1.Dana jest funkcja f(x)= 2x² + bx + c Wyznacz wartość b i c wiedząc że

1) To tak naprawdę 3 zadania
Dana jest funkcja f(x)=2x^2 +bx +c. Wyznacz wartości b i c
Uwaga: ponieważ a=2 > 0 to w tych trzech wariantach spodziewamy się paraboli "uśmiechniętej" czyli z ramionami ku górze.
---------------------
punkt a) funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko w przedziale (-1,2)
Skoro funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko w przedziale (-1,2) oznacza to, że dla x=-1 i x=2 parabola "zeruje", a po za tym przedziałem jest dodatnia (co łatwo zauważyć gdy wyobrazi się sobie parabolę skierowaną ramionami w górę i przebijającą oś x w jakiś dwu punktach). A skoro w tych dwu miejscach ma wartość zero to matematycznie opiszemy to tak: f(-1)=0 i f(2)=0
Teraz podstawiamy te wartości do wzoru funkcji f(x)=2x^2 +bx +c

dla punktu (0,-1) => 0 = 2(-1)^2 +b(-1) +c => 0 = 2*1 -b +c => 0= 2 -b +c => b = c +2
dla punktu (0,2) => 0 = 2(2)^2+ 2b +c => 0=2*4 +2b +c => 0= 8 + 2b +c => 2b = -c - 8

I tak dostajemy prosty układ równań liniowych
b = c +2
2b = -c - 8
Pierwsze równanie mnożymy przez 2, drugie zapisujemy pod nim
b = c + 2 => 2b = 2c +4
2b = -c -8
Robimy odejmowanie stronami
2b-2b = 2c -(-c) +4 -(-8)
0=2c+c +4 +8
0=3c+12
3c=-12 => c = -4
b = c + 2 = -4 + 2 = -2

Odp. b = -2, c = -4

Spr.
f(x) = 2x^2 -2x -4
f(-1) = 2*(-1)^2 -2 *(-1) -4 = 2*1 +2 -4 = 2 +2 -4 = 0
f(2) = 2*(2)^2 -2*(2) -4 = 2*4 -4 -4 = 8 -4 -4 = 0
----------------------------
punkt b) funkcja osiąga wartość najmniejszą równą -9 dla argumentu 1 (najmniejsza wartość znaczy, że to jest wierzchołek paraboli "uśmiechniętej")
Z mądrych książek albo internetu wiemy, że wierzchołek paraboli (xp, yp) ma współrzędne:
xp=-(b/2a)
yp = c - a*xp^2

Skoro wierzchołek paraboli (xp,yp) ma współrzędne (1,-9) to
1 = -(b/2a) => 1 = -(b/(2*2)) => 1 = -b/4 => b = -4
-9 = c - 2 * (-1)^2
-9 = c -2 * 1
-9 = c -2
c = -7

Odp. b = -4; c = -7;

Spr.
f(x) = 2x^2 - 4x -7

f(1)=2*(1)^2 - 4*(1) -7 = 2*1 -4 -7 = -9
----------------------------
c) Zbiór wartości [4,+nieskończoność) i funkcja rosnąca w przedziale [1,+nieskończoność)
Tak naprawdę to zadanie podobne do "b" tylko współrzędne wierzchołka są podane nietypowo, w sposób nieco ukryty.
Zbiór wartości (inaczej przeciwdziedzina) to tłumacząc łopatologicznie wszystkie y-greki (albo wszystkie wartości f(x)) jakie mogą przytrafić się w wynikach gdy będziemy liczyć parabolę. Gdy mówią nam o ZBIORZE WARTOŚCI wartości to myślimy o Y-grakach.
Ale gdy mówią nam o DZIEDZINIE, przedziale (bez określenia czego to przedział) czy zbiorze argumentów myślimy o X-ach.
Ale wróćmy do Y-greków
Dla paraboli z ramionami ku górze zbiór wartości to y-greki od +nieskończoności do minimum. Tak więc "-4" to współrzędna y-kowa wierzchołka paraboli.
Teraz myślimy o X-ach. Funkcja jest rosnąca w przedziale [1,+nieskończoność), to znaczy, że na wykresie zaczyna "iść w górę" od wartości x-ów = 1 i trwa aż do +nieskonconości tych x-ów. Innymi słowy prawe ramię paraboli zaczyna się w punkcie x=1 i to x=1 wyznacza współrzędną x wierzchołka paraboli.
Czyli mamy wierzchołek paraboli (xp,yp) określony na punkt (1,-4)

A dalej robimy to co w (punkcie b).
W zasadzie nawet nie musimy tego robić, bo już znaczą cześć roboty wykonaliśmy w (punkcie b), bowiem skoro xp=-(b/2a) a zarówno w (punkcie b) jak i w (punkcie c) wartości a=2 i xp=1 to rachunki do liczenia parametru "b" są takie same i
b = -4
A skoro wartości a=2 i b=-4 są takie same w (punkcie c) jak w (punkcie b) to porównując współrzędne y-grekowe wierzchołków parabol możemy od razu powiedzieć, że parabola z (punktu c) jest 5 jednostek y-greków nad parabolą z (punktu b). Dlaczego tak?
W (punkcie b) wierzchołek paraboli to (1,-9)
W (punkcie c) wierzchołek paraboli to (1,-4)
Tu widać, że wierzchołek paraboli z (punktu b) jest 5 jednostek y-greków pod wierzchołkiem paraboli z (punktu c). Ale dlaczego ma to dotyczyć całej paraboli? Dlatego, że parametry "a" i "b" parabol z tych obu punktów są takie same.
Różni je tylko parametr "c", który "służy" do "podnoszenia" lub "opuszczania" w pionie paraboli na wykresie współrzędnych kartezjańskich.

- Zmiana tylko parametru "a" paraboli powoduje "zacieśnienie" lub "rozwarcie" jej ramion, a nawet przejście z paraboli "uśmiechniętej" (dla a > 0) do "smutnej" czyli z ramionami w dół (dla a < 0 ), tym "smutniejszej" im "a" jest mniejsze od zera.
- Zmiana tylko parametru "b" jest najmniej intuicyjna bo może powodować wędrowanie paraboli na wykresie o różne wartości x i y w górę bądź w dół, na lewo bądź na prawo.
- Zmiana tylko parametru "c" powoduje, że na wykresie parabola jeździ tylko w pionie, jest wyżej lub niżej, ale nie "chodzi na boki".
To nam pozwala napisać równanie paraboli z (punktu c) wykorzystując pracę z (punktu b)
Skoro w (punkcie b) wzór na parabolę był:
f(x) = 2x^2 - 4x -7,
a parabola w (punkcie c) jest o 5 jednostek wyżej to znaczy to, że jej wzór jest: f(x) = 2x^2 - 4x -2.
W tym przypadku obywa się (prawie) bez liczenia.

===================================

Zadanie 2
Niech x i y będą szukanymi liczbami
Warunki zadania:
Suma liczb x i y równa się 7
x+y=7 => y=7-x

Funkcja sumy kwadratów liczb
f(x,y)=x^2 + y^2

Jest to funkcja dwu zmiennych (x,y) mająca odwzorowanie w przestrzeni trójwymiarowej i z takim zbiorem potrafimy sobie radzić dopiero na studiach (albo gdy uczymy się w liceum o profilu matematycznym). Jednak wykorzystując informację, że x+y=7 przechodzimy do paraboli na płaszczyźnie w znanym nam układzie współrzędnych kartezjańskich, a z tym potrafimy sobie radzić.

f(x)=x^2 + (7-x)^2 = x^2 + (49 -14x + x^2) = 2x^2 -14x +49

Jak wiadomo wykresem funkcji kwadratowej postaci f(x) = ax^2 + bx + c jest parabola. Dla dodatniego a (w naszym przypadku a=2) wykres paraboli ma ramiona skierowane "do góry" i posiada minimum. I to minimum musimy policzyć

Minimum można liczyć na dwa sposoby:
---------------------------------
1) Ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej - gdzie wyrażenie na wierzchołek dane jest od razu, ale przejście z postaci ogólnej na kanoniczną wymaga pamiętania wzorów.
Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego to wyrażenie postaci f(x)=a(x-p)^2 +q,
gdzie punkt (p,q) jest współrzędnymi wierzchołka paraboli (minimum lub maksimum).

A tego właśnie szukamy. I tak:
p = -(b/2a), w naszym przypadku: p = - (-14/(2*2)) = - (-14/4) = 14/4 = 7/2 = 3,5
q = c - a*p^2, w naszym przypadku: q = 49 - 2*(3,5)^2 = 49 - 2 * (3,5 *3,5) = 49 - 2 (7/2 * 7/2) = 49 - 2 (49/4) = 49 - 49/2 = 49/2 = 24,5

Postać kanoniczna paraboli ma postać f(x)=2(x-3,5)^2 + 24,5 i opisuje ten sam zbiór punktów na płaszczyźnie co równanie f(x)=2x^2 -14x +49

Dla uzyskanego punktu (3.5 , 24.5) interpretacja jest taka, że x=3,5 to jedna z interesujących nas liczb, a y=24,5 to minimalna wartość sumy kwadratów.
Tyle, że ta interpretacja nie jest łatwo dostrzegalna na tym etapie.
-------------------------
2) O ile pozwala nam na to nasza wiedza (liceum druga klasa lub później), minimum możemy liczyć przez użycie pochodnej funkcji i znalezienie miejsca gdzie pochodna się zeruje
f'(x)= 4x-14 = 0 => 4x=14 => x=7/2 = 3,5
f(7/2) = 2* (7/2)^2 - 14*(7/2) +49 = 2*(49/4) - 7*7 +49 = 49/2 = 24,5
------------------------
Teraz mając x=3,5 i wykorzystując warunek x+y=7 dostajemy, że y = 7-3,5 = 3,5
Tak więc suma kwadratów dwu liczb których suma jest 7 przyjmuje wartość minimalną dla x=3,5 i y=3,5 i wynosi fmin(x,y)=f(3.5,3.5)=(7/2)^2 + (7/2)^2 = 49/4 + 49/4= 49/2 = 24,5.

Odp. Dla pary liczb 3,5 uzyskuje się najmniejsza możliwą sumę kwadratów dwu liczb która wynosi 24,5.

Łatwo się przekonać, że mi "dalej" od punktu (3.5,3.5) funkcja f(x,y)= x^2 + y^2 (przy warunku x+y=7) przyjmuje wartości większe niż 24,5
np.
dla 4 i 3 mamy 4^2 +3^2 = 16+9=25
dla 5 i 2 mamy 5^2 + 2^2 = 25+4=29
dla 6 i 1 mamy 6^2 + 1^2 = 36+1=37
dla 8 i -1 mamy (-1)^2 +8^2 = 1+64=65

Niestety nie jest dla mnie zrozumiałe co znaczy obliczyć powyższe "posługując się wzorem skróconego mnożenia". Czy trzeba wykonać jakieś wyrafinowane czary-mary na wzorach skróconego mnożenia i zrobić analizę wyniku która udowodni, że 3,5 to te liczby, nie odwołując się do pojęcia ekstremum funkcji drugiego stopnia. Czy też po prostu w rozwiązaniu użyć jakiegoś wzoru skróconego mnożenia, niezależnie od tego jaką drogę rozwiązania się wybierze.