duże energie ruchu. Cechując energię Fermiego prościej da się powiedzieć, iż jest to konieczna energia ruchu wynikła z ciasnego upakowania elektronów. Istotnie średnia odległość pomiędzy elektronami, a zatem i przedział położeń elektronu jest równa N1-1/3, Z zasady nieokreśloności Heisenberga można wywnioskować p≥h*N11/3, albo energia ε≥h2 N12/3/2m≈4*F0. Obsadzenie stanów kwantowych przez elektrony definiuje statystyka Fermiego-Diraca. W temperaturach wyższych niż zero K pojawia się jedynie niewielkie rozmycie rzędu kT energii widma obsadzonych stanów niedaleko energii Fermiego. Wzór na energię F, dla której statystyka wynosi ½, kiedy kT jest dużo mniejsze od F0; F= F0[1-(π2/12)*(kT/F0)2]. Tę energię też zwie się energią Fermiego; odpowiada ona ułożeniu potencjału chemicznego, zwanego w takich momentach poziomem Fermiego.

63. II ZASADA TERMODYNAMIKI.

1) prawo które stanowi podstawę termodynamiki, definiowane na kilka przeróżnych sposobów. Pierwsza zasada termodynamiki jest prawem zachowania energii dla układów termodynamicznych; na podstawie tego prawa, jeżeli nie pojawia się transport masy, przyrost energii wewn. ΔU układu w jakimkolwiek procesie wynosi sumę ilości ciepła Q, jakie jest doprowadzane do układu, i pracy A , która jest wykonana nad układem podczas tego procesu: Δ U = Q + A. We współcz. ujęciu termodynamiki pierwsza zasada termodynamiki traktowana jest jako postulat występowania energii wewn.; z pierwszej zasady termodynamiki bierze się niemożność skonstruowania → perpetuum mobile I rodzaju.

2) druga zasada termodynamiki definiuje nieodwracalność procesów makroskopowych jakie przebiegają ze skończoną szybkością. W definiowaniu W. Thomsona (1851) zasada ta wygląda w następujący sposób: jest niemożliwe pobieranie ciepła jedynie z 1 źródła (termostatu) i zamiana go na pracę bez wprowadzania innych zmian w układzie oraz otoczeniu. We współcz. termodynamice drugą zasadę termodynamiki definiuje się jako prawo wzrostu → entropii : w układzie odosobnionym wszelkie procesy zachodzą w tak, iż entropia układu rośnie; z drugiej zasady termodynamiki bierze się niemożność konstruowania perpetuum mobile II rodzaju.

3) trzecia zasada termodynamiki, tzw. zasada Nernsta-Plancka informuje nas, iż entropia ciała zbliża się do 0, kiedy temperatura tego ciała będzie zbliżała się do 0 bezwzględnego; na początku definiowana w 1906 przez W.H. Nernsta; ostateczną formę nadał jej 1912 M. Planck; można z niej wywnioskować niemożność uzyskania 0 bezwzględnego.

Czasami do zasady termodynamiki dokłada się jeszcze 0 zasadę termodynamiki, która mówi że 2 ciała które znajdują się w równowadze cieplnej z 3 ciałem są również w równowadze cieplnej pomiędzy sobą; z zasady tej można wywnioskować, iż warunkiem równowagi cieplnej układu fiz. jest równość temperatury wszelkich ciał które należą do tego układu. Czwarta zasada termodynamiki jest niejednokrotnie zwana zasadą → Onsagera.

64. POMPA CIEPLNA.

POMPA CIEPLNA, pompa ciepła, pompa grzejna, przyrząd do przenoszenia ciepła (tak samo jak w obiegu chłodniczym, → termodynamiczny obieg) ze źródła o mniejszej temperaturze (np. powietrza zewn., wody jeziora, gruntu) do ośrodka o większej temperaturze (m. in. pomieszczenia); wyróżnia się pompy cieplne sprężarkowe (które pobierają energię mech.) oraz absorpcyjne (które pobierają ciepło); pompy cieplne wykorzystuje się do nagrzewania 1 ośrodka przy jednoczesnym chłodzeniu drugiego (m. in. w klimatyzacji, destylacji wody, nagrzewaniu pomieszczeń. Wykorzystanie pompy cieplnej daje możliwość na wykorzystanie → ciepło odpadowe. Na początku wiadomości na temat możliwości wykorzystania pomp cieplnych do nagrzewania zdefiniował W. Thompson. Aktualnie na świecie eksploatuje się prawie kilkanaście milionów pomp cieplnych.

65. STATYSTYCZNE OPISYWANIE RÓWNOWAGI TERMODYNAMICZNEJ

Jeśli posiadamy N molekuł, gdzie każda posiada stopnie swobody oraz znajduje się ona w stanie równowagi termodynamicznej ponieważ ilość mikrostanów całego układu o energiach mniejszych od U=εiN wynosi Φ(U)=ϕiN ,U-energia wewnętrzna układu. Liczba Φ(U) jest ogromna, jeżeli np. obierzemy sobie za oś skalę energii układu to poziomy energii stanów kwantowych całego układu byłyby ułożone bardzo gęsto. Odległości pomiędzy tymi poziomami byłaby znacznie mniejsza niż nieokreśloności dU energii wewnętrznej układu. Za ilość stanów kwantowych Ω układu będziemy wówczas mogli przyjąć ilość stanów kwantowych układu w przedziale naturalnego rozmycia energii układu dU: Ω(U)=(∂Φ/∂U)*δU=ϕiN-1(dϕ/dε)δU albo lnΩ(U)=iN*lnϕ; Jeśli W jest prawdopodobieństwem zdefiniowania stanu makroskopowego układu to wynosi ono W=Ω/Ωt , gdzie Ω- odpowiada konkretnemu stanowi ilość stanów kwantowych, natomiast Ωt -wszelkie ewentualne stany kwantowe jakiegoś układu w zdefiniowanych warunkach. Stan równowagi termodynamicznej jest stanem gdzie W uzyskuje wartość maksymalną. Jeśli posiadamy 2 układy: układ A o energii U oraz układ A' o energii U' wówczas układy razem wzięte utworzą nam układ A^ o energii U^=U+U' odizolowany od zewnętrznych wpływów tzn. U^ i Ωt + są wielkościami stałymi. Prawdopodobieństwo iż układ A posiada energię U wyraża się następującym wzorem W(U)= Ω(u)^/Ωt^=const*Ω^(U), gdzie Ω^(U)-ilość stanów kwantowych całego układu A^. Równanie to da się napisać także w formie: lnW(U)=const+lnΩU)+lnΩ'(U^-U). Stanowi równowagi termodynamicznej odpowiada maksimum W: ∂(lnW)/∂U=0. Po przekształceniu (∂U=-∂U') [∂(lnΩ)/∂U]V =[∂(lnΩ')/∂U']V .Warunek stałej objętości bierze się z faktu, iż układy są jedynie w kontakcie cieplnym a ich objętości są stałe. Wówczas Ω jest jedynie funkcją U. Pochodna (∂(lnΩ)/∂U przy stałej objętości jest wielkością która charakteryzuje układ oraz w równowadze termodynamicznej posiada identyczną wartość dla wszelkich podukładów kontaktujących się cieplnie. Zatem temperatura jest wielkością, której wartość zostaje identyczna we wszelkich częściach układu zatem [∂(lnΩ)/∂U]V=1/(kT); k-stała Boltzmana, kT=(ε-ε0)/α. Ostatnie równanie wyraża zasadę ekwipartycji energii.

66. ENTROPIA.

Cechy: Jeżeli jakiś układ pobiera w temp. T ilość ciepła deltaQ wówczas przyrost entropii układu będzie równy dS=deltaQ/T, w dowolnym procesie termodynamicznym przyrost entropii układu odosobnionego jest dodatni albo wynosi zero ds.>=0 ale znak nierówności odnosi się do procesów nieodwracalnych, a znak równości do procesów odwracalnych, entropia układu który składa się z wielu niezależnych części jest równa sumie entropii tych części.

Jesteśmy w stanie podjąć próbę obliczenia skończonej zmiany entropii układu deltaS=deltaQ/T przy skończonej wymianie ciepła, np. gazu w cyklu Carnota. Ciepło jest wymieniane jedynie w procesach izotermicznych, zatem zmiana entropii w procesie pierwszym w drugim sprowadza się do zmiany deltaQ1/T1 w procesie pierwszym w 1' oraz tak samo jest z procesem drugi w pierwszy. Całkowita zmian entropii gazu po pełnym cyklu (odwracalnym ) wynosi: deltaS(1 w 2 w 1)=deltaS(1 w 2) +delatS(2 w 1)=deltaQ1/T1-deltaQ2/t2=0. Jeśli w procesie kołowym zmiana entropii układu wynosi 0, wówczas entropia jest jednoznaczną funkcja stanu tak samo jak pozostałe funkcje termodynamiczne które mają tę cechę. Tak samo zatem do formy zapisu pierwszej zasady termodynamiki różniczkowy zapis zmiany entropii będzie wyglądał w następujący sposób: ds=różniczkaQ/T. W układzie odizolowanym, jeśli biegną jakieś procesy termodynamiczne to są nieodwracalne, entropia będzie wzrastać aż układ uzyska stan równowagi termodynamicznej procesy ukierunkowane zanikają entropia będzie miała wartość największą. Ogólny wzór na zmianę entropii w procesie odwracalnym: dS=n*Cv*dT+T*(różniczkap/różniczkaT)v*dV.

67. ROZKŁAD KANONICZNY GIBBSA

Jeśli posiadamy 2 układy: układ A o energii U oraz układ A' o energii U' oraz w dodatku przyjmiemy założenie iż układ A' jest dużo większy od układu A. Prawdopodobieństwo, iż układ jest w stanie kwantowym j równa się W(j).Oczywiście wówczas Ω=1.Natomiast U'=U^-Uj gdzie Uj jest energią układu A w stanie kwantowym j. Jako, że Uj<j)= lnΩ'(U^)-(∂lnΩ'/∂U')Uj=lnΩ'(U^)-Uj/(kT). lnΩ' (U') jest wielkością stałą zatem w końcu uzyskujemy W(j)=C*exp(-Uj/(kT))=(1/Z)*exp(-Uj/kt). Jest to tzw. rozkład kanoniczny Gibbsa (1901 r.) W(j) jest prawdopodobieństwem iż układ w stanie równowagi termodynamicznej jest w stanie kwantowym j. C-stała; T - temp. otoczenia, z którym układ kontaktuje się cieplnie. Rozkład kanoniczny Gibbsa tyczy się układów makroskopowych gdyż założymy wcześniej iż stany kwantowe kontaktujących się ze sobą układów A oraz A' są statystycznie niezależne. W dodatku należy założyć iż układ A' jest dużo większy niż A.

68. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA BOLTZMANA

Ciekawe jest zagadnienie w jakich warunkach rozkład kanoniczny Gibbsa da się odnieść do pojedynczej cząsteczki, kiedy prawdopodobieństwo iż cząsteczka jest w wybranym stanie kwantowym j nie jest uzależniona od stanu kwantowego reszty układu, a zatem od stanu pozostałych cząsteczek w układzie. Tak jest kiedy dozwolona ilość stanów kwantowych jakie ma do dyspozycji 1 cząsteczka w układzie jest dużo większa od ilości cząsteczek. Ilość stanów kwantowych uzależniona jest od przedziałów pędów ΔpX , ΔpY i ΔpZ cząsteczki według wzoru ΔΩ=V(ΔpX+ΔpY+ΔpZ)/h3 gdzie h=6.6*10-34 Js jest stałą Plancka. Energia kinetyczna w przybliżeniu wynosi kT zatem pęd cząsteczki wynosi sqrt(mkT),przedziały pędów ΔpX =ΔpY=ΔpZ są równe pędowi cząsteczek stad warunek by ilość cząsteczek była znacznie mniejsza niż ilość stanów kwantowych 1 cząsteczki N/V=N1<<((mkT)3/2)/h3 . Nierówność ta jest spełniona dla wszelkich prawie typów substancji oraz ich stanów skupienia w warunkach ziemskich. Zatem w przypadkach które spełniają tą nierówność wzór na kanoniczny rozkład Gibbsa da się wykorzystać gdyż suma prawdopodobieństw W(j) po wszelkich dozwolonych stanach kwantowych powinna wynosić jeden . Wzór ten da się również zapisać w formie: W(j)=(1/z)exp(-εj/(kT)); εj -energia cząsteczki w stanie kwantowym j, Z=Σ{j} exp(-εj /(kT))-suma stanów. Wzór ten zwie się rozkładem prawdopodobieństwa Boltzmana (1877 r.).Jeśli w układzie posiadamy N cząsteczek wówczas średnia ilość cząsteczek w stanie kwantowym j wynosi: nj=NW(j)=NZexp(-εj/(kT))=exp((kTlnN-kTlnZ-εj/(kT)); kTlnN-kTlnZ=μ jest potencjałem chemicznym cząsteczki. W rezultacie nj=exp((μ-εj)/(kT)).Jest to tzw. statystyka Boltzmana wzór na średnią ilość cząsteczek w stanie kwantowym.

69.STATYSTYKI KWANTOWE

Statystyki to średnie obsadzenie stanów n=ni/gi, gdzie ni to liczba cząsteczek w stanach o energii ei, natomiast gi to waga statyczna albo stopień zdegenerowania poziomu energii ei.

W rezultacie statystyka Fermiego-Diraca (F-D) definiująca fermiony ma formę: nf=1/(e(e-ni)/kT+1). Statystyka ta odgrywa ogromną role w opisywaniu elektronów przewodnictwa w metalu oraz elektronów w atomie. W tej statystyce zostało przyjęte zwać potencjał chemiczny poziomem Fermiego. Łatwo podsumować, iż w 0 bezwzględnym obsadzenie stanów jest równe 1 dla wszelkich energii mniejszych niż poziom Fermiego cząsteczki oraz wynosi 0 dla większych. 2 statystyka Bisego-Einstaina (B-E) definiująca bozony: nb=1/(e(e-ni)/kT-1). W tej statystyce potencjał chemiczny musi być ujemny. We wzorach n jest średnia ilość cząsteczek w 1 stanie kwantowym, którego energia równa jest e.

Wszystkie układy fizyczne w stanie równowagi posiadają najniższą z możliwych energii. W atomie elektrony rozłożone są na przeróżnych podpoziomach. Sytuację tę wytłumaczył Pauli. Zdefiniował on prawo (Zakaz Pauliego),które informuje nas, iż w atomie nie może być więcej aniżeli 1 elektron w 1 stanie kwantowym. Uogólniając to prawo uzyskujemy tzw. statystyki kwantowe. Cząsteczki elementarne podzielić można na 2 grupy ze względu na wartość spinu. Cząsteczki ze spinem połówkowym s=1/2(elektron, proton, neutron) zwane są fermionami. Własnością która charakteryzuje tą grupę jest zasada, iż w układzie, w 1 stanie kwantowym może być jedynie 1 cząsteczka danego typu. Cząstki ze spinem całkowitym utworzą 2 grupę (foton=1,mezon s=0).Są zwane bozonami. Są w stanie nagromadzić się w 1 stanie kwantowym w dowolnej ilości oraz im więcej jest cząsteczek w 1 stanie tym większe jest prawdopodobieństwo przejścia do tego stanu innych cząsteczek. Jeśli ilość cząsteczek jest znacznie mniejsza niż ilość dozwolonych stanów kwantowych to i tak zajęcie pojedynczego stanu przez więcej aniżeli 1 cząsteczka, co jest mało prawdopodobne. Kiedy ilość cząsteczek jest porównywalna z ilością dozwolonych stanów kwantowych mówi się wówczas o gazie zdegenerowanym oraz należy wówczas uwzględnić specjalne prawa jakimi rządzą się fermiony oraz bozony. Wzory na średnią ilość nj cząsteczek w definiowanym stanie kwantowym j, zatem tzw. statystyki kwantowe (uzyskujemy je definiując entropię w podanym wyżej przypadku oraz uwzględniając warunek maksimum entropii w równowadze termodynamicznej): a) fermiony (statystyka Fermiego-Diraca) nF=1/(exp((ε-μ)/(kT))+1);b)bozony (statystyka Bosego-Einsteina) nB=1/(exp((ε-μ)/(kT))-1); εj-energia cząsteczki ij-tym stanie kwantowym; F,μ- potencjał chemiczny cząsteczki (F-energia Fermiego).Kiedy (ε-μ) są znacznie większe od kT 1 w mianowniku da się pominąć we wzorach oraz obydwa przechodzą w statystykę Boltzmana. μ powinien być wielkością ujemną albo co najwyżej równą zeru. Kiedy μ=0 zmiana ilości cząsteczek nie zmienia wartości potencjału termodynamicznego Gibbsa, który w równowadze termodynamicznej jest we wszelkich częściach układu taki sam. W związku z tym nie obowiązuje zasada zachowania ilości cząstek tego typu.

70.71. RUCH CIEPLNY. FLUKTUACJE CIEPLNE.

Fluktuacje cieplne. W 1827 biolog Brown odkrył pod mikroskopem ruchy mikroskopijnych obiektów które były zawieszone w wodzie, które przypominały ruchy mikroskopijnych organizmów żywych. Dopiero Einstein oraz polskiego pochodzenia fizyk Smoluchowski wyjaśnił to zjawisko w 1905 roku. Były to po prostu ruchy cieplne mikropyłku. Prawa tego ruchu są takie same jak pojedynczej molekuły gazowej. Pyłek taki bombardowany z przeróżnych stron molekułami gazu robi chaotyczne przesunięcia takie same jak jedna molekuła. Jego średnia energia ruchu równa będzie wówczas (3*K*t)/2, natomiast średni kwadrat przesunięcia x2=(k*T*t)/(3πηr).Wzór ten dokładnie definiuje wyniki obserwacji ruchów Browna. Ruchy B. są 1 z przykładów tzw. fluktuacji cieplnych nazywanych również szumami cieplnymi. Ograniczają one w sposób naturalny czułość urządzeń pomiarowych. Wszystkie przyrządy mechaniczne charakteryzują się stałą sprężystości układu α. Ponieważ pomniejszanie sprężystości α układu posiada swoje granice z uwagi na górny zakres urządzenia oraz jego bezwładność czasową, czułość da się powiększać przez zmniejszanie temperatury. W praktyce kłopot szumów cieplnych pojawia się w miernikach elektronicznych, gdzie jedynie szumy cieplne ograniczają czułość urządzeń. Ich źródłem są drgania cieplne jonów w sieci krystalicznej oraz ruchy cieplne elektronów przewodnictwa w przewodach elektrycznych, oporach oraz innych fragmentach obwodów elektrycznych. Powoduje to utworzenie się "szumowych" krótkotrwałych impulsów napięcia w formie "szpilek". Napięcie szumów da się uważać za zbiór przebiegów harmonicznych 4

o wszelkich częstotliwościach od oscylatorów elektrycznych drgających cieplnie. Jako że energia drgań cieplnych jest kT, identyczna energia jest przekazywana w jednostce czasu, natomiast jeśli układ elektryczny przenosi pasmo częstotliwości Δv to tyle jest oscylatorów. Moc szumów cieplnych Psz wynosi wówczas Psz=K*t*Δv. Pojawia się również ruch cieplny rotacyjny. Molekuły dokonują chaotycznych obrotów. Zależność na średnią wartość sinusa wypadkowego kąta obrotu υ w czasie t: sin2υ=(2/3 )*(1-e^(-6Drot*t)), Drot - wsp. dyfuzji w ruchu obrotowym. Kiedy czas jest duży wówczas sin2υ=2/3. Dla 6DrotΔt<<1 sin2υ<=1 i Δυ2=4Drot*t. Jeśli molekuła jest dipolem elektrycznym, wówczas zewnętrzne pole el. wymusza orientację dipoli w stronę pola, natomiast to wiąże się z polaryzacją P ośrodka. Polaryzacja P jest wprost proporcjonalna do zgodnej orientacji wszelkich dipoli. Kiedy polaryzacja będzie równa P, natomiast w czasie Δt dochodzi średni obrót dipoli o kąt Δυ to nowa wartość polaryzacji od wartości p. będzie maleć do Pcos(Δυ) zatem zmiana równa będzie dP=-P*(1-cos(Δυ))=-2*Drot*P*Δt; 2*Drot=1/τ; P=P0*e^(-t/τ). τ-czas relaksacji dipolowej natomiast całe zjawisko nazywane jest relaksacją dipolową. Na podstawie wzoru Stokesa moment siły oporu Mop kuli o promieniu r kręcącej się z szybkością kątową σ w ośrodku o współczynnik lepkości η wynosi Mop=8Πηr3σ; Drot=kT/(8Πηr3); τ=(8Πηr3)/(2kT).

72. ENERGIA WIĄZANIA JĄDER ATOMOWYCH.

ENERGIA WIĄZANIA, energia, jaką należy dostarczyć układowi fiz. (np. cząstce, jądru atom.), by rozdzielić go na pojedyncze składniki. Wielkość e.w. pokazuje, jak silnie jest powiązany układ, a tym samym jak jest on trwały - uzależniona jest ona od typu sił które powodują wiązanie; e.w. atomów w cząstce (wiązanie chem., siły elektrostat.) jest stosunkowo niewielka, rzędu eV; e.w. nukleonów w jądrze atom. (siły jądr.) jest ogromna, rzędu MeV (od paru MeV dla najlżejszych jąder, do ponad 1000 MeV dla jąder cięższych). E.w. układów fiz. decyduje o przebiegu procesów, gdzie one pojawiają się; np. e.w. poszczególnych jąder decyduje o przebiegu przeróżnych procesów jądr., głównie procesów, gdzie opiera się aktualnie (rozszczepienie jąder) oraz przyszła (synteza jąder) energetyka jądrowa. E.w. układu jest proporcjonalna do niedoboru _ masy _m tego układu oraz zgodnie z relatywistycznym związkiem pomiędzy masą a energią będzie wyrażała się wzorem: E = _mc2 (c - prędkość światła w próżni).

73. SYTUACJA ENERGETYCZNA NUKLEONÓW W JĄDRZE.

W kropelce wody z uwagi na bliski zasięg sił Van der Waalsa przyciągania pomiędzy molekułami gęstość kropelek jest stała-nie zależy ona od rozmiarów kropelek i energia wiązania jaka przypada na 1 molekułę jest również stała. Te własności pojawiają się w jądrze. W oparciu o model kroplowy jądra, który uwzględnia dodatkowe specjalne cechy jądra zdefiniowano zależność EW/A od A. Najpierw przyjmuje się, iż EW/A jest równa stałej a1. Później będziemy wprowadzać poprawki. Na początku odejmujemy energię napięcia powierzchniowego a2*A-1/3, potem odejmujemy energię odpychania elektrycznego protonów (a3*Z2)/A4/3. Następna poprawka opiera się na tym, iż energia wiązania jest ogromna, kiedy ilość protonów jest równa ilości neutronów, w przeciwnym momencie energia jest mniejsza. Wówczas będziemy musieli odjąć a4*((N-Z)/A)2. Ostatnia poprawka która uwzględnia prawidłowość, która pokazuje liczby stabilnych jąder w zależności od parzystych oraz nieparzystych wartości Z oraz N. Poprawka pojawia się w następującej formie a5*δ/A ,gdzie δ=+1 gdy nieparzyste, nieparzyste δ=0 kiedy nieparzyste, parzyste δ=-1 kiedy parzyste, parzyste. Wartości stałych a1..a5 są dobrane tak, by wzór bardzo dobrze definiował zależność empiryczną, a zatem w rezultacie uzyskujemy Ew/A [MeV]=14-13*1A-1/3-0.6(Z2)/A4/3-19((N-Z)/A)2-130δ/A .Da się zauważyć maksima tej zależności dla wartości Z oraz N równych 2,8,20,28,50,82,126 są to tzw. liczby magiczne. Zauważyć można również, iż objętość jądra jest dołem energii potencjalnej dla nukleonów. Na zewnątrz protony są odpychane, neutrony natomiast nie. Wysokość Uc(R) zrasta kiedy wzrasta jądro. Wewnątrz jądra nukleony są w stanie przebywać w stanach kwantowych z zdefiniowanymi skwantowanymi wartościami energii kinetycznej. Neutrony oraz protony w stanie podstawowym jądra zajmą wszelkie ewentualne najniższe stany energetyczne aż do poziomu energii Fermiego Ef, której wartość da się wyrazić przy pomocy wzoru Ef=h2/(2*M)*((3/8)*N1/Π)2/3 gdzie M-masa neutronu albo protonu, N1-gęstość nukleonów N1=Z/((4/3)*P*r03*A) dla protonów i w miejsce Z jest N dla neutronów. Nukleony mogą odnaleźć się w stanach o energii kinetycznej większej od Ef wtedy mówi się o wzbudzeniu energetycznym jądra.

Kolejnym modelem jądra atomowego jest model powłokowy. Występowanie liczb magicznych, czyli liczb protonów oraz neutronów, którym odpowiada wyjątkowo ogromna energia wiązania i forma kulista przywodzą na myśl analogię z atomami gazów szlachetnych gdzie pojawiają się zamknięte powłoki elektronowe. Promieniowanie gamma jąder posiada widmo liniowe, które charakteryzuje się dla konkretnego typu jąder. Dowodzi to występowania dyskretnych stanów wzbudzonych jąder. A zatem protony oraz neutrony w jądrze są w stanach kwantowych tak samo jak elektrony w atomie. Model powłokowy ruchu protonów oraz neutronów nie jest sprzeczny z modelem kroplowym.

74.75. MODEL ROZPADU ALFA JĄDRA ATOMOWEGO; CHARAKTERYSTYKA ORAZ WARUNKI ENERGETYCZNE ROZPADÓW BETA

W naszym otoczeniu pojawiają się jądra nietrwałe. Nazywa się je promieniotwórczymi jako, iż rozpadowi towarzyszy wysyłanie cząsteczek oraz ewentualnie promieni gamma. Iloczyn λ*Δt gdzie λ- stała prędkość rozpadu, jest prawdopodobieństwem rozpadu w czasie dt pod warunkiem, iż λ*Δt<=1. Zależność N=N0*exp(-λ*t) definiuje liczbę pozostających radioaktywnych atomów po czasie t. Czas, po którym rozpadnie się połowa atomów nazywa się półokresem rozpadu oraz jest zdefiniowany w następujący spsóbT1/2=ln(2/λ). Wielkością która charakteryzuje substancję jest tzw. radioaktywność, zatem prędkość rozpadów ΔN/Δt gdzie ΔN- ilość rozpadów w czasie dt, jest ona równa ΔN/Δt=λ*N. Jednostką radioaktywności jest 1Bq (bekerel). Rozpad promieniotwórczy jądra jest to zdarzenie losowe. Prawdopodobieństwo n rozpadów w czasie t jest definiowane rozkładem Bernoulliego P(n,t)=(N0 nad n)*pn*(λ-p)^(N0-n) gdzie p=exp(-λ*t). Jeśli λ*t<=1 a tak jest bardzo często to rozkład upraszcza się do rozkładu Poissona P(n,t)=(not(n)^n*exp(-not(n)))/n! (not(n)-n z kreską nad sobą) gdzie not(n)=No*λ*t jest średnią ilość rozpadów w czasie t. Kwadrat średniego odchylenia standardowego rozpadów równa jest δ2=not(n). Jeśli not(n)>=30 rozkład prawdopodobieństwa Poissona da się zastąpić rozkładem Gaussa. Rozkład promieniotwórczy jądra jest wyrazem naturalnej tendencji uzyskanej przez jądra minimalnej energii potencjalnej tj. maksymalnej energii wiązania.

ROZPAD ALFA: Występują 2 metody rozpadu alfa . W rozpadzie alfa z jądra wysyłana jest cząsteczka która składa się z 2 protonów oraz 2 neutronów 4 2 He (hel u góry 4 na dole 2). Energia kinetyczna cząstki jest równa ułamkowi Mk/Mp całkowitej energii jaka jest wyzwolona w rozpadzie (Mk - max. końcowa, Mp-początkowa). Cząsteczka alfa w obszarze jądra jest pod działaniem sił przyciągania, zatem jest w obszarze dołu energii potencjalnej, natomiast całkowita energia cząsteczki Ealfa jest dodatnia. Przyjmuje się, iż cząsteczka jest zamknięta w pudle o wymiarach 2*R oraz przemieszcza się z szybkością v0 tak, iż odbija się od brzegów jądra, to przy każdym dojściu do brzegu jądra z prawdopodobieństwem równym przezroczystości bariery T=exp{(-2/h)*całka od R0 do Rx z (sqr(2*mj*[U(r)-E]) dr)} (h-przekreślone h) cząsteczka alfa jest w stanie wydostać się z jądra. Jako, że próby te powtarzają się w odstępach czasu 2*R0/v0, zatem całkowite prawdopodobieństwo ucieczki cząsteczki alfa z jądra w odstępie czasu dt jest T*v0*Δt/(2*R0), natomiast z definicji wynosi ono λ*Δt, więc λ=T*v0/(2*R0)+(8/h)*sqr(exp(2)*mj*(Z-2)*R)-(2*Π*exp(2)/h)*sqr(2*mj/Ealfa)*(Z-2) (h - przekreślone h). W pierwszym wyrazie po prawej stronie wielkość v0/(2*R0) niewiele ulega zmianie dla przeróżnych jąder oraz jesteśmy w stanie przyjąć jej wartość stałą=1021 [1/s]. 2 wyraz z uwagi na (Z-2) jest także mało zmienny oraz jego wartość przyjmuje się że jest 75. Tak samo w 3 wyrazie zmienność (Z-2) da się pominąć. Wyraz ten jesteśmy w stanie zapisać 340/(E/Mev)1/2. W rezultacie uzyskujemy log(T1/2 s-1)= 148/sqr(Ealfa/MeV)=53,6 (T1/2-T jedna druga).Jest to związek pomiędzy półokresem a energią cząsteczki alfa.

ROZPAD BETA. Ten sposób rozpadu jądra jest o wiele bardziej złożony. Opiera się on na przemianie jądrowej 1 z nukleonów w jądrze, w tzw. oddziaływaniu słabym jądrowym. Rozpad ten jest ewentualny na 3 sposoby: beta-, beta+, wychwyt K. W 1 z nich 1 z neutronów n rozpada się na proton p, elektron beta- oraz na antyneutrino elektronowe νe (νe-wektor). Da się to także wyrazić równaniem n-> p + beta- + νe. Cząsteczki beta- oraz antyneutrino wylatują z jądra. Masa spoczynkowa neutrina jest równa zero, przemieszcza się ono z prędkością światła, nie posiada ładunku elektrycznego. Oddziaływanie neutrina z kolejnymi cząsteczkami, albo ogólnie z materią jest bardzo niewielkie. W związku z tym cząsteczka ta jest bardzo przenikliwa oraz bardzo trudno ją zarejestrować. Poza neutrinami elektronowymi są jeszcze neutrina mezonowe. W rozpadzie beta- różnica energii atomu początkowego M(Z,N)*c2 oraz końcowego M(Z+1,N-1)*c2 jest rozdysponowana na energię kinetyczną elektronu beta- oraz energię neutrina. W sumie wartość tych energii jest energią rozpadu Ebeta. Atom końcowy posiada o 1 elektron więcej aniżeli atom początkowy, związku z tym energia spoczynkowa utworzonego elektronu beta- jest uwzględniona w bilansie energii. Dlatego też energetyczny warunek rozpadu beta- jest taki: c^2*(M(Z,N)-M(Z+1,N-1))=Ebeta. W rozpadzie beta+ proton rozpada się na neutron, pozyton oraz neutrino elektronowe p-> n + beta+ + νe. Warunek energetyczny w rozpadzie beta+ (pojawiają się dodatkowo 2 elektrony, not(e) z atomu oraz beta+ z jądra) (not(e)-e z kreską nad sobą) c2*(M(Z,N)-M(Z-1,N+1))=2*m*c2 + Ebeta. Jeśli różnica mas jądra początkowego oraz końcowego nie jest większa od 2 mas elektronu to rozpad jest niemożliwy. 3 z rozpadów, wychwyt K jest procesem konkurencyjnym w stosunku do beta+. Opiera się on na tym, iż 1 z elektronów powłoki K w atomie (rzadziej z powłoki L) jest wychwytywany przez proton w jądrze oraz przebiega reakcja e- + p ->n + ve. W końcu z jądra wylatuje jedynie neutrino. W wychwycie K (także beta+) nowe jądro posiada ilość atomową o 1 mniejszą od jądra wyjściowego. Jeśli różnica mas jądra początkowego oraz końcowego nie jest większa od 2 mas elektronu, ewentualny jest jedynie wychwyt K, ponieważ w tym rozpadzie c2*(M(Z,N)-M(Z-a,N+1))=Ek. Gdyż w rozpadach beta- oraz beta+ jądro na początku rozpada się na 3 elementy -jądro końcowe, cząsteczkę beta oraz neutrino, ze względu na zbilansowanie energii kinetycznych oraz pędów rozbiegających się cząsteczek widmo energii cząsteczki beta jest ciągłe od 0 do Ebeta. W wychwycie K wysyłane jest jedynie neutrino bardzo trudno rejestrowalne, na szczęście pojawia się wtórny efekt. Po wychwycie elektronu z powłoki K albo L następuje przeskok na zwolnione miejsce elektronu z wyższej powłoki oraz wysyłany jest kwant promieniowania rentgenowskiego charakterystycznego.

PROMIENIOTWÓRCZY ROZPAD, przemiana promieniotwórcza, promieniotwórczość, radioaktywność, samorzutna przemiana jądra atom., której towarzyszy wysyłanie promieniowania jądrowego. Wysyłaną cząsteczką promieniowania mogą być: foton (rozpad γ), elektron albo para elektron-pozyton (konwersja wewn.), elektron albo pozyton oraz antyneutrino albo neutrino (rozpad β), nukleon albo jądro (rozpad protonowy, rozpad α, rozpad egzotyczny, rozszczepienie). Jedynie w 1 z powyższych przypadków cząsteczka (elektron konwersji wewnętrznej) jest wysyłana nie od razu z jądra, ale z powłoki elektronowej. Na skutek emisji z jądra AZX (A - liczba masowa równa liczbie nukleonów w jądrze, Z - liczba porządkowa równa liczbie protonów w jądrze) elektronu tworzy się jądro AZ+1X, pozytonu - jądro AZ-1X, wychwytu elektronu - także jądro AZ-1X, rozpadu protonowego - jądro A-1Z-1X, natomiast rozpadu α - jądro A-4Z-2X. Rozpad promieniotwórczy jest w stanie zachodzić na skutek oddziaływania słabego, elektromagnet. albo silnego. Rozpad promieniotwórczy jest procesem statystycznym. Występuje zdefiniowane prawdopodobieństwo które wynosi λ (λ stała rozpadu, charakterystyczna dla konkretnego jądra oraz stanu, gdzie ono akurat jest), iż jądro rozpadnie się w jednostkowym czasie. Doprowadzi to do wykładniczego prawa rozpadu: N(t) = N0e- λt, gdzie N(t) i N0 - odpowiednio ilość jąder promieniotwórczych w momencie t i w chwili początkowej t = 0. Aktualnie znamy prawie 1800 przeróżnych nuklidów promieniotwórczych, w tym jedynie ok. pięćdziesiąt pojawia się w sposób naturalny w naszym otoczeniu (promieniotwórczość naturalna; → promieniotwórcze rodziny); utworzone są produkowane sztucznie w reakcjach jądrowych. Promieniotwórczość naturalną wykrył 1896 A.H. Becquerel, który zauważył, iż przeróżne związki uranu powodują zaczernienie emulsji fot.; systematyczne analizy tego zjawiska podjęte przez M. Skłodowską-Curie oraz P. Curie doprowadziły do stwierdzenia promieniotwórczości toru oraz wykrycia 1898 nowych promieniotwórczych pierwiastków: polonu oraz radu. Późniejsze prace nad promieniotwórczością doprowadziły do wyróżniania trzech składowych promieniowania: α, β oraz γ (E. Rutherford, P. Villard oraz in.) i ich identyfikacji (Becquerel, S.T. Meyer, E. von Schweidler, Rutherford, T. Royds), a później do zauważenia, iż zanik aktywności substancji promieniotwórczej w czasie posiada charakter wykładniczy (Rutherford, F. Soddy). Sztuczną promieniotwórczość (β+) wykryli 1934 I. Joliot-Curie oraz F.J. Joliot-Curie.

76. REAKCJE JĄDROWE ROZSZCZEPIENIA

W roku 1939 odkryto zjawisko rozszczepienia jąder uranu bombardowanych neutronami. Rozszczepiają się pewne ciężkie izotopy po tym jak wchłoną neutron. W wyniku rozszczepienia pojawiają się 2 fragmenty ze środka tablicy pierwiastków. Utworzone fragmenty są na ogół radioaktywne. Jako, że średnio energia wiązania jąder ze środka tablicy pierwiastków jest o jeden MeV/nukleon większa niż jąder ciężkich wyzwolona jest energia prawie dwustu MeV. Mechanizm rozszczepienia: Jądro gdy pochłonie neutron jest wzbudzone o prawie pięć albo więcej MeV. Wzbudzona kropelka materii jądrowej pulsuje. W procesie tym wydłużenie kształtu jądra dzięki efektowi tunelowemu może być tak ogromne , iż siły odpychania kulombowskiego pomiędzy 2 fragmentami , na które można wówczas podzielić jądro , przewyższą siły przyciągania jądrowego, które są bliskiego zasięgu. W aktach rozszczepienia istotną okolicznością jest tworzenie się neutronów. Ta okoliczność daje możliwość na reakcję lawinową , która jest podstawą wyzwalania energii jądrowej. Ciężkie jądra rozszczepiają się również samorzutnie. Mechanizm procesu jest identyczny jak rozszczepienia pod wpływem neutronów, jedynie prawdopodobieństwa są dużo mniejsze, gdyż bariera energii potencjalnej w 1 etapie rozdzielenia fragmentów jest znacznie większa na skutek braku wzbudzenia.

77. NAJWAŻNIEJSZE NATURALNE RADIOIZOTOPY ORAZ ICH CHARAKTERYSTYKA

Radioizotopy pojawiające się naturalnie na naszej planecie lub posiadają tak długie półokresy rozpadu , iż nie rozpadły się w całości od początków naszej planety , lub są stale produkowane. Najistotniejsze długożyciowe radioizotopy pojawiające się na naszej planecie to: (legenda: p[%]-procent zawartości izotopu w pierwiastku, k[10-6]-średnia koncentracja danego pierwiastka w litosferze, T1/2-półokres rozpadu , A1-radioaktywnośćwłaściwa, n- ilość rozpadów w szeregu, r- typ rozpadu, pr- produkty rozpadu);232Th p-100 k-11,2 T1/2-1,41*1010 A1-4,05 n-47 r- alfa, beta, gamma pr-208Pb+64He ; 238U p-99,27 k-3 T1/2-4,47*109 A1-12,4 n-14 r- alfa, beta, gamma pr-206Pb+84He ;

235U p-0,72 k-3 T1/2-7,04*108 A1-0,06 n-11 r- alfa, beta, gamma pr-207Pb+74He ; 40K p-0,0118 k-2,4*109 T1/2-1,29*109 A1-0,03 n-47 r- alfa, beta, gamma pr-40Ar, 40Ca ;

78. PODSTAWY FIZYCZNE PRACY REAKTORA

Opis ilościowy kinetyki reakcji reaktora na neutronach powolnych jest skomplikowany , ponieważ oprócz zależności czasowo-przestrzennej gęstości neutronów powolnych , pojawia się również zależność czasowo energetyczna spowalnianych neutronów prędkich ujmowane w tzw. równanie wieku. Te złożone równania dla stanu krytycznego ,tzn. k=1 stacjonarności w czasie przekształcają się w 2 proste równania: L2n+B2n=0 , k=k*(exp(-B2*τ)/1+L2B2) τ- wiek , L - długość dyfuzji neutronów ,B - parametr. Rozwiązaniem równań jest przestrzenny rozkład gęstości neutronów termicznych. Przeróżne formy reaktora definiują przeróżne równania, dzięki którym da się dojść do tzw. bilansu neutronów w reaktorze. Badane są tu wszelkie możliwe warianty reakcji gdzie pojawiają się neutrony.

79. KONSTRUKCJA REAKTORA ORAZ PARAMETRY PRACY

Główne fragmenty konstrukcji reaktora: paliwo, moderator, substancja która chłodzi, reflektor, osłona betonowa, kanały do naświetlania. Główną częścią reaktora jest rdzeń reaktora , gdzie umieszczone jest paliwo - słabo wzbogacony w 235U uran, powinno ono być w niewielkich rozmiarowo fragmentach, by utworzyły się neutrony szybkie nie posiadały okazji reagować z jądrami 238U oraz jak najszybciej odnalazły się w moderatorze. W moderatorze powinny przebywać drogę rzędu Lt oraz spowolnione powinny trafić na fragment paliwowy, by w reakcji z 235U spowodować rozszczepienie. Paliwo jest w formie cieniutkich prętów które ułożone są równolegle do płaszczyzny rdzenia w takich samych odległościach , w geometrii heksagonalnej. Odległość pomiędzy prętami jest kompromisem koniecznej drogi spowalniania Lt oraz drogi pochłonięcia L. Moderator - woda - krąży w zamkniętym obiegu transportując ciepło do wymiennika ciepła. W kolejnym obwodzie , w wytwornicy pary , produkowana jest para która napędza turbinę. Poza prętami paliwowymi znajdują się tam również pręty regulacyjne oraz awaryjne z substancji silnie wchłaniających neutrony powolne. Bardzo często wykorzystywane substancje to kadm oraz ind.

80. ODPADY PROMIENIOTWÓRCZE

Radioizotopy wytwarzane w reaktorze z rozszczepień oraz reakcji z neutronami posiadają półokresy rozpadu od ms do 106 lat. Ich niebezpieczeństwo jest różne. NA podstawie przyjętych zasad postępowania z odpadami promieniotwórczymi paliwo wyeksploatowane przechowuje się wstępnie w czasie od jednego do trzech lat niedaleko reaktora , by rozpadły się wszelkie krótkożyciowe radioizotopy. Ten etap zwany jest studzeniem odpadów. Po tym czasie przewozi się je do miejsca składowania albo przeróbki. Na skutek przeróbki odzyskuje się 239Pu, 233U , które da się znowu zastosować. Odpady promieniotwórcze przechowuje się w zwartej oraz stałej konsystencji w szczelnych komorach specyficznie skonstruowanych oraz adaptowanych. Od początku lat dziewięćdziesiątych dokonuje się analizy przeróżnych technik naświetlania odpadów promieniotwórczych, by przekształcić je w paliwo , albo w izotopy nieradioaktywne albo krótko żyjące. Mimo znacznej ilości kłopotów z przechowywaniem oraz zabezpieczaniem odpadów promieniotwórczych , nie ma wątpliwości , iż energia jądrowa jest na aktualnym poziomie techniki najczystszą technologią produkcji energii na ogromną skalę.