Dodaj do listy

Rozwiązywanie równań

Równanie to dwa wyrażenia połączone znakiem równości, przy czym chociaż jedno z nich jest algebraiczne.

Litery występujące w równaniu nazywamy niewiadomymi.

Pierwiastkiem równania jest liczba, która wstawiona w miejsce niewiadomej daje nam tożsamość, czyli po obu stronach równania takie same wartości.

Aby rozwiązać równanie należy znaleźć wszystkie pierwiastki albo pokazać, że równanie nie ma pierwiastków lub ma ich nieskończenie wiele.

Zbiór wszystkich liczb, które spełniają dane równanie daje nam zbiór rozwiązań.

Równania równoważne są wtedy, kiedy mają ten sam zbiór rozwiązań.

Przy rozwiązywaniu równań stosujemy następujące twierdzenia:

Twierdzenie 1

Dodając lub odejmując po obu stronach równania tą samą liczbę otrzymujemy równanie równoważne danemu.

Twierdzenie 2

Mnożąc lub dzieląc obie strony równania przez tą samą liczbę otrzymujemy równanie równoważne danemu.

Podczas rozwiązywania równania przekształcamy go za pomocą tych twierdzeń do prostszej postaci. Równanie uproszczone ma takie same pierwiastki, jak nasze wyjściowe.

Przykład:

Rozwiązać równanie:  4x – 2 = 1 + x

Rozwiązanie:

Odejmujemy od obu stron x, otrzymujemy:

4x – 2 = 1 + x / - x

3x – 2 = 1

Dodajemy do obu stron 2, otrzymujemy:

3x – 2 = 1  / + 2

3x = 3

Dzielimy obie strony równania przez 3, otrzymujemy:

3x = 3 / : 3

x = 1

Stąd pierwiastkiem naszego równania jest x  = 1

Sprawdzenie:

Aby upewnić się czy dobrze rozwiązaliśmy równanie dokonujemy sprawdzenia. Wstawiamy do naszego równania obliczony pierwiastek i sprawdzamy, czy dostaniemy równanie – tożsamość.

U nas, wygląda to tak:

4x – 2 = 1 + x

Wstawiamy x = 1

L = 4*1 – 2 = 4 – 2 = 2

P = 1 + 1 = 2

Stąd: L = P

Gdy w naszym równaniu są nawiasy, trzeba je usunąć, dokonując odpowiednich mnożeń, kolejno dokonać redukcji wyrazów podobnych.

Przykład:

4*(3x + 2) – 4 = 2*(x - 1) + x

Usunięcie nawiasów:

12x + 8 – 4 = 2x – 2 + x

Redukcja wyrazów podobnych:

12x + 4 = 3x – 2

Tak otrzymane równanie potrafimy już rozwiązać stosując poprzednie twierdzenia.

Rodzaje równań:

Tożsamościowe – mają one nieskończenie wiele rozwiązań, po obu stronach równania dostaniemy po uproszczeniu te same wyrażenia: x – 2 = x - 2

Sprzeczne – nie mają rozwiązania, po obu stronach równania są inne wyrażenia: x = x – 2

Gdy w równaniach występują ułamki należy pomnożyć obie jego strony przez najmniejszą wspólną  wielokrotność (NWW) ich mianowników.

Przykład:

W tym równaniu występują ułamki  mianownikach 3 i 4. Ich najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 12. Mnożymy obie strony równania przez 12:

/ *12

Otrzymujemy:

Usunięcie nawiasów:

3x + 4x = 12x – 24

Redukcja wyrazów podobnych:

7x = 12x – 24

Doprowadzone do takiej postaci równanie możemy już łatwo rozwiązać.